矩阵与向量组的秩课件

1、第二章 第3节 向量组与矩阵的秩矩阵的秩 2.向量组的秩.定义求秩.初等行变换求秩.应用（即矩阵的初等行变换的应用）.定义 .怎样求.两者之间的关系.判断向量组是否线性相关.求向量组的秩.求极大的线性无关组概念：极大线性无关组定义及其求法、向量组的秩、等价向量组；判断向量组是否线性相关的方法；本节所学与解线性方程组有何关联？矩阵的子式 （P46） 是A的一个三阶子式，它由A的第2，4，6行与第1，5，7列交叉处的元素所构成。1. 矩阵的秩 Rank（P49定义2.6） 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（若存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为

2、矩阵A的秩，记作 特殊的，若矩阵A为n阶方阵，且称A为满秩矩阵（Full Rank Matrix）否则称为降秩矩阵规定零矩阵的秩等于01. 矩阵的秩 Rank例1求矩阵A的秩解在A中，容易看出一个2阶子式A的三阶子式只有一个经计算可知因此R（A）=2。例2求矩阵B的秩解：B是个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有4阶子式全为零。而以三个非零行的第一个非零元为对角元的3阶行列式因此R（B）=3P53例题2.6上面一行 矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯型矩阵的非零行的行数.行最简型矩阵（Row Reduced Echelon Matrix）非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元1所在

3、列的其他元素都为零的行阶梯型矩阵例题：初等行变换求矩阵的秩下一问题：向量组的秩定义2.8 （P54） 极大（最大）线性无关组 设有向量组T，如果在T中能选出 个向量满足(1)向量组线性无关，（2）向量组T中任意个（如果有的话）都线性相关，则称是向量组T的一个最大线性无关组，简称最大无关组 向量组中任一向量都可由极大无关组线性表示。Maximal Linearly Independent Systems什么是向量组的秩？ 向量组S的极大无关组含有向量的个数称为S的秩，记为规定只含零向量的向量组的秩为零矩阵的秩与构成该矩阵的向量组的秩之间的关系是什么？ 矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。定理2.

4、7（P54）矩阵的行秩和列秩 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，A的列向量组的秩称为A的列秩。问题： 如何求得这个向量组的秩的同时，又能求得该向量 组的一个最大无关组，并且能将向量组中的每一个向量用极大线性无关组线性表示出来？即初等行变换（矩阵的秩）的一个应用：根据： 如果只对一个矩阵的行作初等变换，则矩阵的列向量 组（及其任意部分组）的相关性不会改变。办法： 只需以该向量组为列摆成一个矩阵，再用行的初等 变换化简该矩阵就是。五星级重要反之，由于P是可逆的，所以由（2）式可推出（1）式。因此，A与B的列向量有相同的线性关系，所以矩阵的初等行（列）变换不改变它的列（行）向量之间的线性关系，同时也

5、不改变矩阵的秩。练习 求向量组的秩和一个极大的线性无关组，其他向量用此极大线性无关组线性表示。求向量组的秩和一个极大的线性无关组，其他向量用此极大线性无关组线性表示。定理2.4推论1推论2 m个n维向量组线性无关的充要条件是它们组成的推论3 n个n维向量线性无关的充要条件是它们组成的矩阵行列式不等于零。矩阵的秩（初等行变换）的一个应用：判断向量组的线性 相关性。例2.4（P51）：讨论下列向量组的线性相关性故三个向量线性相关例2.4（P51）：讨论下列向量组的线性相关性故两个向量线性无关定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是 A中有r个行向量线性无关，但任意r+1个行向量（如果存在）都线性相

6、关。两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。向量组的线性表示如果向量组的每一个向量都可以由向量组线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示判别向量组线性相关的其他方法引理2.1如果向量组可以由向量组线性表示，且则向量组线性相关。向量组的等价 如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B可由A线性表示，则称A与B等价。相互等价的线性无关向量组含有相同的向量个数 性质（1） 自反性：任何向量组都与自身等价。 如果向量组A与B 等价，则B与A等价。（2） 对称性：（3） 传递性：如果向量组A与B等价，B与C等价，则A与C等价。两个等价的向量组秩相等 作业：P71 1（4） 2（3） P73 9（3） 可做的跟踪练习 ：1（