统计物理市公开课获奖课件

1、系综理论参考书：汪志诚，“热力学统计物理”（第三版），第九章，高教出版社。R.K.Pathria，“Statistical Mechanics”（第二版），第一章第四章，世界图书出版公司。F.Schwabl， “Statistical Mechanics”（第二版），第一章第三章，科学出版社。Landau， “Statistical Physics”（Part 1），第一章第三章，世界图书出版公司。第1页第1页相空间&刘维尔定理 在第六、七、八章最概然分布办法只能处理近独立粒子系统，系综理论能够研究有互相作用粒子系统，是平衡态统计物理普遍理论。 宏观系统是由大量微观粒子构成，微观粒子能够用典型

2、方式描写，也能够用量子力学办法。我们先看系统微观状态典型描述。 假设系统有N个粒子，每一个粒子自由度为r，那么宏观物质系统总自由度为：f=Nr。系统在任意时刻微观运动状态，用f个广义坐标（正则坐标）以及和它共轭f个广义动量（正则动量）在该时刻数值拟定，以这2f个变量为直角坐标，构成一个2f维空间，称为相空间。系统在某一时刻运动状态，相应于想空间中一点，这点称为系统微观运动状态代表点。第2页第2页经过相空间中任意点，只能有一条轨道。系统从任意一初态出发，代表点在相空间中轨道或者是一条封闭曲线，或者是一条本身永不相交曲线。系统从不同初态出发，代表点沿着相空间中不同轨道运时，不同轨道互不相交。 正则

3、坐标和正则动量演化满足哈密顿正则方程，当系统代表点在相空间中移动时，它轨道由正则方程拟定，利用微分方程理论，轨道有下列特点：第3页第3页刘维尔定理设想有N 个结构完全相同系统，各自从其初态出发，独立沿着正则方程所要求轨道运动，这些系统代表点将在相空间形成一个分布。相空间一个体积元为：则t 时刻，运动状态在这个体积元内代表点数：第4页第4页刘维尔定理意义在于：假如我们沿着一个代表点在相空间中走正则轨道，则我们周围代表点密度是常数。刘维尔方程是可逆，因此完全是力学规律结果。量子力学中引入密度矩阵后，能够得到量子刘维尔方程。第5页第5页微正则分布一、能否拟定系统微观状态？不能！ 热力学和统计物理学都

4、是研究由大量微观粒子构成宏观系统，统计物理学从微观出发。 假设系统有N个粒子，每一个粒子自由度为r，那么宏观物质系统总自由度为：f=Nr。系统在任意时刻微观运动状态，用f个广义坐标（正则坐标）以及和它共轭f个广义动量（正则动量）在该时刻数值拟定。只要给定了初始条件，正则坐标和正则动量数值由哈密顿正则方程拟定。系统能量以及其它物理量是正则坐标和正则动量函数。因此，求解2f 个哈密顿正则方程是主线问题，但是，这是个不也许任务。由于普通情况下，fNA第6页第6页 愈加主要是，我们研究系统，总能量E 并没有拟定数值，通过其表面分子不可避免和外界发生作用，使得在能量E 附近有一个狭长范围，即对宏观系统，

5、表面分子远小于总分子数，故系统和外界作用很弱，故有：第7页第7页系统和外界微弱作用影响系统从初态出发沿着正则方程所拟定轨道运动，通过一定期间（也许很短）之后，外界作用使得系统跃迁到另外一个状态，从而沿着另外一条正则轨道运动，因此，系统微观状态发生极其复杂改变。在给定宏观条件下，我们不能必定系统在某一时刻处于或者是不处于某一微观状态。统计物理学基本想法是：退一步，试图找到系统处于某个微观状态概率。而宏观量是相应微观量在一切也许微观状态上平均值。第8页第8页二、各态历经假说 作为研究宏观系统物理性质统计力学，其最初目标实际上是作为热力学一个扩展，这种扩展来自于下面两个原因： （1）热力学是一个宏观

