B 概率统计Ch7 参数估计part2

1、 思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装10个球 第一箱 9个白球 1 个红球 第二箱 1 个白球 9个红球现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答: 9/10.试估计所取箱中的白球比例。2. 极大似然估计1 原则： 以样本X1,X2, . Xn的观测值x1, . xn来估计参数 若选取 使观测值出现的概率最大, 把 作为参数 的估计量。极大似然估计法2第七章 参数估计 2 极大似然估计记：发生的概率为：3第七章 参数估计 2 极大似然估计4第七章 参数估计 2 极大似然估计5第七章 参数估计 2 极大似然估计6第七章 参数估计

2、2 极大似然估计7第七章 参数估计 2 极大似然估计（似然方程组）（对数似然方程组）8试求参数p的极大似然估计量。故似然函数为第七章 参数估计 2 极大似然估计9与矩估计量相同。第七章 参数估计 2 极大似然估计1011似然函数为：第七章 参数估计 2 极大似然估计11第七章 参数估计 2 极大似然估计12 极大似然估计的不变性设 是 的极大似然估计, u=u( )是 的函数, 且有单值反函数： = (u), 则 是 u( ) 的极大似然估计. 13第七章 参数估计 2 极大似然估计14第七章 参数估计 2 极大似然估计15第七章 参数估计 2 极大似然估计16X的概率密度为：第七章 参数估计

3、 2 极大似然估计矩估计：17似然方程组无解.直接从似然函数本身考虑求最大值.第七章 参数估计 2 极大似然估计18 第七章 参数估计 3 估计量评选标准1920212223 第七章 参数估计 3 估计量评选标准3. 估计量的评选标准需要讨论以下问题:问题的提出 从前面可见, 对同一个参数, 用不同的估计法求出的估计量可能不同。(1)对于同一个参数究竟哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?24 常用的几条标准是：1无偏性2有效性3一致性 第七章 参数估计 3 估计量评选标准25一、无 偏 性 第七章 参数估计 3 估计量评选标准我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以

4、要求这些估计值的平均值与真值相等.定义的合理性26证例. 第七章 参数估计 3 估计量评选标准27特别： 样本二阶矩是总体是总体均值 =E( X ) 样本均值的无偏估计量.的无偏估计量.二阶矩 第七章 参数估计 3 估计量评选标准28证例 第七章 参数估计 3 估计量评选标准29因而 第七章 参数估计 3 估计量评选标准30(这种方法称为无偏化). 第七章 参数估计 3 估计量评选标准31例. 设总体 X 的密度函数为为常数为 X 的一个样本. 证明：与都是 的无偏估计量.证 故是 的无偏估计量.32令即故 nZ 是 的无偏估计量.33一个参数往往有不止一个无偏估计, 若和都是参数 的无偏估计

5、量，可以比较 第七章 参数估计 3 估计量评选标准以方差小为好, 这就引进了有效性这一概念 . 34D( ) D( )则称 较 有效 .都是参数 的无偏估计量，若对任意n，设和二、有效性35 第七章 参数估计 3 估计量评选标准例. 设总体 X 的密度函数为为 X 的一个样本. 36证明： 第七章 参数估计 3 估计量评选标准37 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2 为总体 X 的一个样本证明是 的无偏估计量(2) 证明比更有效证 (1) 例(1) 设常数38(2) 结论 算术均值比加权均值更有效.而39例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是样本.都是

6、 的无偏估计量所以最有效.40定义 设 是总体参数 则称是总体参数 的一致估计量.的估计量. 若当n 时, 依概率收敛于 , 即三、一致性41关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量. 是 的一致估计量.由大数定律证明用切贝雪夫不 等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量2. 设 是 的无偏估计 量, 且 , 则42则 是 的一致估计量.证: 例.所以 是 的一致估计量, 证毕.434. 区 间 估 计 区间估计：根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。(一) 单正态总体情形441. 置信区间与置信度第七章 参数估计 4.区

7、间估计45第七章 参数估计 4.区间估计通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%46 2. 反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠.1. 置信区间的长度 L 反映了估计精度, 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但 3. 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选长度最小的一个. 几 点 说 明 L 越小, 估计精度越高.这时, L 往往增大, 因而估计精度降低.47第七章 参数估计 4.区间估计2. 正态总体，求均值的区间估计(1). 已知方差，估计均值48即： 对称区间最短第七章 参数估计 4.区间估计49得到的置信区间为：第七章 参数估计 4.区间估计区间的长度为 达到最短5

8、0取 = 0.051-1-51例. 已知幼儿身高服从正态分布，现从5岁的幼儿 中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第七章 参数估计 4.区间估计52(2). 未知方差，估计均值第七章 参数估计 4.区间估计53第七章 参数估计 4.区间估计 对称区间最短54得到的置信区间为：第七章 参数估计 4.区间估计55例. 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 设温度第七章 参数估计 4.区间估计563.正态总体，求方差2的区间估计第七章 参

9、数估计 4.区间估计57第七章 参数估计 4.区间估计58第七章 参数估计 4.区间估计得到2的置信区间为：59例. 设某机床加工的零件长度今抽查16个零件，测得长度（mm）如下：12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 以置信度为95%，试求总体方差 的置信区间。第七章 参数估计 4.区间估计60为总体 XN ( 1 12 ) 的样本,为总体 YN ( 2 22 ) 的样本,设X,Y独立，置信度为 1 .分别表示

10、X, Y的样本均值与修正(二) 双正态总体情形第七章 参数估计 4.区间估计样本方差.求 1- 2，12/ 22 的区间估计.61相互独立, 1. 已知, 求 的置信区间第七章 参数估计 4.区间估计62解出 的置信区间为：63取样本函数2. 方差比的置信区间 得，方差比的置信区间：第七章 参数估计 4.区间估计64例2 某厂两条流水线包装产品，重量都服从正态分布，其均值为 1与 2. 现分别抽取容量分别为n1=13与n2=17的两独立样本： 与测得：第七章 参数估计 4.区间估计(1) 若已知方差,求均值差的置信度为0.95 的置信区间; 求方差比置信度为 0.95 的置信区间.65解查表得 ，n1=13, n2=17 代入公式 的置信区间为(1) 取样本的函数66(2) 取样本函数查表得代入公式得方差比 的置信区间为67(三) 单侧置信区间 某些问题只关心置信区间的上限或下限，如次品率问题只关心上限, 产品寿命问题只关