1高等数学下分阶精讲精练讲义

1、高等数学（下）分阶精讲精练讲主讲：张高等数学（下）分阶精讲精练讲主讲：张育（对目录第十一章 第一型曲面积第十二章 第二型曲线积第十三章 第二型曲面积【注老师没有完全按照讲义的顺序讲课而是打乱了顺序重新整合授课体系第五多元函数微分基本概 【注老师没有完全按照讲义的顺序讲课而是打乱了顺序重新整合授课体系第五多元函数微分基本概 zxyz f (xz f (Pz z f (xy),(xyD称为该函数的值域类似地，可以定义三元函数u f (x, yz以及三元以上函数2、二元函数的极定义 f(xy)DP0(x0y0)DD的边界上，A 对于任给的正数 P(xyD(x x )2 y ，恒有|f(xy)A| 成

2、立 Af(xy)当000y)(x0y0)时的极限 lim f(xy A，此极限称为二重极限 y（1）P(xy) P(x0y0在(x ,y )点的极限值不存在，即fp 不存在，这是由“极限若存在，必唯一”决定的0在（2）能够区分lim lim fxylim lim f(xy与lim fxy. y0(x2 y2)(x,y) (0,(x,y) (0,f (xy) x2 ，求lim f (xy x2 y2 x2 y2 】已知f (x,y) x 22，求lim f (xy 13lim lim f (x, ylim lim f (x, ylim f (xxx0 yyy0 x y如fx,y xsin 1 y

3、1yx3.lim f3lim lim f (x, ylim lim f (x, ylim f (xxx0 yyy0 x y如fx,y xsin 1 y1yx3.lim f(xy f(x0y0f(x y)在点(x0 y0)处连续f(xy)D y f(x y)在某一点(x0 y0)4.（1）定义 zf(xy)在点(x0y0)的某邻域内有定义 f(x0 x,y0) f(x0,存在 zf(xy)在点(x0y0)x的偏导数 f (x y z000yf(x0 x,y0) f (x0,y0) f(x,y0) f(x0,y00f(x0,y0 y) f (x0,y0) lim f (x0,y) f(x0,y0f

4、 (x ,y ) y y0f (x,f (x,00，若f(x,y ) f(x ,y )，则） 2 2f(xye x y f(00f(00 xy（2）高阶偏导数 zf(x y)D fx (xyfy (xy数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有如下四2z )2f(x,y) fxy(x,y (x2z 2 fyx(x,y)y (yfyy (x, y) x(y2 5.（1）定义 zf(xy)在点(x 5.（1）定义 zf(xy)在点(xy)zf(xxyy)f(xy) n z AxBy( (x)2 (y)2 )A、Bx、y x、y 有关 zf(x y)在点(x y)可微 AxByzf(

5、xy)在点(xy)的全微分 dz （2）可微的必要条件 zf (x y)在点(x y)处可微，则该函数在点(xy)A z B z x、y，有x dxy dy ，则dz z dx z （3）可微的充分条件 zf(xy)的两个偏导数x y 在点(xy)处连续，则该函数在点(x y)处可微.z f (x, y在点(x, y（1）写出全增量zf(x0 xy0 y f(x0y0（2）AxByA fx (x0y0B fy (x0y0(x)2 0z f (xy在(x0y0点可微，否则，就不可微f(xy2x y2 0z f (x, y满足xy x2 (y6.z f (x, y其在某特殊点(x0y0)（比如二元

6、分段函数的分段点）（1）fx (x0y0)fy (x0y0（2）fx (xyfy (x(xylim fy (xy)，看x (x0y0 yyy3lim fy (xy fy (x0y0z f (x, y在点(x0, y0 y5.2 计lim fy (xy fy (x0y0z f (x, y在点(x0, y0 y5.2 计 z u z z z u zz fu,v，ux,y，vx,；u v u v z fu,v，u x，v x， z du zdv u v w fu,v，u x,y,z，vx,y,z，w wu wu v w fu，u x,y,z，w dwu ，w dwdu du z fx,u,v，u x