6、方法，这种方法和牛顿力学不同。 （2）宏观系统是有大量微观粒子组成。当初已经有原子思想，而且积累了各种各样间接数据（尤其是化学、电磁学等）。 从微观角度研究宏观物体性质，实际上是热力学理论牛顿回归！第9页第9页 但是，数学上巨大困难，使得我们没有办法求解正则方程，更由于系统和环境互换能量，使得这种求解没有任何意义。 如何建立微观量和宏观量关系呢？或者说，如何从微观角度建立宏观观测量呢？ 很自然想法是，事实上宏观测量，我们测量都是物理量对时间平均，即：测量时间应当是远远不小于系统微观粒子碰撞特性时间，也就是说使用测量仪器完毕时系统已经完毕了很多次碰撞过程，经历了诸多个也许微观状态。由此，玻耳兹曼

7、在1871年提出了“各态历经假说”。第10页第10页各态历经假说（ergodic hypothesis） 一个孤立系统从任一初态出发，经过足够长时间后将经历一切可能微观状态。1884年，玻耳兹曼初次用“各态历经”这个名称。企图把统计规律还原为力学规律一个假设。数学上能够证实，各态历经假说不成立，比如：对孤立系统，力学系统代表点轨道不可能经过能量曲面上每一个点。19，P.厄任费斯脱夫妇证实了严格各态历经不存在，于是又提出了准各态历经假说，把上述假说中“历经”修改为“能够无限靠近”。各态历经假说或准各态历经假说基本思想是，认为系统处于平衡态宏观性质是微观量在足够长时间平均值，企图用力学理论证实统计

8、物理学基本假设。 当研究对象从少许个体(如分子、原子)变为由大量个体组成群体时，后者所遵照统计规律与前者所遵照力学规律本质上是不同，统计规律不是力学规律结果，不能由力学规律推导出来。因此，这类假说不能代替统计规律作为统计物理学基础。 第11页第11页三、系综概念引入以及统计物理学诞生 事实上，1871年，玻耳兹曼就初次引入相空间概念，并且把含有相同结构且互相独立质点系在相空间分布作为研究课题，这是系综思想最初萌芽。19，吉布斯在系综基础上建立了统计力学理论体系。 当代统计物理学（又称统计力学），将物理量测量值直接用物理量系统平均值来代替，不需要各态历经这个假设。也就是说，统计物理学需要统计假设

9、和力学假设。第12页第12页 在典型理论中，也许微观状态在相空间构成一个连续分布，那么在t 时刻，系统微观状态处于相空间一个体积元中概率为：当微观状态处于d范围内时，微观量B数值为B（q,p），微观量B在一切也许微观状态上平均值为：就是与微观量B相相应宏观物理量。第13页第13页 以上讨论直接能够换成系综语言。设想有N 个结构完全相同、独立系统（这N 个思维复本mental copies，就称为系综ensemble），各自从其初态出发，独立沿着正则方程所要求轨道运动，这N 个系统代表点将在相空间形成一个分布。相空间一个体积元为：t 时刻，系统处于这个体积元内概率为：则t 时刻，运动状态在这个体

10、积元内代表点数：第14页第14页当微观状态处于d范围内时，微观量B数值为B（q,p），微观量B在一切也许微观状态上平均值，称为系综平均值：要依据上述式子求宏观量，必须知道分布函数 ，这样，拟定分布函数成为最主线问题。就是与微观量B相相应宏观物理量。第15页第15页四、孤立系统分布函数：等概率原理（微正则分布） 对于孤立系统，总能量E为常数。 但是，即使对于孤立系统，也许由于涨落，会使得E发生改变，或者由于真正孤立系统并不存在，总是和外界发生微小作用，使得E 发生改变，因此，考虑能量在一个小范围内愈加以便，显然，在这个能量范围内，微观状态数仍然是大量，我们需要拟定系统在这些微观状态上概率分布。刘

