方向导数和梯度

1、方向导数和梯度第1页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一 问题的提出第2页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三0 xy方向导数图示 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题第3页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三ABC第4页，

2、共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三中xOyz.P0Pl沿方向的方向导数.第5页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三二、方向导数的定义 设函数在内有定义。若点 沿射线 l 趋于时,极限存在，则称该极限值为函数在点处沿 l 方向的方向导数。记为第6页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三或第7页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三 利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线 l 的方程为则故第8页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母；在偏导数中，分母、可正、

3、可负。即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？第9页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三 怎么计算方向导数？第10页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三看看三维空间的情形第11页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三定理(方向导数导计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且其中, 各导数均为在点处的值.第12页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：其中

4、，称为梯度第13页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三在中在中可统一表示为第14页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三设, 求函数在点沿方向的方向导数。解例第15页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。 例第16页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三一个问题：在给定点沿什么方向增加得最快？

5、该问题仅在不同时为零才有意义。可微函数三、 梯度第17页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三由前面的推导，有现在正式给出的定义grad u由此可得出什么结论？ 方向导数等于梯度在此方向上的投影第18页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三定义设则称向量为函数在点处的梯度，记为或第19页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可

6、以推广到二元和三元以上的函数中。第20页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量第21页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数第22页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三第23页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三设求并求在点处方向导数的最大(小)值。解从而例1第24页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，星期三解由梯度计算公式得故第25页，共26页，2022年，5月20日，17点17分，