多元积分cha12-32三重的计算

1、三重积分的计直角坐标系中将三重三重积分的计直角坐标系中将三重积分化为三次积nif(,i ,i f(x,y,z)dV i上每一点xyz) 分析：三重积分和积分区 0 时，积分值等于每一函数值和体积有关，fx, yz)dV 之和问题如何将区域 中的每一点都计算一如图，闭区在 xoy面的投影为闭区域 zz z2(x, yz z1(如图，闭区在 xoy面的投影为闭区域 zz z2(x, yz z1(x,y),z z2(x,y),S1 S2 z z1(x, y过点xyD作直线a yDy y2(x)bx(x, y)z 穿入，从穿出12y y (x)11.先单后先将 x, y 看作定值，将 fx, yz)只

2、看作 zz (x,yF(x,y)先将 x, y 看作定值，将 fx, yz)只看作 zz (x,yF(x,y)2z1(x,yf(x,y,z)dz计算 Fx, y) 在闭区间 D 上的二重积z (x,y f(x,y,z)dzdD 2z1(x,yF(x,D(1) 式称为“先单后重”积分公式D: y1(x) ya xby2(x),by (xz (x,yf(x,y,z)dxdydz2y1(x2f(x,y,z)dz.az1(x,y这是平行于z 轴且穿过闭区域注的直线这是平行于z 轴且穿过闭区域注的直线闭区域 的边界曲面S 相交不多于两点情形“先单后重计算步骤：(1) 定投影区、(2定上下（后）（3z2

3、21xydz x 2,010 212y y 解： 2d02x2122dxy zy1002110z2 21xydz x 2,010 212y y 解： 2d02x2122dxy zy10021102 y z2x01若 x ， y z m，则注 f1(xfyf)dO12bdmlf (xf2(3(zz1ac1I zdxdydz其中2及平面 x y z 1解：的投影区域I zdxdydz其中2及平面 x y z 1解：的投影区域Dxy z1上下边界曲面分别为z 0z 1 x B所11xOI zyA1xx 111zx0001I f x, y, z)dxdydz为三次I f x, y, z)dxdydz为

4、三次分，其中积分区域 为由曲z 2 x2所围成的闭区域z x2y2z x2 2y2解由z 2 x2得交线投影区x2 y2 :2x2x22y2I f(x,y,y11 x:1y11 x:1 x2 y1 x2x1x2x22x21x22y2I f(x,y,z)dz.4 I xcos(yz)dxdydz，其中由曲面 x zx0y0yz4 I xcos(yz)dxdydz，其中由曲面 x zx0y0yz y2 在 xoz z x2Cyz :0 z ,0 x 2Dxzz2O上下边界分别为y 0,y z2xABzDDxzdxdzI xcos( y z)dy20zdxxcos(yz)dy220002 的体积其求

5、yzd解：zz22 x22 的体积其求yzd解：zz22 x2222y 在 xoy zD:O xxx dz22xyDxy 22yy2010220102r2 r)r( 4(23例 计算三重积分2xdydz，其中 1zz1y 1所围成，将xoz平面解如图z12例 计算三重积分2xdydz，其中 1zz1y 1所围成，将xoz平面解如图z12原式y1x21 1 x2 dz2211(1 x2 281 16 求积分 I yz6 求积分 I yz zx xydV (x, y,z)| x2 y2 z2 4a2,x2 yI yzdV zxdV xy 2axa 0)yz和 xyyxoz yzdV 0,xydV

6、zx关于zxoyzxdV I 注：利用被积函数奇偶性和积分注：利用被积函数奇偶性和积分区域对称性计算三重积分如果积分区域 关于yoz 坐标平面对称，f(x,y,f(x,y,z) f(x,y,z).f(x,y,z) f(x,y,z).2f(x,y,前z截面法的一般步骤(1)把积分区域向某轴（例如投影，得投影区间z截面法的一般步骤(1)把积分区域向某轴（例如投影，得投影区间c1c2轴对zc1c2用过z轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;计算二重积分 fx, yz)dxdy其结果为z的函数F (z)；zyOxc2F(z)dz即得三重积分值c f(x,y,z)dV 2f(x,y,Dz2.先重后例

7、7 ydz ,其中为三个坐标z 1z110解zyo1Dz (| x例7 ydz ,其中为三个坐标z 1z110解zyo1Dz (| x yzy1y1x ) 1z)x2x y 11( 112dzD.z20 x1O围计算三重积分z2dxdydz，其是由椭球x2y2 z2计算三重积分z2dxdydz，其是由椭球x2y2 z21所成的空间闭区域a2b2c2z(x,y,z)|c z 解Dzx2y2z21b2c2a2oycz2dzdxdy,xcx2y2z2y a2z22bczz2y2 2 (b 22ccDzz22x2y2z2y a2z22bczz2y2 2 (b 22ccDzz22cxz2c2d2cc 4 abc3三重积分交换积分次序33x3 22 1I dxf(x,y,z三重积分交换积分次序33x3 22 1I dxf(x,y,z)dz2例9 给定积000试将其变换为先xyz的三次积分方法：依次交换相邻的两个定积分的次序，直到换成所要的次序1dx f(x, y,解I z33x033x3 322 f(x,y,z)z 33x2200 f(x,y,y22xO22x233 dzf(x,y,300z322x233 1I dxdzf(x,y,3000z33x