7、,y，vx,y，z f 1 f f xuvzz 已经求了几阶导，求导后的新函数仍然具有与原函数完全21z f(e cosyx y f xy x 2z f(x y, f(xy，求.u x22222 xy 0简化为uv 0，求a可把方程6v x44y f (x,z) z F(xyz) 0 xyf F 4y f (x,z) z F(xyz) 0 xyf F 0dy .z z 5zarctan x y，求dzx 6z f (xy二阶可偏导且 2f (x0) 1f (x0) xf (x, yy应用极值与最值（多元1、极值与最值的概极值 z f (x, y) 在点(x0, y0(x0, y0的点(x, y

8、f(xy f(x0y0) (f(xy f(x0y0z f (xy在点(x0y0处取得极大值(或极小值) f(x0y0，极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点最值 z f (xyDD上任何异于(x0y0的点(x, y，都有f(xy f(x0y0) (f(xy f(x0y0z f (xy在点(x0y0处取得最大值(或最小值) f(x0y0，最大值、最小值统称为最值 使函数取得最值的点称为最值点2、多元函数极值与最值问) 一阶偏导数存在，则 (x ,y )0, f (x ,)0z f(xy在点(x 取极fx (x0y00, fy (x0y00zxy在点(00并无极值，但它的两个偏导数

9、z yz 在点(00处却都等于零. 如果把满足两个偏导数都等于零的点叫做驻点，则5如，函数z x2 y2 在点(0,0)处的偏导数不存在，但该函数在点(0,0)处却取得了极A0如，函数z x2 y2 在点(0,0)处的偏导数不存在，但该函数在点(0,0)处却取得了极A00A0(x ,y ) 记f (x y B ，则 B AC 02(x ,y ) 0. 问题f (xykx2 2kxy y2在点(00处取得极小值，求k 的取值范围(x, y,z) 求目标函数u f (x, yz(x,y,z) F(x,y,z,u) f (x,y,z)(x,y,z)u(x,y,ux f u yyFz fz zuzF

10、(x,y,z) 解上述方程组得(x0y0z0z x2 2】求u x2 y2 z2在约束条件x yz 3】求u xy 2yz x2 y2 z2 10下的最大值与最小值6第六二重积1f (xyDnf(x,y)d limf(i,iD0 第六二重积1f (xyDnf(x,y)d limf(i,iD0 ，为所有i注（2）f (xyD为底的曲顶柱体的体积f (x, VD（3（f (x, y为面密度的D的质量f (x,MD（4）要了解二重积分的存在性，也称为二元函数的可积性. D 由一f(xy)D上连续时 f (x y)D 上有界 且DD上可积也就是二重积分存2积 d AD D可积函数必有界 f(xy)D

11、上可积时f(xy)D 积分的线性性质 k1、k2为常数 k1 f (x,y)k2g(x,y)d k1f (x,y)d k2 g(x,DDD积分的可加性 当f(xy)在有界闭区域D 上可积时D2 D,D2 ，Dy d y d ( ,积分的保号性 当f(xy)g(xy)D上可积时若在D上f(xy)g(xy) 有Df(x y D(x y ,y)d|( ,DD6估值定理 M、m f(x y)D 上的最大值和最小值 D 7积 mAf(x,y)d D7 f(x y)D 上连续 D 的面积 D 一点( )使积 mAf(x,y)d D7 f(x y)D 上连续 D 的面积 D 一点( )使Df(x,y)d f

12、 (,)3、普通对称性与轮换对称Dy f (x,f (x,y) f (x,Df(x,y)dxdy f(x,y) f(x,Dy x3y 1x 1I (xycosxsin y)d （ D（B）2（C）2cosxsin （D）2(xycosxsin 其中D1D 在第一象限的部分xyD 不变（D yx对称f(x,y)d f (y,DD【例D (x, 1，常数0I (ex ey)d x yDf (x) f (y)D(xy) x2y2 1x0yf (x) f(DI sin(x3 y3d D(xDx y计1、直角坐标系下的计Df(x,f(x,DX区域 12(d（2）f(x,y)dc f(xy)dx DY 型

