线性代数 2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩课件_第1页
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1、2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 1.矩阵的初等变换 2.矩阵的秩 定义2.16 下列三种变换称为矩阵的初等行变换此时变换的是第i行,第j行没有变化!同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)2.4.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换通常称 (1) 换法变换 (2) 倍法变换 (3) 消法变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同逆变换逆变换逆变换三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 2.4.2 初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 定义2.17(1) 交换I的两行或两列，得初等对换矩阵。(3) 以数乘某行（列）加到

2、另一行（列）上，得初等倍加矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。另两种情形同理可证一般记法：2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形定义2 满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：（1）若有零行，则该行下方所有行元素均为零；(2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为零。定理2.4 对任何矩阵Amn，总可以经过有限次初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。 定理2.5 任何一个 矩阵A都与一个形式为的矩阵等价。（rmin(m,n),D称为矩阵A的标准形。由 ，就有上面第一式表示 经有限个初等行变换化为单位矩阵 ，第二式表示经这些初

3、等行变换变为 .用分块矩阵形式把上两式写成 或由定理2.6知道若A可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，即即初等行变换这表明如果对矩阵(A,B) 施行初等行变换，当把 A化为 In 时， B就化为A-1B例10 求矩阵X，使 AX=B，其中 解 如果A可逆，那么 X=A-1B ， 所以 例2.18求解矩阵方程 AX=A+X,其中解 把所给方程变形为(A-I)X=A定义2.19 矩阵A 中不为零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作r(A).规定：零矩阵的秩是0，从而A=0当且仅当r(A)=0.(3）矩阵A的秩为r当且仅当A中存在非零的r阶子式，而所有的r+1阶子式（若存在）均为零。 由定义不

4、难得到：（1）若 A是 mn 矩阵，则A的秩不会大于矩阵的行与列数。即（2） 例2.18解A中有一个3阶子式而所有4阶子式均为零，所以r(A)=3.问题：经过变换矩阵的秩变吗？矩阵秩的计算因为对任何矩阵都可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩。定理2 .8初等变换不改变矩阵的秩，即若A经过初等变换化成B,则r(A)=r(B).推论2.5 设A是mn矩阵，P,Q分别是m阶与n阶可能矩阵，则 r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)推论2.6 设A是mn矩阵，r(A)=r,则A的标准形为求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.20 问t为何值时,

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