平行四边形培优经典习题

1、第第 页共8页平行四边形讲义【平行四边形】例1如图，已知bABCD中，M是BC的中点，且AM=9,BD=12,AD=10,则该平行四边形的面积为(平移AM,使分散的条件集中到一个三角形中)例2如图bABCD中，NDAB=600点EF分别在CDAB的延长线上且AE=AD,CF=CB(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“NDAB=600”，上述的结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若不成立请说明理由例3如图4ABC中，NC=90o点M在BC上且BM=AC点N在AC上且AN=MC,AM与BN相交于点P,求证NBPM=450(条件给出的是线段的相等关系，结论是求角的度数，条件

2、中国有直角和相等的线段，联想到等腰直角三角形；故平移AN,构造平行四边形)例4四边形ABCD中，AB=BC=CD,ZBAD和NCDA都是锐角，点P是对角线BD上一点，PQAB交AD于Q,PSBC交DC于S,四边形PQRS也是平行四边形.(1)当P于点B重合时，图(1)变为图(2),若/人8口=900,求证ABR04CRD(用不同的方法)例5.四边形ABCD中,DB交AC于P,EF过P点分别交AD、BC于E、F,且PE=PF,PA+AE=PC+CF.求证：PA=PC.【矩形、菱形】例6如图，矩形ABCD中对角线相交于O,AE平分NBAD交BC于E,NCAE=15。,则NBOC=例7如图，四边形A

3、BCD是菱形，4AEF是正三角形，点E、F分别在边CB、CD上，例8矩形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在AD上的B1处，点A骷落在Ai处口干（1）求证：B1E=BF设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间有何等量关系，并证明。cLAZ例9（2008年湖北省咸宁市）如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC,设MN交NBCA的角平分线于点E,交NBCA的外角平分线于点F.（1）求证:EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.(A)例11A1答案：D【正方形】恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6,4V：3(B)3v3(

4、C)42(D)8（威海市）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若(A)例11A1答案：D【正方形】恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6,4V：3(B)3v3(C)42(D)8（威海市）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为B.2C.五D.3例12正方形的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一个动点；则DN+MN的最小值是多少？牛口刁口回例13（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEXPD；（2）设AP=x

5、,4PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;例14（08武汉）正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一(1)如图2,若点P在AO上(不与点A,O重合)，PEXPB且PE交CD于点E.求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你结论.(2)若(2)若P在线段OC上(不于O,C重合)，PEXPB且PE交直线CD于点E.请完成图3,并判断(1)中的两个问题是否分别成立？若不成立写出相应的结论.例15如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；在图1中，若G在AD上，且NGCE=

6、45,则GE=BE+GD成立吗？为什么？运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2,在直角梯形ABCD中，ADBC(BOAD),ZB=90,AB=BC=12,E是AB上一点，且NDCE=45,BE=4,求DE的长.例小明在研究正方形ABC的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点例小明在研究正方形ABC的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且NFAE=NEAD,那么EFLAE。小明是一个善于提问题的同学，他想：若把正方形ABCD改为矩形，其他的条件不变，是否还有EFXAE的结论呢？请你对上述的两个问题作出解释。按照上述的思路你会进一步提出什

7、么问题？并对你【梯形】例16：梯形ABCD中，AB#DC,ZADC+ZBCD=90o,DC=2AB，分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3,求S1,S2,S3之间的关系。例17.（2008年甘肃省白银市）如图（1）是一个等腰梯形，由6个样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：.如图，直角梯形ABCD中，NA=NB=900,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm动点P从A开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q

8、分别从点A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？例19.等腰梯形ABCD中，DCAB,AD=BC,对角线ACBD于O,若DC=3cm,AB=8cm,求这个梯形的面积。1K一共例20已知梯形ABCD,ADBC,NABC=900,AD=3,BC=5,以D为旋转中心，逆时针方向把DC旋转900得线段DE,求4ADE的面积。（根据AB长的不确定，在特殊情况下探索三角形的面积，在一般情况下给出证明。利用的数学思想是：）【中点相关的问题】.任意四边形各边中点的连线是什么图形？

9、当得到的四边形是矩形、菱形时，原四边形应满足什么条件？.如图，矩形ABCD的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形ABCD,再顺次连11112222结四边形ABCD四边中点得到四边形结四边形ABCD四边中点得到四边形ABCD,依此类推，求四边形ABCD的面22223333nnnn3.如图，ABC中，CD是AB边上的高，D为垂足，M为AB中点，DM=1AC,求证:ZA=2ZBTOC o 1-5 h z.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、FD分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，A那么下列结论成立的是A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减

10、小PC、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P的位置有关二RFC.（2008乌鲁木齐）.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点.（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EFBC，且EF=1BC，证明平行四边形EGFH是正方形.ABC中，CD=AB,ZADB=ZBAD,AE是ABD的中线，求证:AC=2AE.梯形ABCD中，ADBC,NCAD=600,AC与BD交于O,E是OD中点，F是OC的中点，G是AB的中点。求证：4GEF是等边三角形AE悌6AE悌6题图）9.平行四边形的两条对角线的长分别为4

11、,6.则其边的取值范围是10.（2007山东临沂）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件是。答案：AD=BC,或ABCD为等腰梯形（答案不唯一）.梯形ABCD中，ADCB,NB+NC=900,AD=1,BC=3,E,F分别是AD,BC的中点，则EF的长是多少?.AEB及4AFC是直角三角形，NAEB=ZAFC=90,ZABE=ZACF,M是BC的中点，探究ME和MF的大小关系.13.如图，M,N,P,Q分别是五边形ABCDE的边的中点，O是PQ的中点，K是MN的中点，探究线段OK与BC的关系.D在A

12、B上，E在AC上，BD=CE,M是BE中点，N13.如图，M,N,P,Q分别是五边形ABCDE的边的中点，O是PQ的中点，K是MN的中点，探究线段OK与BC的关系.【练习】.(08潍坊)如图，ABCD为平行四边形，AD=a,BEAC,DE交AC的延长线于点F,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark26 BE于E点.八(1)求证：DF=FE；厂、/I(2)若AC=2CF,NADC=60,人口求BE的长;(3)在(2)的条件下，求四边形ABED的面积.已知，D,E分别是正4ABC的BC,AB边上的点，且CD=BE,以AD为边作正ADF,连接EF。a判断四边形CDFE的形状。ZA当NEFD=300时，求D点的位置。/(拓展到正方形中).如图，以4ABC的三边AC,BC,AB为边作等边4ACD,等边4BCE,等边ABF,使D,A,F,E在BC的同侧。试判断四边形ADEF的形状，并说明理由ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？菱形？一4.如图，四边形ABCD中,若AB=BC,ZABC=ZCDA=90QBELAD于点E,四边形ABCD=8,则4.如图，四边形ABCD中,若AB=BC,ZABC=ZCDA=90QBELAD于点