13、区域1(y)x2(y) 1D82、极坐标系下的计算fx,f rcos,rsinD d（OD 外部1r 12、极坐标系下的计算fx,f rcos,rsinD d（OD 外部1r 1fx, f rcos,rsinDd（）（OD 边界上2fx, f rcos,rsind（O ）30D3、极坐标系与直角坐标系选择的一般原yx（1）f(x y f( ) f( ) xy. . 这只是一般原则，4、极坐标系与直角坐标系的互相转x r yr二重积分的交换积分次10f (x, 22Dy sinx xx0 x 2 f 后积y先积x的表达式f(x,y)d D形心公式的(xyDxyx(x,y(x,x ,y D(x,(

14、x,DD的范畴内，重心就是质心；第二，当密度(x,y)为常数时，重心就形心. 以后的三重积分和线面积分（仅为数学一9I(xy)d D(xy) x2y2 xy1D综合应 1】求dxx2】II(xy)d D(xy) x2y2 xy1D综合应 1】求dxx2】Ir cos2drd，其中D(r,) 0 ,0r 212.4D2dx02（）当x 1 时，求x dt 等价的无穷大量t0第七无穷级引1级数的定义 u1u2u3un u1u2u3un为(常数项无穷级数 简称(常数项)级数 un 即un u1u2u3un n2、级数的部分和 Sn ui u1 u2 u3 un 为级数un 的部分和3、级数的敛散性

15、若limSn S（存在） 则称级数un 收敛 S叫做该级数的和并S un 若limSn 不存在 则称级数un 发散kun 也收敛 即un S kun kS k un 收敛2 若un S vn T 则(un vn S T 性质性质收敛级数任意加括号后所成的新级数仍然收敛 且其和不变【注】推论 如果加括号后所得的级数发散 则去掉括号后所得的级数也发散性质如果un 收敛 则limun 0【注】逆否命题：若imun ,则un 一定发散n u (u 0)正项级n性质如果un 收敛 则limun 0【注】逆否命题：若imun ,则un 一定发散n u (u 0)正项级n 常）数项级数un(un 0)交错级

16、级数 u un符)任意项级n函数项级数幂级n傅里叶级数(仅数学一一、正项级数(unun 0如无特殊说明，下面的一般项un均是非负的1、收敛原则 正项级数un 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列Snun Sn有上【例】设an 0 (n 1,2,) ，Sn a1 a2 an，则数列Sn有界是数列an收敛v 收敛u 收nn2、比较判别法 设u 和，则都是正项级数 且0u nn un发散 vn发设un 和vn 都是正项级数 若vn收敛，则unu 是高阶无穷小 n若un发散，则vn若un收敛，则vn00 =vn是高阶无穷小 nn若vn收敛，则unu 是高阶无穷小 n若un发散，则vn若un收敛，则vn

17、00 =vn是高阶无穷小 nn 若v 发散，则u nn A0u 与v 是同阶无穷小u 与 v同敛设un 为正项级数 级数发 该法失效，另谋他法（一般转而用比较判别法 1(或为lim 设un 为正项级数 级数 limn un 1(或为 2n1】判别11.nn1nx10二、交错级数(1)n1u u 0nn莱布尼茨判别法 若交错级数(1)n1un limun 0un (n=1,2,3,（1（2. （11n 比如，请判别级数ln（2n用莱布尼茨判别法，本题可考虑泰勒公式. 1n 11 nn 1（1（2. （11n 比如，请判别级数ln（2n用莱布尼茨判别法，本题可考虑泰勒公式. 1n 11 nn 1

