音乐背后的数学

1、音乐背后的数学音背后的数学数学家莱布尼（Leibniz，1646-1716）:“音是一种藏的算，透潜意的心灵跟数量在打交道。”近代作曲家斯特拉文斯基(Stravinsky，1882-1971)：“音的形式近于数学而不是文学，音确很像数学思想与数学关系。”他特地将“像数学思想的西”溶入他的音作品之中。音何动听、和、美呢？能否出一些道理？野外中昆虫啁啾的叫，枝儿洪亮的喊声，牧笛美听的旋律，多芬令人振的交响曲当沉醉在些美好的音中,你能否想到了它与数学有着亲密的系？人数学与音之系的研究和，能够源流。相信音的背后有数学律可循，而且努力去追出乐律，在史上最早且最有名的当推达哥拉斯学派（公元前5-6世）。而

2、中国古代的“三分益法”就是通数学运算研究乐律的方法。人常用的也是数学在音上用得最著的地方之一。一乐律背后的比率和分数乘法音的高低由弦振的率决定。怎样定出乐律，即定出音：的率比？是音的根本。第1页1毕达哥拉斯琴弦律毕达哥拉斯发现乐律有一段漂亮的故事。有一天毕达哥拉斯有时经过一家打铁店门口，被铁锤打铁的有节奏的动听声音所吸引（笔者在家乡小城镇曾见解过打铁店，此刻已不常见了）。他感觉很诧异，于是走入店中察看研究，拜见图1。他发现有四个铁锤的重量比恰为12：9：8：6，将两个两个一组来敲打都发出和睦的声音，分别是：12:6=2:1的一组，12:8=9:6=3:2的一组，12:9=8:6=4:3的一组。

3、毕达哥拉斯进一步用单弦琴做实验加以考证，拜见图2。对于固定张力的弦，利用可自由滑动的琴马来调理弦的长度，一面弹，一面听。毕达哥拉斯经过频频的试验，终于初步发现了音乐的神秘，归纳出毕达哥拉斯的琴弦律：1）当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和睦动听的；2）两音弦长之比为4:3，3:2及2:1时，是和睦的，而且音程分别为四度、五度及八度。也就是说，假如两根绷得同样紧的弦的长度之比是2:1,同时或连续弹奏，就会发出相差八度的谐音;而假如两条弦的长度的比是3:2时,就会发出另一种谐音，短弦发出的音比长弦发出的音高五度;等等。物理学家伽利略(1564-1642)发现弦振动的频次

4、跟弦长成反比。所以，我们能够将毕达哥拉斯所采纳的“弦长”改为第2页“频次”来定一个音的高低。进而毕达哥拉斯的发现就是：两音的频次比为1:2，2:3及3:4时，分别相差八度、五度及四度音。比如，频次为200与300的两音恰巧相差五度音。图1图2单弦琴毕达哥拉斯乐律是弦长的简单整数比。声音透过一些简单而固定的比率，形成令人愉悦的和睦音乐，这就是一种特其他数学表现。不单这样，和睦的比率还贯串于整个艺术、大自然和人生之中。毕达哥拉斯的门徒们相信星球距离地球也成简单整数比，它们绕地球运行时会发出美好的球体音乐。开普勒（1571-1630）从音乐长远为人所敬爱的奇特比率中，发现天上行星运转的规则：从太阳的

5、地点察看，土星在近期点时，是以每日135秒速度挪动一个弧度距离，在远日点则只要106秒，这两个数字之比约为5：4，恰等于产生大三度音程的两根弦的振动比率；而木星会产生一个小三度音程；火星则是完整五度音程。这样，每个星球仿佛都会产生一个音乐上的比率数字。博伊西斯（475-524）则将和睦分为三个等级：最先级的是乐器的音乐，包含歌唱及乐器演奏出来的音乐；其次是人类的音乐，讲究身体与灵魂的调解、均衡与合适的比率；最完满的调解是世界的音乐，包含行星的有条不紊之运转、元素的合适比率混淆、四时的循环以及大自然、宇宙的和睦。第3页2、“三分损益法”定音阶定音阶的频次比就是要在1与2之间插入六个简单整数比：，

6、并使此中含有四度音及五度音。毕达哥拉斯经过单弦琴的实验，调整弦的长度成特定整数比，就可以产生所有的音阶，即毕达哥拉斯乐律的频次比方下：事实上，毕达哥拉斯乐律能够采纳“三分损益法”（又叫“管子法”）。公元前4世纪，管子一书的地圆篇记录有此法。所谓“三分损益法”就是交互使用了“三分损一法”（即去掉三分之一的长）以及“三分益一法”（马上所剩在增添三分之一的长）。即为：由一个音出发，其频次为1，“三分损一法”就是1乘以（长度之比的倒数），“三分益一法”就是将乘以，这样交相互生，获得由小排到大就获得所谓的“五声音阶”再补上及第四音就获得毕达哥拉斯音阶(或叫七音音阶)：二曲谱上的分数在曲谱中,我们能够找到

7、拍号、纯真音符、附点音符等，莫不与分数息息有关。谱写乐曲要使音符合适于每音节的拍子数,这实质是分数乞降的过程在一个固定的拍子里,不一样时价的音符一定使它凑成一个特定的节拍。第4页在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比方,或等,这些分数是用来表示不一样拍子的符号，即拍号。此中分数的分子表示每小节中单位拍的数量,分母表示以几分音符为一拍。如，4/4表示以四分音符为一拍，每小节4拍。拍号一旦确立,那么每小节内的音符就要依据由拍号所确立的拍数,这能够经过数学中的分数加法法例来查验。比方和就切合由拍号4/4和3/4分别所确立的拍数。由于1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3

8、/4;而和不切合由拍号4/4和3/4分别所确立的拍数，由于1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/164/4,1/8+1/2=5/83/4。这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础。（刘卫锋、王尚志，2019：20）对于识读曲谱，义务教育音乐课程标准（实验稿）中3-6年级的教课目的提出：“联合所学歌曲认识音名、音符、休止符及一些常用记号。”而且在教课建议中提到“曲谱是记载音乐的符号，是学习音乐的基本工具。要修业生拥有必定的识谱能力，有益于进行音乐表演和创建等教课活动。”因第5页此，学生学习了必定的曲谱基础知识，那么其背后的数学也是能够指引学生领会到的。事实上，跟着对数学与音乐关系之认识的不停加深，以数学计算取代作曲，已成为现代作曲家的一种创作方式。创作乐曲乃是将作曲的过程公式化，把音程、节奏、音色等素材都编成数码，而后依据需求发出指令，以计算器的功能进行选择，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。除了上述数学与乐律、曲谱的显然联系外,音乐还与指数、曲线、