孙炳达版自动控制原理线性连续系统的数学模型市公开课获奖课件

1、自动控制原理第二章 线性连续系统数学模型2.3 传递函数第1页第1页2.3 传递函数微分方程式r(t)c(t)时域解c(t)求解微分方程式一、传递函数概念及定义 长处：用微分方程描述系统数学模型，直观，借助计算机能够快速准确求出方程解，即系统输出量随时间改变规律。 缺点：假如系统结构或参数发生改变时，就要重新编写并求解微分方程，不利于分析系统参数改变对性能影响。第2页第2页2.3 传递函数微分方程式r(t)c(t)求解代数方程时域解c(t)Ls代数方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s) L-1用拉氏变换求解微分方程普通环节： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微

2、分方程在s 域解。 3)求s 域解拉氏逆变换，即得微分方程解。第3页第3页2.3 传递函数例 图中RC电路，当开关K忽然接通后，试求出电容电压uc(t)改变规律。 R C ur uc解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。由基尔霍夫电压定律写出电路微分方程： 第4页第4页2.3 传递函数电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换当输入为单位阶跃电压时，ur (t) = 1， Ur (s) = 1/s， 得第5页第5页2.3 传递函数对上式进行拉氏逆变换，得uc (t)解为： 式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定分量，是当电容初始状态uc(0) =0 时响应，故称零状态响应。

3、 第二项是由电容初始电压uc(0)决定分量，是当输入电压ur (t)=0时响应，故称零输入响应。第6页第6页2.3 传递函数 用拉氏变换求解微分方程长处： 1）复杂微分方程变换成简朴代数方程 2）求得解是完整，初始条件已包括在拉氏变换中,不用另行拟定积分常数 3）若所有初值为0，拉氏变换式可直接用s代替d/dt, s2代替d2/dt2得到。第7页第7页2.3 传递函数在上例中，若令uc(0) = 0，则有于是输出量与输入量拉氏变换式之比为： 可见，输入与输出之间关系仅取决于电路结构形式及其参数（固有特性）,与输入详细形式无关，无论输入如何，系统都以相同传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数

4、，记为G(s)。第8页第8页2.3 传递函数传递函数是代数式，其传递作用还经惯用方框图直观表示：G(s) Uc(s)Ur(s)Uc(s) = G(s) Ur(s)传递函数定义： 在零初始条件下，系统（环节/元件）输出量拉氏变换与其输入量拉氏变换之比，即为系统（环节/元件）传递函数。通惯用G(s)或(s)表示。第9页第9页2.3 传递函数普通，设线性定常系统微分方程式为式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn1 + + an1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm1 + + am1s + am )R(s)第10页第

5、10页按定义，其传递函数为：2.3 传递函数 传递函数分母多项式即为微分方程特性多项式，决定系统动态性能。从描述系统完整性来说，它只能反应零状态响应部分。 在工程实际当中，系统在输入作用前是相对静止，即输出量及其各阶导数在t =0值为零，满足零初始条件。第11页第11页2.3 传递函数传递函数性质传递函数是一个数学模型，与系统微分方程相相应。传递函数是系统本身一个属性，与输入量大小和性质无关。传递函数只适合用于线性定常系统，由于拉氏变换是一个线性变换。传递函数描述是一对拟定变量之间传递关系，对中间变量不反应，即不能反应系统内部特性。 第12页第12页2.3 传递函数传递函数是在零初始条件下定义

6、，因而它不能反应在非零初始条件下系统运动情况。传递函数普通为复变量s 有理分式，它分母多项式是系统特性多项式，且阶次总是不小于或等于分子多项式阶次，即n m。并且所有系数均为实数。传递函数与脉冲响应一一相应，是拉氏变换与反变换关系。第13页第13页2.3 传递函数例 求百分比积分控制器传递函数。第14页第14页2.3 传递函数二、传递函数表示形式 1、（真）有理分式形式 （n m）第15页第15页2.3 传递函数2、零极点形式 Kg=bm/an零极点形式下传递函数传递系数，又称根轨迹传递系数或根轨迹增益。第16页第16页2.3 传递函数3、时间常数形式 K=b0/a0时间常数形式下传递函数传递

7、系数，又称放大系数。第17页第17页2.3 传递函数三、典型环节及其传递函数一个物理系统是由许多元件组合而成，即使元件结构和作用原理各种多样，但若考察其数学模型，却能够划分成为数不多几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是：百分比环节；惯性环节；积分环节；振荡环节；微分环节；滞后环节。第18页第18页2.3 传递函数任一复杂传递函数G(s)，都可表示为：百分比环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节第19页第19页2.3 传递函数1、百分比环节（放大环节/无惯性环节）特点：输入量与输出量关系为一个固定百分比关系。运动方程式 c(t) = K r(t)传递函数 G(s) = K单位阶

8、跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K1(t) 可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成百分比改变。常见百分比环节：杠杆，齿轮系，电位器，变压器等。c(t)r(t)c(t)/r(t)第20页第20页2.3 传递函数2、惯性环节特点：只包括一个储能元件，使其输出量不能马上跟随输入量改变，存在时间上延迟。微分方程式：传递函数:式中，T是惯性环节时间常数。单位阶跃响应:第21页第21页2.3 传递函数0tc(t)0.950.9821.0T2T3T4T阶跃响应曲线是按指数上升曲线。常见惯性环节：RC滤波电路、直流电机励磁回路等。第22页第22页2.3 传递函

9、数例 运算放大器构成惯性环节。第23页第23页2.3 传递函数3、积分环节特点：输出量随时间成正比地无限增长。微分方程式：传递函数:单位阶跃响应:第24页第24页2.3 传递函数r(t)t01c(t)t01T当输入阶跃函数时，该环节输出随时间直线增长。当输入忽然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功效。常见积分环节：电容、积分运算放大器等。第25页第25页2.3 传递函数4、振荡环节 特点：振荡程度与阻尼系数相关。微分方程式：传递函数:或式中，T 0，0 1，n = 1/T，T 称为振荡环节时间常数， 为阻尼系数，n为自然振荡频率。第26页第26页2.3 传递函数单位阶跃响应:c(t) t

10、01振荡环节单位响应是有阻尼正弦曲线。振荡程度与阻尼比相关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。第27页第27页2.3 传递函数常见振荡环节：弹簧阻尼系统：机械旋转系统：RLC电路：第28页第28页2.3 传递函数5、微分环节 特点：是积分环节逆运算，其输出量反应了输入信号改变趁势。微分方程式：传递函数:单位阶跃响应:G(s)=Tsc(t) = T(t)第29页第29页2.3 传递函数r(t)t0c(t)t0T由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变，其它时刻均不改变，因此微分环节对阶跃输入响应只在t = 0时刻产生一个响应脉冲。抱负微分环节在物理系统中很少独立存在，常见为带有惯性环节微分特性，传递函数为：第30页第30页常见物理系统：RC电路微分环节和惯性环节串联组合。2.3 传递函数第31页第31页事实上是一个百分比环节和微分环节并联组