专题03 一线三垂直模型构造全等三角形(教师版)

1、专题 一线垂直模构造全三角形模型：垂直全等模如图：BCAEBCAC结论： eq oac(,t)BCD eq oac(,t).BAD C E模分说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，多利用垂 直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解图和图就是 我们经常会见到的两种弦.图三垂直图形变形如下图、图，这也是由弦图演变而来.图BDAC 图E图模实例1如图，求证. C【明，AEDACED90CED在ABE 和ECD 中 CED ， ， EDCDBEBC.例2少？如图，ACBBC，BEAD 于 D，cm则 DE 的为多BE【析

2、，CE，ADCEBC.BCEACDEBCDCA. 在CEB 和 中 DCA ADCA ，cm，DECE例3如图，在平面直角坐标系中，等腰 R eq oac(,t) 有个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐.y (0,3)x【析1）图，过点 作 BDx 轴于点 ，DBC由等腰 eq oac(,Rt)ABC 知，BCD. AOC在BCD 和CAO ， ACO ，CAO AC，3，BD2，OD （，）y (0,3)x C(-2,0)图O（）图，点 A 作 AD 轴点 . COB在 和CBO ， OCB ，ACD. CB，AD. （，（，） 1，OC ，ODOD （，）yC，Dx(-1,0)O图巩提1如图

3、，正方形 ABCD，.证）BF.D【明1）四边形 ABCD 是正方形， BDABCBCD90FC在ABE 和BCF 中，AB BC BCF ，ABEBCF，. （），CBF. 90，AEB.CBFAEBBGE，.2直线 l 上有三个正方形 a、， 、 的积分别是 和 11则 的面积_.Dba E【析、c 都正形，CD，ACB，BACDCE 在 和CBE ， DCE ，ACBCDE，AB，BCDE 在 R eq oac(,t) 中， 2 2 BC 2 2即 S c3已知，ABC 中， P 为 BC 上一动点（CP别 、 作 BE 于 E、 CF 于 .（）证：CF；（） P 为 BC 延线上一点

4、，其它条件不变，则线段 BE、 是存在某种确定的数量关系画图并 直接写出你的结.AAFPBEB P【析， BACBAE90，BAE. 在ABE 和CAF 中 ，ABECAF，AF ACAF，BE. （）图，BECF.理由：同（）证ABECAF ，AF.AF， .EAFB CP4如图，在直角梯形 ABCD 中AD2，设BCD，以 D 为旋转中心，将 腰 绕 D 逆针旋转 至 DE.（） ，求 的积；（） ，求 的积；（当 090想 的面积与 大有无关系？若有关 eq oac(,出) 的积 与 的系式； 若无关，请证明结论EADBC【解析1）；（）点 D DG 于点 G过点 作 AD 交 延线于点

5、 . ，又，2.在CGD 和 中 ，DEF CG ，AD， ，CG 1 EAD 2 的积与 大无关5ABC 的侧作正方形 形 ACFG A 作 AH 于 的向延长线与 EG 交于点 P. 证：BCAP求EPGDAFB H C【解析】过 G 作 GMAP 于点 M，过点 E 作 EN 交 AP 延长线于点 . 四边形 ACFG 是方形，AG，CAHGAM又AH，CAHACHACH GMA在ACH 和 中， ，ACHGAM，. 同理可证 AN，AHEN . 在EPN 和GPM 中 GPM ，EPNGPM，NPMP CHAP课练一解题1在 ABC中，BC，直线MN 经点 ，且 ADMN 于点 D，B

6、E 于点 （）直线 MN 绕 旋到如图 1 的位置时，求证DEAD+BE；（）直线 MN 绕 旋到如图 2 的位置时，求证DE；（）直线 MN 绕 旋到如图 3 的位置时，线段 DE、 间又有什么样的数量关系？请你直 接写出这个数量关系，不要证明【答案）见解析）见解析AD【析（）题意易得，而可证ADC，然后根据全等三角 形的性质可求解；（）题意易得CEB=，则可求CAD=BCE，进而可证CADBCE然后根据全等三 角形的性质可求解；（）据题意可证BCE，后根据全等三角形的性质可求解【析（）明，MN，ADCCEB，BCE+，DACBCE，在 和CEB， ，AC CBADC（，DE；（）明AD，A