18、112 由于limnnn1 nn【例】判别n n、任意项级数(un un符定义（1）设un 为任意项级数若un 收敛,就称un 绝对收敛（2）设un 为任意项级数若un 收敛,但发散,就称un 条件收敛定理 若任意项级数un 绝对收敛,则un 【注】对于任意项级数，一般都是先把一般项un 加上绝对值，变成正项级数后再问题，即un . 于是，判别正项级数敛散性的种种方法均可能派上用场a 0)（ a 收敛，2(n 2（D）敛散性与 设函数序列un(x)定义在区称u1xu2 xu3xun xI 上I 上的函数项级数 x x0 为定义在区间成为常数项级数nn.n 幂级数 若的一般项un (x是幂函数，

19、则称为幂级数 nn； xn a a xa x2 a xn ；其中a 为幂级数的系数I 上的函数项级数 x x0 为定义在区间成为常数项级数nn.n 幂级数 若的一般项un (x是幂函数，则称为幂级数 nn； xn a a xa x2 a xn ；其中a 为幂级数的系数nn收敛 x0n nx0 I，有发散 x0为级数n n收敛域 n 幂级n代入级数xn ，判别此数项级数是否收0n 二 0处收敛时阿贝尔定理 当幂级xn xx11xn 0处收敛时xxxn22(x【例】求n1f (xf(x在 0(nf 2n0000 )n，其中“ ”叫做“可f(xx 处的泰勒级数000f 0(x【例】求n1f (xf(

20、x在 0(nf 2n0000 )n，其中“ ”叫做“可f(xx 处的泰勒级数000f 0f x的麦x 0n 0f nxnf2f (xf (x )n )n00f (x在区间(x0 Rx0 R内具有任意阶导数则 xRx,f00)n1 limR n0其中 介于x x0之间3f (xx0 nfn x 0，并逐个计算0方法直接法：验证lim，nn(nf .2n000方法1展开成(x3)的幂级数，并求f (n)(3).(n 1,12f (x展开成(x3的幂级数(x nn1 方法1展开成(x3)的幂级数，并求f (n)(3).(n 1,12f (x展开成(x3的幂级数(x nn1 应为 x4 n(xR)收敛

21、 S(x)在(RR(或RR)上连续n S(x)I 上可积n x dxn nx(xInn 的和函数S(x)在其收敛区间(RR)内可导 并且有逐项求导公nS(x) (a nnx x nnnn（1）ex x,11n（4）ln(1xn x n x （6）!1 n1xn （7）2 （1）（7敛区间的端点是否收敛与 的取值有关，可以证明(这里不证)： x n x （6）!1 n1xn （7）2 （1）（7敛区间的端点是否收敛与 的取值有关，可以证明(这里不证)：当 1时,时,收敛域为 ,1；当 0时, ,1 ,1 n1 1,kZ (nnxn n2(4)nxn1 nn(n 10 0 1t dt ln(1(1

22、 xn1S(xnxn x【注】求lim12 )2 3( 1113 n( ) n2222n2S(x) x，设是以2l 为周期的可积函数，如果在l,l上则S(xa S(x)a bn 2n1ll fx f (x0) f (xS(x) x为第一类间断2f(l0) f(l设是以2l 为周期的可积函数，如果在l,l上则S(xa S(x)a bn 2n1ll fx f (x0) f (xS(x) x为第一类间断2f(l0) f(lx为端2x的周期为2的傅里叶级数为S(x)，则在x x 12 ，.2二、周期为2l设周期为2l的周期函afS(x) a bn 2n1ll其中系数an 和bn ll(n , (nll

23、1ln ()l1、将普通周期函数在l,l llf01llaf (x)nlf (x)sin nll)nl2、将奇偶周期函数在l,l a0 a 当为奇函数时，展开系数为nf(x)sinn l)nll0 lf0l0f(x)cosn为偶函数时，展开系数为a l)nllb 0n3、将非对称区间0,l上的函数a0 a 当为奇函数时，展开系数为nf(x)sinn l)nll0 lf0l0f(x)cosn为偶函数时，展开系数为a l)nllb 0n3、将非对称区间0,l上的函数得到若要求展开成正弦级l,l上的奇函数f 0,l上的f (x) 需作奇延若要求展开成余弦级l,l上的偶函数f 需作偶延a0 a 当为奇

