无穷极数中的几个典型反例

1、无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例(1) 比值差别法：U土3级数疽n=1级数疽n=1u 发散，但极限lim 土并不存在n T3 Un因为级数2=发散而级数芝 坪1收敛。所以级数、2 十：11发散。n=1n=1n=1而.=，2 + ( 1)n +1是摆动数列U 2 + 而.=，2 + ( 1)n +1是摆动数列U 2 + ( 1)n nn T8 Un T8 1时收敛;,PnnF Un=1np 1时,发散。(2) 根值判别法：272 + (-1)nn例2： 2 -一n=1 L-级数习业厂收敛，, n = 1级数习业厂收敛，, n = 1ns=limnT3灵 + (1

2、)n并不存在。八72 + 1n)n (2 M $(很 + 1Y0 -一- - I而2 兰I收敛(公比小于1的等比级数)。-I Vn=1 V)由比较判别法，n = 12 V由比较判别法，n = 12 V2 + (-1)n3n收敛。但V2 + ( 1)n是摆动数列。故 lim 寻 =limnsn T32 + (1)n不存在。注:在正项级数的敛散性判别中，比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的 条件是充分而非必要的。、交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中，莱布尼兹判别法使用起来非常方便，但是有些情况下的交错级 数不满足条件。1u =，n 3 + (-1)n显而易见

3、满足limu- 0，而不满足。u产+ (n = 1,2,)，但作为任意项级数 n s_(-1)nu n n + (-1)n=(-1)_(-1)nu n n + (-1)n=(-1)n 1n -1 n -1收敛，而级数上 发散知，级数井，(-1)n 发散。 n=2 + (-1)n例4： (-1) nn=例4： (-1) nn=2n + (-1) n井(-1) nn=21(-1)n (n - (-1)n )(-1)nnn + (-1) n 一,.一、,.、,(-1)n n 根据莱布尼兹判别法易知交错级数-n 2 -1n=2收敛，而占收敛，所以原级数n=2 (-1) 土是收敛的。n=2注：例3与例4

4、都是不满足|七 |七|的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。三、幂级数中的反例Xn的收敛半径R丰Xn的收敛半径R丰0，那么一定有n=0limnsan+1limnsan+1an二L=1/R，这是不对的，因为有可能limmsan+1an不存在。例5：求幂级数当拦nxn的收敛半径2 nn=1同例1,可知limnT8an+1an寸 2 + (-1) n予不存在，而 X同例1,可知limnT8an+1an寸 2 + (-1) n予不存在，而 Xn = 2 nn =1n=1Xn + Oh Xn 2n-12n，显然 1_ (-1) n 2 + (-1) n乙Xn与Xn的收敛半径均为2,所以，幂级数乙Xn的

5、收敛半径R=2。2nn = 12 n-1 n=12nn = 1泰勒级数中的反例只要一个函数在某点处存在任意阶导数,在此点处的泰勒级数一定存在，但泰勒级数作为幂 级数，它在收敛域内是否收敛于函数本身？四、例6：讨论f (x)= 旎X * 0 在点x = 0处的泰勒级数是否在收敛域内收敛于函数f (x) 0, X = 0本身。可以证明f (x)在x = 0点任意阶可导，且f(n)(0) = = 0 ( n = 0, 1, 2,).f (x)在点乂 =该级数在(-8,可见，除x = 0外,0处的泰勒级数为工0 X Xn ,n=0+ 8)内的和函数s (x) = 0.f (x)在点x = 0处的泰勒级

6、数处处不收敛于f (x).另外一个例子是高数课本中的例子例7：幂级数 ,”,n(n +1)n = 1别是-1, 1 , - 1,Xn+1,工Xn它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分n=0 -1, 1).n=11)五、任意项级数中的反例例8：(2000年考研题)设级数 un = 1例8：(2000年考研题)设级数 un = 1是收敛，则必收敛的级数为(A)工(-1)nU n n=1(B)工 u 2 (C)nn = 1工(u2n1 -u2n)(D)工(un = 1n = 1u )n+1解解应用级数的性质，收敛级数 un = 1与 u逐项相加后的级数仍收敛，故(D)成立.其n +1它3种情况不成立

7、列举反例如下:U(1)n，则 E (-1)-是收敛的，而 E (-1) 匕=E 1 是发散的;n ln nIn nn n In n TOC o 1-5 h z n=1n=1n=1U = (-1)nL，则E (-1)n 是收敛的，而E U 2= E -是发散的；n七nnn nn=1n=1n=1U =-(-1)n-11，则 E-(-1)n 1 是收敛的，而 E (u- U )= E 是nnn2 n-12 n2n(2 n -1) HYPERLINK l bookmark126 o Current Document n=1n=1n=1发散的.参考文献1 :刘红卫，于力.关于无穷多个无穷小的乘积的注记J1高等数学研究，2002, 5 (3