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1、定义4.4 相关系数 correlation coefficient 设 是二维随机变量, 若 存在, 且为随机变量的相关系数, 即 则称 定理4.5 相关系数性质 的充要条件是: 存在非零常数k, 常数c使得:当 时, X, Y以概率1成立线性关系.根据相关系数 的值, 定义: 正线性相关:负线性相关:不相关:当方差不为0时, 不相关等价表达为:或若则例1 设二维随机变量 的分布律为求 解 随机变量 与 的边缘分布律为由此得:所以:定理4.6 如果X与Y相互独立, 则X与Y不相关.反之, 若X与Y不相关, 不能推出X与Y相互独立定理4.7 设 服从二维正态分布, 即则X与Y相互独立等价于X与

2、Y不相关.证明: 计算得由定理3.7即得.课堂练习: 设 的联合密度函数为试证随机变量 与 既不独立也不相关.解 因注意到积分区域是个全对称区域, 所以所以,其它,所以,随机变量 与 不相关.同理有即随机变量 不是独立的.其它 是公共连续点, 显然有:4.4 矩与协方差矩阵 定义:k阶原点矩:k阶中心矩:(k, l)阶联合原点矩:(k, l)阶联合原点矩:注: 期望为一阶原点矩, 方差为二阶中心矩. 协方差为(1, 1)阶联合中心矩.例1 已知求X的各阶矩. 解:由分部积分公式得:例2 已知求X的各阶中心矩. 解: 利用结论当 对于二维随机变量(X,Y), 称列向量为(X,Y)的期望向量.称矩

3、阵 为(X,Y)的协方差矩阵. 显然, 这是个对称阵. 借助于期望向量和协方差矩阵, 可以把二维正态分布的密度函数表达成简单形式, 并进而推广到n维正态分布.若则:其中:一般地:n维随机变量 的期望向量为:协方差矩阵为:其中:由此, n维正态分布的密度函数定义为: 4.6 两个不等式 正态分布的 准则: 等价地:问: 随机变量X的期望方差分别为 是否有:猜测: 随 的增大而增大, 随k的增大而减小. 定理4.8 切比雪夫不等式设X是任意一个随机变量, 对任意一个有:切比雪夫不等式可以等价地表示成:记 又得到另一形式: 当k=3时 这个上界非常粗糙. 切比雪夫不等式主要在理论研究中发挥重要作用.证明:设X是连续型随机变量, 密度函数为例3 设随机变量X的方差为0, 证明X服从退化分布.证明: 记对任意一个有:所以即由 任意性得:定理4.9 柯西-许瓦兹不等式 设(X,Y)是任一二维随机变量, 则: 请与下列不等式作比较:证明:即得:判别式例4: 证明 证: 对中心化

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