24、函数时，展开系数为nf(x)sinn l)nll0 lf0l0f(x)cosn当为偶函数时，展开系数为a l)nllb 0n展开成余弦级数，并求f.第八多元函数积分学的预（1）向量的相等 性a (ax,ay,az )axiay jaz 对于a axayaz b(bx,by,bz ), c (cx,cy,cz a (ax,ay,az )axiay jaz 对于a axayaz b(bx,by,bz ), c (cx,cy,cz （内积，点积）()a b (ax,ay,az ) (bx,by,bz ) axbx ayby azbz axbx ayby a b b cos cos 为aaa 2 a

25、2 a 2 b 2 b 2 b a axbx ayby azbz（）Prj a称为a在bbb 2 b 2 b a bb cos 0a2（外积，叉积）()abbsin，用右手螺旋定则确定方向（aiajk 0b sin a0aaazbz ()a,b,cabc； 0三向量共面（）（1）平面方程（以下假设平面的法线向量n A,BCax ay Ax BCA( ( 0 z) x xx a 12z0 Ax BCA( ( 0 z) x xx a 12z0 y zc1 （平面过(a, 0), (0, b, 0), (0, 0, c三点b2 1 A2xB2yC2zD2 0，如果所求平面通过已知直线（一般式A2x

26、B2 yC2z D2 0是否满足所求结论，以免遗漏。（2）直线方程（以下假设直线的方向向量 l,mn 1 2 ，其中n1 , 2A, A2 【注】其几何背景很直观，是两个平面的交线；且该直线的方向向量n1n2 x y lmnx lt y y mtM( x , y , z) t0z z nt 0 x y 1z （P(xyz i 12x 21（1）P x 到平面A d BC,0A2B2 Cx1 y zP x y ，方向向量 lmn 11 lmnd l2m2 （3）直线到直线的距离表d l2m2 （3）直线到直线的距离表两平行直线的距离d l2m2两异面直线的距离（Px,y ,z d 1 P2x2,

27、y2z2分别L1L2上的两点【简单推导】以1,2P1P2 为棱画平行六面体121【注1 2 0d 0，则两直线共面（4）d A2B2 C l1 m1 L 2x2 y2 z2 12 11 L1L2间的夹角 arc，其中 min 1,2, 1,2 1 L1L2间的夹角 arc，其中 min 1,2, 1,2 1 2 2n 间的夹角 arccos 2其中 minn1,n2 , n1,n2 平面2A B LnL n Al ，其中 ,n 0, 2L与平面间的夹角 arcs i 2nF(x, y,z) ）一般式（1.G(x, y,z) x t:yt,tz t以求曲线xOyF(x, y,z) ）将z 消去，

28、得到(x, y) 0（1G(x, y,z) (x,y) ）则曲线xOy（2.z 曲线对其他平面的投影曲线可类似求得2z y x y yz 曲面方程 F(x, yz) y2 y2 b 2c1 曲面方程 F(x, yz) y2 y2 b 2c1 2x2 z（了解即可，不用掌握其图形（a b时为圆柱面x2 y（3）旋转曲面（重点） 曲线Cxf x y2 z20f x,y 曲线Cx x2 z2y0f x,y yf 曲线Cx 多元函数微分学的几何应一、空间曲线的切线与法平x （1）设空间曲线由参数方程y(tz (x y0, 0是上的点，且当t t0 时，(t0，(t0(t00这里的 t 增加的方曲线(t