11、维尔定理说明：在同一条正则轨道上，系统出现概率是一样，也不随时间改变。不同轨道概率密度是否相同？刘维尔定理无法回答。第16页第16页 等概率原理：对所有轨道，概率密度都相等，且不随时间改变。换句话说，对于孤立系统，系统所有也许微观状态出现概率是相等。数学表示式为：第17页第17页五、量子统计力学 量子力学中，在给定宏观条件下，系统也许微观状态是大量，用s=1,2,标识系统各个也许微观状态，用 表示t 时刻系统处于状态s 概率，满足归一化条件：以Bs 表示微观量B 在量子态s 上数值，则B在一切也许微观状态上平均值（即和B相相应宏观物理量）为：第18页第18页六、全同粒子微观状态数 假如把典型统

12、计理解为量子统计典型极限，对于含有N个自由度为r 全同粒子系统，在能量 范围内系统微观状态数为 假如有N 种不同粒子，第i 种粒子自由度为ri , 粒子数为Ni ，则有： 第19页第19页七、最概然法和系综办法关系 最概然法：认为宏观量是微观量在最概然分布下数值。 系综法：认为宏观量是微观量在给定宏观条件下一切也许微观状态上系综平均值。 假如相对涨落很小，即： 概率分布必定含有非常陡极大值分布函数，因此最概然值和平均值是相等。普通宏观系统，相对涨落比较小，因此两种办法统计平均值是相同。 第20页第20页微正则分布热力学公式 对于孤立系统，由于不和外界互换物质，粒子数拟定，外界不做功，因此体积拟

13、定（假设只有体积改变功），因此有：第21页第21页一、微观状态数和热力学量关系A1A2第22页第22页 依据等概率原理，平衡态下孤立系统一切也许微观状态出现概率都相等，因此，当A1能量取某一个值时，孤立系统总微观状态数取极大值，这意味着相应E1和E2是最概然能量分派。对于宏观系统，最概然微观状态数事实上能够当作是总微观状态数，因此其它能量分派出现概率远远小于最概然能量分派出现概率，由此能够认为最概然微观状态数相应E1和E2就是A1和A2达到热平衡时内能。第23页第23页热力学中，两个系统达到热平衡条件为：第24页第24页第25页第25页第26页第26页二、抱负气体和玻耳兹曼常数 对于典型抱负气

14、体，一个分子出现在空间中某一个位置概率和其它分子位置无关；一个分子出现在容器内，也许微观状态数和容器体积成正比，因此N 个分子出现在容器V 中也许微观状态数为:第27页第27页三、微正则分布求热力学函数程序 事实上，这种计算办法相称复杂。有一个例子：单原子典型抱负气体。这个计算更详细分析参考Pathria书。第28页第28页正则分布以及热力学公式 微正则分布考虑是孤立系统分布函数。现在考虑正则分布，即含有拟定粒子数N，体积V和温度T系统分布函数，（N,V,T）拟定系统相称于一个和大热源接触而达到平衡系统。系统和大热源构成一个复合孤立系统。假设系统和热源作用很弱，热源很大。第29页第29页系统处

15、于能量为Es状态s 上概率：上式中，T 为热源温度，由于热源很大，互换能量不会改变热源温度。T 当然也是系统温度。利用等概率原理，上式中右边第一项是常数，因此有：第30页第30页这就是含有拟定N,V,T 系统处于能量为Es微观状态s 上概率，式中，Z 称为配分函数。第31页第31页正则分布热力学公式内能是在给定N,V,T条件下，系统能量在一切也许微观状态上平均值；广义力是在给定N,V,T条件下， 统计平均值；第32页第32页第33页第33页能量涨落 在给定N,V,T条件下，系统内能为能量在一切也许微观状态上平均值： 我们将能量偏差平方平均值定义为能量涨落：第34页第34页实际气体物态方程&典型

