高考不等式选讲专题复习(经典)

1、第第 页共10页分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程【变式训练 3】设函数 f(x)=xa(x+ 1)ln(x+ 1)(x- 1, a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当 mn0 时，(1 + m)n0,所以f(x)在(-1, + 00止是增函数；1-a1 - a当a 0时，f(x)在(-1, e1上单调递增，在e1 1, 十惮调递减.(2)证明：要证(1 + m)n(1 + n)m,只需证(2)证明：要证(1 + m)n(1 + n)m,只需证nln(1 +m)vmln(1 +n), 只需证m0),则 gx) = xx 一

2、、ln(1 + x)1 + xx (1 + x)ln(1 + x)由(1)知 x(1 + x)ln(1+x)在(0, + 8 单调递减,所以 x- (1 + x)ln(1 +x)n,所以g(m)vg(n),故原不等式成立总结提高.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分 解、通分等计算方法.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝 对值三角不等式等.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要

3、证明的结论出发，逐步寻找使它成立 的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式. 3不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例 1】已知 a, bCR,且 a+b=1,求证：(a+2)2+(b+2)x2x2(1 + x)【证明】 方法一：(放缩法)因为a+ b= 1,25六2 =右

4、边.22 (a+ 2)+ (b+ 2)25六2 =右边.所以左边=(a+2) + (b+2) 22 =2(a+b)+4=方法二：(反证法)假设(a+2)2+(b + 2)225,则 a2+b2+4(a+ b)+825.由 a + b=1,得 b=1 a,于是有 a? + (1 a)2 + 12 .所以(a_2)20矛盾.故假设不成立，所以(a+2) 所以 1+2 + + nvan21 +3+(2n+1).所以 1+2 + + nvana + b 2 j r , -八22 , 、 ,一2(一2一)2来证明比较好，它可以将具备a2+b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件

5、a+b=1,得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明【变式训练1】设a0,ai,a2,，ai,an满足a0=an=0,且有a0 2ai + a2 0,ai 2a2+ a3 0,an 2 2an 1 + an 0,求证：a1, a2,，an 1 0得a2 a a 一 a0.同理，an an 1 an 1 an 2 a2a1a1a。.假设a1,a2,，an1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2,，an1中第一个出现的正数.即a1w0,a20,，ar 10,则有 ar a10,于是有 an an 1 an 1 an-2。 a一

6、a-10.并由此得 anan 1an 2 - ar0.这与题设an =0矛盾.由此证得a1, a2,，an-1W0成立.题型二用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：/nJl2设 an= 1 X2 +，2X3 + n(n+ 1), n N ,求证：-2vanv-2.【证明】方法一：(放缩法),n2n(nn+(n+1)+ 1)v,n2n(nn+(n+1)+ 1)v2，即 n2n+ 12n(n+ 1)所以一2n(n+ 1) an2 , 一 (n +1)21 (n+1)(1+2n+1) an 1)时，不等式成立，即 则当 n= k+1 时，ak+1 = V举 + 2 X3 +k(k+

7、1) (k+1)2所以2+ y (k + 1)( k+ 2) v ak+1 v2+(k+1)2ak+ 1)(k+2)所以此，2ak+1: k(k+ 1)(k+ 1)(k+ 2)(k+ 1讣+1)=-2+ +1)=2 ,(k+1)2 (k+1) +(k+ 2) k2+4k+4 (k+ 2)22+(k+ 2)22.故当n= k+1时，不等式也成立* * - n(n+1) (n+1)2综合知当 n(N ,都有 一为一an, , , , e、，一， 一，e 一， 一，、 nn+(n+1)一 .,、.【点拨】在用放缩法时，常利用基本不等式yjn(n+1) 1)假设当n= k(k 1)时等式成立，即 Sk

8、=(2k+ 1)21(2k+1)28(k+ 1)(2k+ 1)218(k+ 1)则 Sk+ 1 Sk+(2k+1)2(2k+ 3)2(2k+1)2 +(2k+1)2(2k+3)2(2k + 1)2(2k+3)2 (2k+ 1)2 2(k+1) + 12 1 (2k+ 1)2(2k+3)22(k+ 1)+ 12即当n= k+1时，等式也成立.综合得，对任何 n制+ ,等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设an为n年后该地区森林木材存量.求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失

9、，该地区每年森林木材量应不少于9a,如果b=9a,那么该地区今后 TOC o 1-5 h z 97 2会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2 = 0.30)15【解析】(1)依题息得a = a(1+ 4)b=ab,5_ 5 55 25 a2=4a1-b=4(4a-b)-b=(4)a-(4+1)b,a3=4a2-b=(5)3a-(4)2+(4+ 1) b，5 c 5555 c 5 c由此猜测 an =(4) a-(4)+(4)+ +4+1b=q) a 4() 1b(n制+).下面用数学归纳法证明：一 ,5当n= 1时，a = 4ab,猜测成立.假设n=k(k2)时猜测成立，即ak=(

10、4)ka4(5)k1b成立.那么当 n=k+1 时，ak+1 = 4akb = 44)ka 4(5)k1bb= (|)k+1a-4()k+1-1b,即当n= k+1时，猜测仍成立.由知，对任意 nCN+,猜测成立.(2)当b=a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于9a,7 29所以(4)na 4(5)n1，枭5, 5两边取对数得 nlg 4lg 5 ,所以nlg 5所以nlg 51g 5-2lg 2弋=7.1 31g 2 1 -30.30故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千