7、DCCEB，BCE+，DACBCE，AC=BCADC，DECD；（）：，由如下：，BEMN，ADCCEB，BCE+，DACBCE，AC=BCADC，DEAD【小结】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的质与判定 及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键2课间，小明拿着老师的等腰角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：（）证ADC；（）知 请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 的小（每块砖的厚度相）【答案）见详解）砌墙砖块的厚度 a 为 【析（）据题意可得 AC，ACB90，DE，进而得到CEB，根据 等角的余角相等可得BCE，证 即（）用1）中全等三角形的性质进

8、行解答【析（）明：由题意得：，ADDE，DE，ADCCEBACDBCEDAC，BCE，在 和 中 BCE，BCADC（）：由题意得块墙砖的厚度为 ，AD，由（1）得：ADCCEB，a，答：砌墙砖块的厚度 a 为 【结此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件3已知，A（-，图 1，0， 点为直角顶点在第二象限作等腰直 C 点坐；坐标平面内是否存在一点 （与点 C 重 使PAB 与 全？ 若在，直接写出 P 点标； 若不存在，请说明理由；（如 2点 为 y 正半轴上一动点以 为角顶点等腰直设 b a- 的【答案）；在，P ）【析（） CDy 轴 ，BOA，出 ，BE=AO

9、=1，即可得出答案；（）为三种情况，画出符合条件的图形，构造直角三角形，证三角形全等，即可得出答案； （） MFy 轴 ，AOE，求出 ，即可得出答案【析（）作 CEy 于 E，图 ，A（-，（， ，CEB=CBA=90，ECB+，CBE+， ECB=，在CBE 和 中ABOAOB，CE=BO=2，即 ，C-，在一点 ， PAB 与 ABC 全等，分为三种情况：如图 ，过 P 作 PE x 轴于 ，则 PAB PEA 90，EPA ，在 PEA 和 AOB 中 ， PA AB， PAE 90， PEA， AO EA 2， OE ，即 P 的坐标是；图 3过 作 CM 轴于 ，过 作 x 轴 ，

10、则 CMA CBAPBA ， CAB ，AC AP， 90 ，在 CMA 和 中 PAE， PEAAC ， CAM PAE 90， ， PE AM ， CM C ， ，OE 0 ，即 P 的坐标是 图 4过 作 轴 ，CBA ，AB AP ， CBA 90，则 AEP AOB 90 ， APE ，在和 PEA中， PEA，AB PEA， AO AE OB ， 0 AE ，即 P 的坐标是，综合上述：符合条件的 的标是（） M 作 y 轴于 ，到下图 5M FO ，由上图得： ， 90 ， MEF ，AEO ，在 AOE 和 EMF 中 EFM EMF，AE EM EMF ， EF AO ， M

11、F ， x轴， 轴MFO 90，四边形 FONM是矩形， MN OF，a MF OA 【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，主要考查学综合运用 性质进行推理的能力，用了分类讨论思想4公路上， A B 两相距 25千米，、 D 为两所学校， 于 ， CB 于点 ，图，已知 千，现在要在公路 AB上建一报亭 H ，得 、 D 两学校到 H 的离相等，且 90，问： H 应在距离 站远？学校到公路的距离是多少千米？【答案】 H 应在距离 站 千处，学校 【析到公路的距离是 10 千先根据垂直的定义可得 90，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得 BHC

12、，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 【析AH , DA HB 15千米，最后根据线段的和差可得由题意得： HC，AB 25千米，DA AB CB AB， ， ，DHC 90， 90， BHC， 在 和 BHC 中 BHC，DH ADH ( AAS )， AH BC DA HB，DA HB 15千米，千米，AB 25千米， 10千米，答： H 应在距离 A 站 千处，学校 到路距离是 10 千【结本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，练掌握三 角形全等的判定方法是解题关键5如图所示，在 ABC和 中， E 是 BC 的点AB，足为 ，（）证；（） BD=10 厘，求 的【答案）证明见解析 5 厘【析（） DE，可得BFE=90，由直角三角形两锐角互余，可得ABC+ ，由 ，由直角三角形两锐角互余，可得ABC+，据同角的余角相等，可得DEB，后根据 AAS 判断EDB，据全等三角形的对应边相等即可得到 BD=BC；（）（）知EDB根据全等三角形的对应边相等，得到 AC=BE由 E 是 的中点，得到 BD 厘 【