常数项级数讲稿

1、关于常数项级数第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月一 常数项级数的概念及基本性质1 常数项级数的概念 定义：给定一个数列将各项依即次相加, 简记为称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项。级数的前 n 项和第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月称为级数的部分和。收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作当级数收敛时, 称差值为级数的余项.则称无穷级数发散 .显然第三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为第四张，PPT共四十

2、一页，创作于2022年6月2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 几何级数收敛 ;时, 几何级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.此时第五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月如果级数是发散的。解例2. 说明调和级数:是收敛的，则但所以，级数是发散的第六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例3. 判别下列级数的敛散性:解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;第七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月2 无穷级数的基本性质 说明: 级数各

3、项乘以非零常数后其敛散性不变 .即性质1 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,其和为 c S .即第九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月性质2 设有两个收敛级数：则级数也收敛, 其和为即说明: 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若两级数都发散 ,不一定发散.第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例4判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和。解（1）因为均收敛，所以收敛，且和为（2）因为收敛，发散，发散。第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数

4、仍收敛于原级数的和.证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.因此必有例如第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例5. 判断级数的敛散性:解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .第十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月注意(1)并非级数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发散 .(2) 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .设级数性质5. （收敛级数的必要条件）则必有收敛，第十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例6. 说明下列级数是发散的解（1）

5、所以原级数是发散的（2）所以原级数是发散的（3）级数是发散第十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月二 正项级数及其审敛法若定理1 收敛的充要条件是则称为正项级数 .正项级数部分和有界 .序列第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月都有定理2 (比较审敛法)设且存在对一切有(1) 若级数则级数(2) 若级数则级数证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示级数是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨部分和, 则有第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(1) 若级数则因此有界,由定理 1 可知,则由(1)可知,(

6、2) 若级数收敛,收敛,也收敛 .从而级数有界,也收敛 .级数这与发散矛盾.第十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例7. 讨论p-级数的收敛性解: 1) 若因为对一切而调和级数由比较判别法可知 p 级数发散 .发散 ,第十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月因为当故考虑级数的部分和时,2) 若p 级数收敛 .由比较判别法知故级数收敛 , 第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月重要参考级数: 几何级数, p-级数, 调和级数.例8. 判别下列级数的敛散性 解 (1) 而 发散, 所以 原级数发散第二十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(2)收敛，所以收敛.(

7、3)收敛，所以收敛.(4) 所以 原级数收敛收敛第二十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月推论1 (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,第二十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月特别取推论2（极限审敛法）设为正项级数，如果则级数收敛；如果则级数发散.第二十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例9 判别下列级数的敛散性解(1)(2)收敛.第二十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月(3)(4)第二十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例10 判别级数的敛散性.

8、解当时，当时，发散;当时，收敛，发散;也收敛.第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例11 设正项级数 收敛，证明：级数收敛.证因为收敛，所以由于故收敛.第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定理3 比值审敛法 ( Dalembert审敛法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当时, 级数收敛 ;（或) 时, 级数发散 .说明: (1) 当时,级数可能收敛也可能发散.例如（2）在判别收敛时，求极限过程不可缺.此时比值判别法失效.第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例12 判别下列级数的收敛性:解收敛.发散.第三十张，PPT共四十一页，创作于2022年6

9、月收敛.定理4 根值审敛法 ( Cauchy审敛法)设 为正则项级数, 且(2) 当（或）时, 级数发散 .解 例13. 判别级数 的收敛性.该级数发散 .第三十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月三 任意项级数则各项符号正负相间的级数称为交错级数 .定理5 ( Leibnitz 判别法 )则该交错级数收敛 , 若 满足条件:余项满足1 交错级数且和满足第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月证: 又，故级数收敛于S，且，故余项因此第三十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例14 判别下列级数的敛散性：解(1)且所以收敛.(2)原级数收敛.第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月2 绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .为绝对收敛.例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月证: 设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛 ,令定理6 绝对收敛的级数一定收敛 .第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月说明：发散，若用正项级数的比值或根值审敛法判定是发散的.则可以断定第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例15 判别下列级数敛散性，如果收敛指出是条件收敛，还是绝对收敛。解