空间曲面及曲线

1、 第四节空间曲面及空间曲线曲面方程的定义：1 曲面方程的概念如果曲面与三元方程有下述关系：那么，方程就叫做曲面的方程，就叫做方程的图形而曲面一 曲面及其方程上的点的(2)不在曲面坐标都不满足方程；(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面方程，作曲面的图形（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程解:(1) 球面2 几种常见的曲面(球面方程的标准式)(球面方程的一般式)球面方程的特点：1) 是的二次方程2）的系数为1（或相等）3）不含项与定点 的距离是常数 的点的轨迹.(2) 柱面(2) 柱面母线:l准线柱面方程:方程特点

2、：只含不含 .沿定曲线平行移动所形动直线形成的曲面称为柱面.xzy0母线F( x,y )=0z = 0准线 (不含z)M(x,y,z)N(x, y, 0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S 外的每一点都不满足方程表示母线平行于z 轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程 一般柱面 平行于 z 轴的柱面母线母线平行于 x轴的柱面平行于 y 轴的柱面柱面举例母线平行于轴的椭圆柱面轴的平面母线平行于轴的抛物柱面母线平行于轴的双曲柱面母线平行于(3) 旋转曲面平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面面上曲线绕轴的旋转曲面方程.旋转轴将 代入为曲面上任一点,过点M作垂直于z轴的平面,结论：坐标面

3、上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为坐标面上的已知曲线绕一周的旋转曲面方程为轴旋转旋转双曲面旋转椭球面旋转抛物面例4 求绕z轴旋转的旋转曲面方程.例4 求绕y轴旋转的旋转曲面方程.(4) 锥面通过定点动直线沿定曲线移动所形成的曲面称为锥面。定曲线锥面的准线。定点锥面的顶点。动直线锥面的母线。顶点母线准线解: 设为锥面上任一点,M所在的母线为PA, A点坐标为则PA/PM,故即A在C上于是所求锥面方程为:问题: 已知准线C:顶点P(0,0,0)，求锥面方程.例 求准线C:顶点P(0,0,0)的锥面方程.解 由上面推知:代入得所求的锥面方程为: yzx空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，

4、满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：二、空间曲线的概念1. 空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程2. 空间曲线的参数方程 例3 空间曲线圆柱螺旋线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面yz0 xaM(x,y,z) M螺线从点P Q当 t 从 2，叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；令例 化空间曲线为参数方程.解 将代入第一个方程得令则得所求的参数方程:消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.

5、投影柱面的特征：3. 空间曲线在坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线截线方程为解如图,二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面三、二次曲面的截痕法1. 椭球面 椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面 z=h的交线为椭圆同理与平面 和 的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭

6、球面的区别：方程可写为球面 xyo2. 单叶双曲面（1）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点 的椭圆.与平面 的交线为椭圆.（3）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.3. 双叶双曲面:方程表示的曲面称为双叶双曲面.yz0 xxyo4. 椭圆抛物面（ 与 同号）用截痕法讨论：设（2) 用坐标面 x=0 相截原点也叫椭圆抛物面的顶点.(1) 与平面 的交线为椭圆.与平面z=h(h0)不相交.（3）用坐标面 与曲面相截截得抛物线xyzo,截得抛物线zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：同理当 时可类似讨论.特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）用z = a截曲面用y = 0截曲面用x = b截曲面xzy0截痕法 （马鞍面） 5. 双曲抛物面 6. 椭圆锥面:1. 用z=h截,得2. 用x=0 y=0截之,得两相交直线.截面为椭圆.二次曲面小结666x+y+z=63x+y=6227. 作图练习x0z y 平面y=0 , z=0，3x+y =6和x+y+z =6所围成的立体图aa xz y028. 作图练习z = 0y = 0 x = 0aaxz y028.