平均数标准差与变异系数

1、平均数标准差与变异系数第1页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三数据有两种变化趋势：集中趋势和离散趋势。表示数据集中趋势的指标有多个，如平均数（算术平均数、几何平均数）、中位数、众数，使用最多的是算术平均数。表示数据离散趋势的指标有多个，如极差、平均离差、方差与标准差，使用最多的是方差与标准差。第2页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得的商，称为算术平均数，简称为平均数或均数。用符号 表示。 平均数的意义： 平均数用来描述资料的集中性，即指出资料中数据集中较多的中心位置,常用于同类性质资料间的相互比较。一、集中趋势第3

2、页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三计算方法1. 直接法 适用于样本含量较小的非频数资料如果一个含量为n的样本，其n个观察值分别用x1、x2xn表示，则它们的平均数为其中，（Sigma）为总和符号， 表示从第一个观察值x1累加到第n个观察值xn，若在意义上已明确时，简记为x。第4页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三常数的总和等于该常数的n倍，即代数和的总和等于总和的代数和，即总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之外，即其中C为常数（a为常数）关于总和符号的几个性质第5页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三2. 加权法如果样本中有n1个

3、x1，有n2个x2，那么，n1+n2个数的平均数是加权平均数。同理：各组的次数 fi 是权衡各组中值 xi在资料中所占比重大小的数量，因此f被称为是x的“权”，加权法也由此而得名。第6页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三在计算离散型频数资料的平均数时，式中x为组值，f为频数，N为总频数（f），k为组数。第7页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三 表3-150只小鸡出壳天数的频数分布表第8页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三在计算连续型频数资料的平均数时，式中m为组中值，f、N和k同上式。第9页，共35页，2022年，5月20日，6点56

4、分，星期三组 别组中值m频数（f）fm44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.51259450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合计20010695表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表 =10695/200 =53.475第10页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三平均数有以下几个基本特性：（1）平均数的计算与样本内每个值

5、都有关，它的大小受每个值的影响。（2）若每个xi都乘以相同的数k，则平均数亦应乘以k。（3）若每个xi都加上（或减去）相同的数A，则平均数亦应加上（或减去） A。第11页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三中位数(median) 将资料中所有观察值从小到大依次排列，处于中间位置的数。以Md表示。 适用条件 资料呈偏态分布或频数分布类型不明，以及一端或两端无确定数值,这种资料用中位数作为代表值比用算术平均数为好。 非频数资料，先将各观察值由小到大排列，当n为奇数时，第(n+1)/2位置的观察值即为中位数，即： Md =x (n+1)/2第12页，共35页，2022年，5月20日

6、，6点56分，星期三其中：L中位数所在组的下限；i组距；f中位数所在组的频数；n总频数；c小于中数所在组的累积频数。当n为偶数时， 和 位置的两个观察值之和的二分之一即为中位数，即： 若资料已分组，并编制成了频数分布表，可利用频数分布表计算中数。第13页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三潜伏期（小时）病例数f 累计例数02525125883244012336231464812158605163721164例某地区有164人因沙门氏菌食物中毒，其潜伏期资料经整理如下表，试计算中位数。第14页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三众数（Mode）资料中出现次数最

7、多的那个数或频数最多一组的组中值，记为Mo。第15页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三 fmax=24, Mo=22 50只小鸡出壳天数的频数分布表Md=22第16页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三组 别组中值m频数（f）fx44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.51259450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.5

8、4246合计20010695表3-2 某纯系蛋鸡200枚蛋重的频数分布表 =10695/200 =53.475fmax=44, Mo=52.5Md=53.35第17页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三几何平均数(Geometric mean)定义 指n个观察值乘积的n次方根。即适用条件 主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资料，算术平均数对这类资料的代表性差。如抗体效价（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增长率或生长率、动态发展速度等。第18页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三计算1、应用公式计算（实际应用时常取对数）第19页，共3

9、5页，2022年，5月20日，6点56分，星期三例 海虾养殖试验，各旬的生长速度3.0，1.5 1.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海虾的旬平均生长速度。解： 即海虾平均生长速度为1.38。其算术平均数为第20页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三当资料编成频数分布表时， 各组组中值； 各组次数；第21页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三二、离散趋势资料的另一方面的特征是变异程度。如： A 组资料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均数为： 5 B 组资料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均数为： 5 这里的平均数 5 对于 A 组资料

10、的代表性好？还是对于 B 组资料的代 表性好？可见，只表明了数据的集中程度是远远不够的，还需要进一步说明数据的变异程度。只有通过变异程度的描述，才知道代表值的代表性。表示数据变异特征的数值叫变异数。常用的变异数有：极差、平均离差、方 差、标准差、变异系数等。 第22页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三极差（全距） 极差 = 最大值 - 最小值 只利用了资料中最大值和最小值，不能准确表达资料中各个观察值的变异程度。平均离差 第23页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三它不能表示整个资料中所有观察值的总偏离程度使用不方便，在统计学中未被采用消除离均差的负号离均

11、差的平方之和（简称平方和，记为SS）称为均方（缩写为MS），又称为样本方差，记为S2标准差S离均差第24页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三首先求出离均差，即每个数与它们的平均数之间的离差；然后将所有的离均差平方，再相加，得出离均差平方和；最后用n-1除离均差平方和（按照统计学理论，不要用样本含量n去除），所得的商称为样本方差，用符号s2表示。方差s2是离均差平方的平均数。虽然方差在实际应用中用得最广泛，但因它的单位是原始数据单位的平方，所以它不能直接地指出某个数x与平均数之间的偏离究竟达到什么程度。为此，采用标准差s做标准，衡量x与平均数之间的离散程度。第25页，共35页

12、，2022年，5月20日，6点56分，星期三 自由度 (degree of freedom) ：统计学借此来反映一批变量的约束条件。例如一个有 5 个观察值的样本，因为受到统计数的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围内自由变动取值，而第五个离均差必须满足这一限制条件。 自由度记作 DF ， 一般样本自由度等于观察值个数 ( n ) 减去约束条件的个数 ( k ) ，即 DF n k 。 第26页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三样本方差样本标准差第27页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三为了方便计算，将离均差平方和转化为另一种形式，同时略去下

13、标，上式可表示为：第28页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三在计算离散型频数资料的标准差时，式中x为组值，f为频数，N为总频数（f），k为组数。第29页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三在计算连续型频数资料的标准差时，式中m为组中值，f、N和k同上式。第30页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三标准差的特性（一）标准差的大小受资料中各观察值的影响，观察值间变异大的标准差也大，反之则小；（二）计算标准差时，各观测值加上或减去一个常数，标准差的值不变； (三)当每个观察值都乘以一个常数a时，所得的标准差是原来标准差的a倍第31页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三样本的方差为总体的方差为第32页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三变异系数Coeffcient of variation资料的单位不同或平均数相差很大时，直接利用标准差比较资料间变异程度是不妥的，需用变异系数。 变异系数同标准差一样是衡量资料变异程度的统计量。变异系数消除了不同单位和平均数的影响，可以用来比较不同资料的相对变异程度。第33页，共35页，2022年，5月20日，6点56分，星期三变异系数是标准差与平均