16、集团展开简介 气体在低密度下能够忽略分子间互相作用，高密度下应该考虑分子间互相作用。系综理论能够处理互相作用粒子体系，为了简朴，我们现在只考虑单原子分子典型气体。第一项代表分子之间动能，第二项代表分子之间互相作用势能，此处已经假设：互相作用能量能够表示为各分子正确互相作用能量之和，并且，分子之间互相作用只和分子之间距离相关系。第35页第35页定义函数（梅逸函数）：第36页第36页 事实上，分子之间互相作用力为短程力，力程约为分子直径三四倍，因此梅逸函数仅仅在极小空间范围内不为零。第37页第37页第38页第38页对于低密度气体有: 第39页第39页也就是说，稀薄实际气体物态方程为 称为第二维里系

17、数 第40页第40页分子力半经验公式及其图象f (10-10 N)r (10-10 m)r0rao0.5-0.5引力斥力rm第41页第41页 列纳德琼斯用下列半经验公式（1924年）表示两分子间互相作用势： 0和r0是两个参量，当两分子之间距离为r0时，互相作用势能取极小值-0 。第42页第42页刚球模型第43页第43页，因此有：在普通情况下，上面得到a、b和温度无关，实际气体和温度相关。第44页第44页 上面办法适合用于稀薄实际气体，上面只是推出了物态方程。普通地，将系统各种物理量写成级数展开形式，级数主要项表示相应抱负系统结果，而后面各项则表示由粒子间互相作用引起修正。这种办法称为集团展开

18、法。 梅逸等人在20世纪30年代完毕了对典型系统进行级数展开系统办法，以后由Kahn，Uhlenbeck，李政道和杨振宁等将这办法推广到量子系统。 典型集团展开能够进一步详细参看： 张先蔚，“量子统计力学”（第二版）第三章第一节。第45页第45页固体热容量&声子和元激发&朗道费米液体理论初步 固体中相邻原子距离很小（1埃），原子间存在很强互相作用，在这互相作用下，各原子有一定平衡位置，原子在其平衡位置附近做微振动。设固体有N个原子，每个原子有3个自由度，则整个固体自由度为3N。以 表示第i个自由度偏离其平衡位置位移，相应动量为 ，则系统能量能够表示为：上式中， 称为简正坐标，它是将全体原子坐标

19、加以线性组合而得到一个集体坐标，与全体原子坐标都相关系，由上式还能够看出，这3N个简正坐标运动是互相独立简谐振动，简称为简正振动，其特性频率为:第46页第46页 这样，强耦合N个原子微振动变换为3N个近独立简谐振动，在势能展开式中，假如保留三次项，简正振动之间将有互相作用。上式中， 是描述第i个简正坐标量子数，由此可得系统配分函数为：第47页第47页 要详细依据上式求出内能，需要知道简谐振动频率分布，这就是简正振动频谱，最简朴假设是假设3N个简谐振动频率都相同，这就是爱因斯坦模型。 德拜主要观点下列： （1）将固体看作连续弹性媒质，3N个简正振动是弹性媒质基本波动，固体上任意弹性波都能够分解为

20、3N个简正振动叠加。 （2）固体上传播弹性波有纵波（膨胀压缩波）和横波（扭转波）两种，横波有两种振动方式（由于在垂直于传播方向有两个互相垂直方向）。 （3）能够用波矢和偏振标志3N个简正振动。 用cl 和ct 分别表示纵波和横波传播速度，两者圆频率和波矢大小分别满足下列关系：第48页第48页 由于固体只有3N个简正振动，因此必定存在一个最大圆频率D（德拜频率,19）:第49页第49页第50页第50页 对于非金属固体，上式和试验符合；金属在3K以上也符合上述规律，但是在3K下列，不能忽略自由电子对热容量奉献，上式只是固体热容量原子部分。 德拜理论缺点：忽略了固体中原子离散结构，在高频范围内和试验

21、不符合。第51页第51页声子和元激发 以上是从波动观点角度讨论原子热振动，也能够从粒子观点角度讨论。 波矢为k,含有某一偏振简正振动能量为：能量以 为单元，能够把简正振动能量量子看作一个准粒子，称为声子，声子准动量和能量为：第52页第52页 含有某一波矢和偏振简正振动处于量子数为n激发态，相称于产生了含有某一准动量和偏振n个声子。不同简正振动，含有不同波矢和偏振，对应于状态不同声子。 由于简正振动量子数可取零或者任意正整数，处于某一状态（一定准动量和偏振）声子数是任意，因此声子遵守玻色分布。 温度为T 时处于能量为 一个状态上平均声子数 从微观角度看，平衡态下各简正振动能量不断改变，相称于各状