29、 ),(t (x ,y 0000 x （1）设空间曲线由参数方程y(tz (x y0, 0是上的点，且当t t0 时，(t0，(t0(t00这里的 t 增加的方曲线(t ),(t (x ,y 0000 xx0 y zz0 曲线在点 (x y 0(t (t (t 000曲线(x ,y00处的法(x y0, 0点且与切线垂直的平面）(t0)(xx0 t0)( 0)(zz0 0F(x, y,z) （2）设空间曲线由交面式方程组G(x, y,z) 曲线0处的切向量为 (x ,y0GGGGGP 0 yzxyzx P0 xy z曲线在点 (x y ，0yGx 0PP00曲线(x ,y0(x y0, 0点且

30、与切线垂直的平面）Gx(zz0)00Gx 0（1）设空间曲面由方( ,y,z 0是 上的点，(x ,y0曲面(x y0, 0处的法向量（垂直于该点切平面的向量）n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0 x y 00Fx( 0 x , 0 , 0z F (0 x ,0y ,0 z F 0( x ,0 y 0, z y曲面(x y0, 0Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(zz0) （2）设空间曲面由方程z F( , , z yz(x y0, 0处的法向量（垂直于该点切平面的向量）n fx(x0,y0

31、), fy(x0,y0),xy z0(x y0, 0处的法向量（垂直于该点切平面的向量）n fx(x0,y0), fy(x0,y0),xy z0f (x ) x (y 曲面(x y0, 0fx(x0,y0)(xx0) fy(x0,y0)(y y0)(zz0) PSx2y2z2 yz1S P xoy P1定义 设函数u u(x, yP(x y 的某空间邻域U R2lP P(x, y为l上且在U 0tyy y tcos以t (x)2 (y)2 表示P与P 之间的距离，若极0limu(P)u(P0) limu(x0 tcos,y0 tcos)u(x0,y0tttt存在，则称此极限为函数u u(x,

32、yP 沿方向l的方向导数.0定理（方向导数的计算公式） 设函数u u(xyP0(x0y0可微，则u u(xyP0 处沿任一方向l 的方向导数都存在，u(P )cos u(P )cos其中coscos 为方向lf (xy) x y f (0,0)，f (0,0)xy2定义 设三元函数u u(xyP0(x0y0ux(P ),u(P为函数u u(x, yP0处的梯度3u(Pcos u(P cos 为函数u u(x, yP0处的梯度3u(Pcos u(P cos ux(P ),u(P )到u(P),u(P)cos,coslocos lo与lo 的夹角，当cos 1其中为div A Px,y,ziQx,

33、y,zjRx,y,zkdivA P QA旋度 ijk第九三重积1概念 f (xyz定义在三维有界空间区域nf(x,y,z)dvlimf(i,i,i)vi 0 注 （1）将所理解，就是以f (x, y,z)为点密度的空间物体的质量Mf (x, y,（3）要了解三重积分的存在性. 设空间有界闭区域f(xy所理解，就是以f (x, y,z)为点密度的空间物体的质量Mf (x, y,（3）要了解三重积分的存在性. 设空间有界闭区域f(xy在f(xyz在上有界 且在限块光滑曲面外都是连续的，则它在上可积也就是三重积分存在总假设 f (x, y, z) 在 上连续，也就是三重积分总是存在的.2、三重积分的

34、性质（以下总假设为空间有界闭区域在求空间区域的体积 1dv V 其中为可积函数必有界 f (xyz在上可积时则其在积分的线性性质 k1、k2为常数 k1 f (x,y,z)k2g(x,y,z)dv k1f (x,y,z)dvk2g(x,y,积分的可加性 当f (x, y,z)在上可积时 ( z dv ( , ,z)dv ( ,y z 积分的保号性 f (x, yz、g(x, yz在上可积且在f (x, yz g(x, yzf (x,y,z)dv g(x,y,|f (x,y,z)dv| f (x,y,z) 设Mm 分别是f (x,y,z)在上的最大值和最小值为VmV f(x,y,z)dv7 三重

