数值分析5一、直接三角分解法

1、一、直接三角分解法 第五章 解线性方程组的直接法 3 矩阵的三角分解法 二、平方根法三、追赶法 回顾：定理:(矩阵的LU分解)设 A 为 n 阶矩阵，如果 A 的顺序主子式( i = 1,2,n-1)， 则 A 可分解为一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，且这种分解是唯一的。消元时的系数的负值U的对角线元素就是约化主元素akk(k) 0 。一、直接三角分解法回顾：进行矩阵三角分解的意义 若A 实现了LU分解，则 Ax = b(LU)x=bLy = bUx = yL(Ux) =b矩阵的三角分解法举例 解方程组解：矩阵的这种分解称为Doolittle分解单位下三角阵上三角阵由矩阵

2、相等的定义得1则求解原方程组可转化为如下两个三角形方程组：解得解得其中 比较式 A=LU 两端的元素, 按下图所示顺序逐框进行，先求ukj，后求lik. 由第一框可得a11 a12 a1k a1n u11 u12 u1k u1n 第1框a21 a22 a2k a2n l21 u22 u2k u2n 第2框 第k框ak1 ak2 akk akn lk1 lk2 ukk ukn an1 an2 ank ann ln1 ln2 lnk unn 第n框假设前k -1框元素已求出，则由二、平方根法1. 初步介绍平方根法适用于系数矩阵为对称正定阵的方程组的求解。其利用对称正定矩阵的三角分解而得到求解对称正

3、定方程组的一种有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组。 对称正定矩阵 如果AT =A且对任意非零向量， xRn，(Ax, x)=xTAx0.2. 基本原理原理1 (对称阵的三角分解定理)设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均不为零，则A可唯一分解为 A=LDLT其中L为单位下三角阵，D为对角阵.证明：由于A所有的顺序主子式不为零，则A有唯一的LU分解。将U再分解为其中D为对角阵，U0为单位上三角阵，于是又由分解的唯一性得即注：对角阵D中的元素就是约化主元素。原理2 (对称正定阵的三角分解定理)设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均大于零，则存在一个非奇异下三角阵 L 使 A=

4、LLT，当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。矩阵的这种分解称为楚列斯基(Cholesky)分解证明：由原理1可知A可分解为 如果A为对称正定矩阵，则A的分解式A=LDLT中D的对角元素di均为正数. 事实上, 由A的对称正定性, 则A的顺序主子式都大于零约化主元素3. 实际计算利用矩阵相等的定义，通过比较可计算出分解式中的系数。比较A与LLT的相应元素，可得计算公式。实际计算量大约为LU分解计算量的一半。 对于 j=1,2, ,n求解Ax=b，即求解两个三角形方程组 (1) Ly=b，求y；(2) LTx=y，求x. 例题 用平方根法求解对称正定方程组 解 首先对A进行Cholesky分解求解Ly=b，得 y1=2, y2=3.5, y3=1. 求解LTx=y，得 x1=1, x2=1, x3=1. 改进的平方根法例：用改进的平方根法解线性方程组解：三、追赶法1. 初步介绍追赶法适用于系数矩阵为对角占优的三对角阵的方程组的求解。其中, 当|i-j|1时, aij=0, 且满足如下的对角占优条件:(a) |b1|c1|0;(b) |bi|ai|+|ci|, ai,ci0, (i=2,3,n-1).(c) |bn|an|0.2. 基本原理设系数矩阵分解为通过比较可得各参数，注意i的取值。a2a3an注：追赶法的基本思想与高斯消去法及三角 分解法