结构力学003的课件

1、Mobile：Email：chunfengwan结构力学 1 绪论 2 平面体系的几何组成分析 3 静定结构的内力计算 4 静定结构的位移计算 5 用力法计算超静定结构 6 位移法 7 力矩分配法 8 影响线 9 矩阵位移法 10 结构的动力计算 11 结构的稳定计算 12 结构的极限荷载研究性学习结合工程实际思考问题.成绩构成： 平时出勤+课堂表现+课后作业(10%) 三次无故旷课取消考试资格 三次发现完全抄袭无该成绩 期末考试(90%)结构力学的学习方法作业练习课后思考课前预习课上听讲授课方式：PPT+黑板板书教材及参考书：单建、吕令毅主编. 结构力学. 东南大学出版社，第二版2. 龙驭球

2、、包世华主编.结构力学教程：、.高等教育出版社，20003.李廉锟主编.结构力学：上、下册. 第4版. 高等教育出版社，2004矩阵位移法第九章4矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOML2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称为n阶方阵。3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=aaaan1112131 由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：A=aaam1121154、纯量仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。5

3、、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplmplnmn=当时才能相乘A B=aaaabb111221221121共形22 21B A=bbaaaa112111122122非共形 21 22（2）不具有交换律，即 ABBA66、转置矩阵将一个矩阵的行和列依次互换，所得的矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132其转置矩阵为AT=aaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若A=B C D则AT=DTCTBT7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。若AB=0，但不一定A=

4、0或B=0。7任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI =AIA =A810、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若AB =C则B=A-1C此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A-1= A-1A =I矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则A =cossinsincosaaaa-正交矩阵的逆矩阵等于

5、其转置矩阵，即A-1=AT9为什么要学习矩阵位移法? 现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的以手算为基础的力法和位移法不可能有效解决大型复杂结构的受力分析问题，因此需要借助于计算机来完成电算工作，也即需要通过结构分析程序来进行结构受力分析。 当今众多著名的结构分析程序都是基于有限元思想开发的，而矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元方法。软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件10111213手算：小型、简单问题，讲究技巧。

6、一、手算与电算比较：电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。结构力学中的电算方法 结构矩阵分析方法 (杆件有限元法) 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。 超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。9-1 概 述二、结构矩阵分析方法特点与分类： (1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 矩阵力法(或称柔度法)以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法）采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 (3)

7、 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 计算手段：计算机 对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，单元：用杆的轴线代表。结点：各杆轴线之间的交点。 按照自然数的顺序，对所有结点和单元进行编号。一.结构的离散化16 构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。 非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点

8、。结点和单元 单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。 单元最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。 梁单元受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。 轴力单元只受轴力作用的单元（桁架）。 一、单元离散化离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系:整体(结构)坐标系;局部(单元)坐标系.曲杆结构:以直代曲.变截面杆结构:以等

9、截面杆 代变截面杆例119例220例321 矩阵位移法的思路 ：2）单体，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。3）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方向分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。 与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵位移法的基本未知量。注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。 22 任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程矩阵位移法的思路 ：2

10、）单体，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。3）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。23矩阵位移法基本思想:化整为零 - 结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作单元。单元的连接点称作结点。单元分析 对单元和结点编码.634512135642e单元杆端力集零为整 - 整体分析单元杆端力结点外力单元杆端位移结点外力单元杆端位移(杆端位移=结点位移)结点外力结点位移基本未知量:结点位移指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部坐标的坐标与杆轴重合；12eE

11、A Il(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部坐标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：251212（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。26 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用“ ”表示，由位移求力称为正问题。 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e12eeeeee 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和

12、弯曲变形的刚度方程。9-2 单元刚度矩阵(局部座标系)进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元27分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程首先，由两个杆端轴向位移可推算出相应的杆端轴向力eeeee12其次，由杆端横向位移可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力eeee12eeeeee28eee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：29EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l上面的式子可以用矩阵符号记为eeee这就是局部坐标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(

13、6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l20只与杆件本身性质有关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移局部坐标系的单元刚度矩阵30二、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义e代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。例如 代表单元杆端第2个位移分量 时所引起的第5个杆端力分量 的数值。（2）单元刚度矩阵 是对称矩阵，e即。（3）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；e从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵e的行列式e=0因此它的逆矩阵不存在

14、eee31三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e以连续梁为例：12eeee3212eeeeeeeee 为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。339-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee坐标转换矩阵单元杆端力的转换式、单刚的转换式一、单元坐标转换矩阵34正交矩阵T-1 =TT或 TTT=TT T =I于是可以有 同理可以有eeeeee35（解决 与k 的关系）ee在局部座标系中杆端力与杆端位移

15、的关系式表达为：eee在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)eeeF =k (b)eF =TTTee(d)kT F =eT (c)ekek = TT keTe(e)ke的性质与ek一样。二、整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式可转换为：两边前乘TT比较式(b)和(d)可得：36例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵k 。设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。1l = 5ml = 5m2xyl=5m，bh=0.5m 1m,A=0.5m2, I= m4, 1 24解:(1) 局部座标系中的单元刚度矩阵(2) 整体座标系中的单元刚度矩阵ekke单元 1 ： = 0，T =Ik

16、1=1k单元 2 ： = 90，单元 座标转换矩阵为12k=k371l = 5ml = 5m2xy单元 2 ： = 90，单元座标转换矩阵为k = TT kT389-4 连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位移对F的单独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根据每个结点位移对附加约束上的约束力F的贡献大小进行叠加而计算所得。传统位移法39一、 单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接

17、集成i1i212123F3F1=F11F211TF11F21F31令 i2 =0，则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1K =14i12i14i12i100000单元 1 的贡献矩阵单元 1 对结点力F的贡献略去其它单元的贡献。40i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232K F =2设 i1 =0，则F12=0K =24i22i24i22i200000单元 的贡献矩阵F3F

18、2=F12F222T单元对结点力F的贡献略去单元的贡献。411K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i22i24i22i200000i1i2121212K=（K +K ）=12eek K K eeF=F+F=（K+K）F=K整体刚度矩阵为：单元集成法求整体刚度矩阵步骤：根据单元和单元分别对结点力F的贡献，可得整体刚度方程：k e42k =4i12i14i12i11K =14i12i14i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2k K K eek e43二、按照单元定位向量由k 求 eKe(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以连续梁为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，总码单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=确定中的元素在中的位置。为此建立两种编码：k eKe位移单独编码局部码由单元的结点位移总码组成的向量44（3）单刚k eKe和单元贡献中元素的对应关系单元单