35、积分的中值定理 f (xyz在上连续V 为一点(, ) ，使f (x,y,z)dv f (,3、三重积分f (x,y,z)dv f (,3、三重积分的普通对称性与轮换对称假设yozf (x,y,f (x,y,z) f (x,y,f (x,y,z)dv f (x,y,z) f (x,y,其中1是yoz面前面的部分xyf(x,y,z)dv f(y,x,如，设(x, y2，则f(x)dvfy)dvf(z)dv三重积分的（投影法 z 积分，则要将xoyDxy Dxy 内任意一点xyz轴的直线，使之穿过，先碰到zz1(xy，后离开记为zz2xyz (x,f(x,y.z)dv2f(x,z1(x,D（截面法

36、 xyzzefze, fzh的平面（xoy平面）去截Dz df (x, y,z)dv dz f (x,y,df (x, y,z)dv dz f (x,y,c（1） （2） 去截 Dz是圆域或其部分（比如旋转体）.（2）都学过且熟悉的知识. 联系x ry rz 于是，柱面坐标系中的体积元素 dv rdrddzf(x,y,z)dxdydz f(rcos,rsin,z)rdrddz （3）球面坐标系采用r,Mxyz，点M xoyM，则，（1） x轴到射线OM为向量OM z x rsin于是，联系直角坐标系与球面坐标系的桥梁为： yrsinsin z r 当r 常数时，表示以原点为球心，半径为r =z

37、 当 z轴为中心，半顶角为的锥面用这样的三组面去划分积分区域，就得到dv，在极限状态下，它可以看作边长分别drrdr sind 的小长方体，则dv r2 sindrdd ，f (x,y,z)dvf (rsincos,rsinsin,rcos)r2f (x2 y2 球或球的部f (x y 1 f (x2 y2 球或球的部f (x y 1 后离开，记2 2) 顶点在原点，以z轴为对称轴的圆锥面半顶角（0后离开，记 先碰到，记后离开，记则f(xyz)dvf(rsincosrsinsinrcos)r2sin）f (rsincos,rsinsin,rcos)r sin2222 1 z x2 【例1】计算

38、I zdv，其中是由 z z 2Izdv，其中(xyz) zx2 y2 3z,0 z sinzdz111【例】计算I zx 00（2）形心公式的逆用（由x xdv xV ，其中V 为的体积.）I (2x yz)dv(xyz) (x1)2 y2)2 z2 a2aIy2dv(xyz) x2y2z2 a2a0第十第一型曲线积第一型曲线积分的概念、性质与对1、第一型曲线积分的f (x, yLf (x, yL概念 nf(x,y)ds=limf(i,if (x, yLf (x, yL概念 nf(x,y)ds=limf(i,i0 ， maxli，强调该极限与对曲线L 的分割方式无关（2）f (xy为线密度的

39、空间物质曲线的质量M L f (x了 或f (xyL上有界 LL积分存在 在的f (x, yLL ds 其中lL L可积函数必有界 f (xyL上可积时L积分的线性性质 k1、k2为常数 Lk1 f(x,y)k2g(x,y)dsk1L f(x,y)dsk2L g(x,当f (x, y)在L上可积时L2 L,L2 ，f(x,y)ds f (x,y)dsf(x,L LL1 12积分的保号性 f (xyg(x, yLLf (xy g(x, yf(x,y)dsL g(x,L f(xf (x, y)M、m f (xyL上的最大值和最小值 lL LmlL L f(x,y)ds7中值定理 f (xyL上连续

40、 lL LL上至少存在一点(,6得f (x,y)ds f (Lx f (x, f (x,y) f (x,f (x,y)ds L1Lf(x,y) f(x,其中L1L的右半平面Lx f (x, f (x,y) f (x,f (x,y)ds L1Lf(x,y) f(x,其中L1L的右半平面关于y轴对称的情况与此类似xyLf(x,y)ds L f(y,x ）给出，则dsx(t) y(t) dt 22L（ty x(t)2 y(t)2f (x, y)ds f (x(t), 且LL由y y(xa xb给出，则ds1 y(x)2dx x bf (x, y)ds f (x, y(x) 1y(x)2且La 给出，