11、米/时)之间的函数关系为 V= 2-20Vacc(V0).V 十 3V 十 1 600在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ ,920【解析】(1)依题意，y= ,920【解析】(1)依题意，y= 920 600 v 3+(v+)9209203 + 21 600831 600 v=,即v= 40时，上式等号成立，所以ymax=11.1千辆/时).832v - 2v - 89v+ 1 600 V 0,(2)由条件得 2+3 + 6oo10整理得即(v25)(v64

12、)V0,解得 25V vv 64.答：当v= 40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平土速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定 词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和 中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如 :a2 + 1 |a|, -n(n+ 1)n;(2

13、)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如 1n(n+1)n+(n+1)；(4)利用常用结论，如Q *而人 k( =kG1 (程度大)；111111k2V k2-1 = (k 1)(k+ 1) = 2(kr k+ 1)(程度小).3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基， 后进行假设与推理，二者缺一不可. 4柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式2 222例1设a1, a2,，an都为正实数，证明： 史+及+包+ ana1+a2+ an.a2 a3an a1【证明】方法一：由柯西不等式，有222222

14、.a1 ,a2 , anT(一-F -F +a2 a3ana2 + a3+ , + an+ ai) (-a , -702+ -7= , J03 + -a *Jai)2 = (a1 + a2+ + an)2. ,a21, a3,a1不等式两边约去正数因式a + a2+ an即得所证不等式.方法二：不妨设aiWa?w方法二：不妨设aiWa?ww an,则a1wa2ww a2a1a2an1 ,21 ,21,+ an , = a1 + a2+ + an,a2ana2 1+ a2 1+ + a2 ,工+ a2 工 a2 工+ a2 a2a3ana1a1故不等式成立.方法三：由均值不等式有a1a?an+

15、a22a1, +a32a2,，+a12an,将这n个不等式相加得a2a3a12222a1 a2. anT . an .+ + + az+a3+ an+a1 2(小+ a2+ an),整理即得所证不等式 .a2 a3an a1【点拨】根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处 将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理222【变式训练 1】 已知a +b+c= 1,且a、b、c是正数，求证： + + 9.【证明】 左边=2(a+b+c)(/一+ ) a+ b b+ c c+ a= (a+ b)+(b+c)+(c+

16、a)(+)(1 + 1 + 1)2=9,a+ b b+ c c+ a(或左边=(a+b) + (b + c)+ (c+a)(+ 1) a+ b b+ c c+ a TOC o 1-5 h z a+ba+bb+cb+cc+ac+a=3 +b+cc+aa+bc+aa+bb + c3+2+ 2 b c3+2+ 2 b c.c a.c a b c=9)222所以+9.a+b b+c c+a题型二用柯西不等式求最值【例2】 若实数x, y, z满足x+2y+3z= 2,求x2+y2+z2的最小值.【解析】由柯西不等式得，(12+ 22 + 32)(x2+ y2+z2) (x+ 2y+ 3z)2= 4(当

17、且仅当1 = kx,2=ky,3=kz时等号成立，123结合 x+2y+3z= 2,解得 x=7，y=7, z= 7),所以 14(x2+y2+z2)4jx2 + y2+ z2 7.故x2 + y2 + z2的最小值为2.【点拨】根据柯西不等式，要求 x2 + y2 + z2的最小值，就要给 W+y2 + z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x + 2y+3z的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x2+2y2+3z2=17，求3x+2y + z的最小值.【解析】因为(x2+ 2y2 + 3z2)32+

18、 (例2 + (-13) (3x+ /y . #+ 串z %)2 (3x+ 2y+ z)2,所以(3x+2y+z)%12,即2. 3x+2y+zW 2事, 当且仅当X限y一吟z一都，3x+ 2y+z取最小值，最小值为 25.题型三不等式综合证明与运用【例 3】 设 x0,求证：1 + x+ x2+ x2n (2n+1)xn.【证明】(1)当x1时，iwxw x2ww xn,由排序原理：顺序和 a反序和得1 T + x x+ x2 x2+xn xn 1 - xn+x xn 1+ xn j x+xn T,即 1+x2 + x4+x2n(n+1)xn.又因为x, x2,，xn, 1为序列1, x,

19、x2,，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和 反序和 得 1 x+ x x2+ + xn 1 xn+ xn 1 1 , xn + x xn1 + + xn 1 x+ xn 1 ,即 x+ x3+ x2n1 + xn(n+1)xn,将和相加得1 + x + x2 + x2n R(2n + 1)xn.(2)当 0vxv1 时，1xx2 xn.由仍然成立，于是也成立.综合(1)(2),原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最 小值.【解析】 设这三个正三角形的边长分别为a、b、c

20、,则a+b+c= 3,且这三个正三角形面积和 S满足：3S= y(a2+ b2+ c2)(12+ 12 +12) (a+ b+ 62=呼？ S乎.当且仅当a=b= c=1时，等号成立.总结提高.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式 的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式 a2 + b22ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究一一猜想一一证明一一应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等 式的数学意义、证明方法和简单应用.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解 (证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步 调整去构造.对于具体明确的大小顺序、 数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时， 通常考虑排 序不等式.嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂铐萼甚昔虐暇咯月鼠阈盛屠累蠕嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂铐萼甚昔虐暇咯月鼠阈盛屠累蠕嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂铐萼甚昔虐暇咯月鼠阈盛屠累蠕嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂铐萼甚昔虐暇咯月鼠阈盛屠