41、则dsr()2 r()2d LLrrbr()2 r()2)cos,)sinf (x, y)ds f且La2（2）形心公式的逆用（由xxds xlL ，其中l 为L的长度.）LLL3【例】计算I (xx2 y2 x2 3y2 5y)ds，其中Ly1) 12La第十一第一型曲面积f (x, yz定义在空间有界光滑曲面f (x, yz沿曲面概念 nf(x,y,z)dS 第十一第一型曲面积f (x, yz定义在空间有界光滑曲面f (x, yz沿曲面概念 nf(x,y,z)dS limf(i,i,i0 ，为所有Si 的直径的最大值，强调该极限与对曲面注 （1）将 f (x,y,了解两个可积条件即可：设空

42、间曲面f (x, yz在续 或者当 f (x, y, z) 在 上有界 且在 上除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则它在 上的第一型曲面积分存在 在数学中，一般总假设f(x,y,z)在上连续，2、第一型曲面积分的性质（以下总假设为空间有限分片光滑曲面求空间曲面的 积 dS S S 为可积函数必有界 f (xyz在上可积时则其在积分的线性性质 k1、k2为常数 k1 f (x,y,z)k2g(x,y,z)dS k1 f (x,y,z)dS k2 g(x,y,当f (x, y,z)在上可积时2 2 ，f (x,y,z)dS f (x,y,z)dS f (x,y,积分的保号性 f (x, y

43、zg(x, yz在上可积且在f (x, yz) g(x, yzf (x, y,z)dS g(x, y,f (x, y,f (x, y,z) 6 M、m f(xyz在上的最大值和最小值 S 为有mS f(x,y,6 M、m f(xyz在上的最大值和最小值 S 为有mS f(x,y,z)dS 7 中值定理 f (xyz在上连续 S 为的面积，则在(, 使f (x,y,z)dS f (,3、普通对称性与轮换对称假设yozf (x,y,f (x,y,z) f (x,y,f (x,y,z)dS f(x,y,z) f(x,y,其中1是yoz面前面的部分xyf(x,y,z)dS f (y,x,第一型曲面积分

44、的计1、基础性计算方法化为二重积1)将投影到某一平面（比如xoy面）上投影区域比如D 2)将z z(x, y)或者F(x, yz) 0代入f (x, y3)计算z，z dS 1z)2 z)2xyf (x, y,z)dS f (x，y,z(x,y) 1z2 z2 xoyz z(x, y必须是单值函数！忘记了这一点，就可能算错结果如果将 （2）要么将分成若干曲面122（2）形心公式的逆用（由x （2）要么将分成若干曲面122（2）形心公式的逆用（由x xdS xS ，其中S 为的面积.）2【例】设为椭球面x z2 1的上半部分，点P(x,y,z)， 为在点P处的平面.(x, y,z)是点O(0,0

45、,0)到平面 的距离，求I dS(x, y,第十二第二型曲线积1（1）从数学上说，场就是空间区域上的一种对应法则如果P(x, yz都对应着一个数量u ，则在u u(x,y,如果P(x, yz都对应着一个向量F，则在F(x, y,z) P(x, y,z) 问题可以这样来描述：在一个向量场变力场中，设某质点在变力F(x, y, z作用下，沿着有向曲线 A B，问总共做了多少功？分析如下.(x, y,设沿着有向曲线P(x, yz) d jdz 情形下将变力F(x, y, zdW F(x, yz) dr 于是变力F(x, yz沿着有向曲线A B F(x,y,z) dr P(x,y,(x,y,z)dx,dy,W P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,第二型曲线积分的被积函数F( P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,第二型曲线积分的被积函数F(x, P(x, y)i