22、态声子不断被产生和毁灭，因此声子数不是恒定，声子气体化学势为零。第53页第53页 以上对固体中原子热运动讨论在物理上很有启发性： （1）构成固体真实粒子是原子，由于原子间存在很强互相作用，直接讨论原子热运动是很困难。 （2）将原子3N个振动自由度变换为3N个近独立简谐振动，问题便于处理。 （3）假如进一步把简正振动激发量子当作一个“元激发”或者“准粒子”声子，便把互相作用原子系统简化为“准粒子”抱负气体，能够用最概然分布办法处理。这个观念在研究有互相作用粒子系统时有广泛应用。第54页第54页 用元激发办法计算热力学量需要知道系统能谱。在低温下，系统处于高激发态概率很小，能够只考虑低激发态。在许

23、多情况下，能够把系统低激发态能量表示为元激发能量之和： 上式阐明，处于低激发态系统能够等效看作是某种元激发抱负气体，假如知道元激发能量动量关系，并且能够拟定元激发遵从是玻色或者费米统计，就能够用最概然分布讨论系统在低温下热力学性质。第55页第55页朗道费米液体理论初步 第八章第五节阐明： （1）在0K时抱负费米气体处于基态，粒子占满了动量空间中半径为费米动量大小费米球，动量不小于费米动量状态完全没有被占据。 （2）费米气体处于低激发态时，有少许粒子跃迁到动量大于费米动量状态，而在费米球中留下空穴。 （3）费米动量大小由气体数密度决定：第56页第56页 液体和气体没有严格界线，基于此，朗道认为：

24、 （1）假如在抱负费米气体中逐步加入粒子之间互相作用，抱负费米气体将过渡到费米液体，气体粒子过渡到液体准粒子。液体中准粒子数和本来气体或者液体中实际粒子数相同。 （2）对于均匀系统，准粒子状态仍可有动量为p和自旋S 描述。 （3）0K时费米液体处于基态，准粒子占满了动量空间中半径为费米动量费米球，这里费米动量仍由 拟定，但是n 是液体粒子数密度。 （4）费米液体处于低激发态时，有少许准粒子跃迁到动量不小于费米动量状态，而在费米球中留下空穴。第57页第57页 因为费米液体准粒子之间存在相互作用，单个粒子能量 和其它准粒子所处状态相关，也就是说和准粒子分布相关，因此和理想费米气体不同，费米液体能量

25、不能表示为单个准粒子能量之和，而是分布函数 泛函，准粒子能量 由定义以下：第58页第58页 处于平衡状态抱负费米气体熵为：上式两项能够分别理解为由于粒子含有分布 和空穴含有分布 所造成熵。上式不但适合用于平衡态，也适合用于非平衡态。假如 是某非平衡态下粒子分布，相应熵就由上式表示。在总粒子数、总能量和给定体积情形下，平衡态分布使得熵取极大值。能够证实，平衡态下分布有下列形式：第59页第59页 温度为OK时，分布函数、准粒子能量、化学势分别为： ，因此分布函数是一个阶跃函数。这和抱负费米气体完全一致。第60页第60页 对于抱负费米气体，有同样能够引入准粒子有效质量概念，定义：第61页第61页 对

26、于抱负费米气体，仅仅在费米面附近电子对低温热容量有奉献，为因此，依据费米液体和抱负费米气体相同性，能够直接写出低温下费米液体热容量为：第62页第62页 例子（习题8.25）：He-3是费米子，在液He-3中原子有很强互相作用，按照朗道理论，能够将液He-3看作是和原子数目相同He-3准粒子构成费米液体。已知He-3密度为81kg每立方米，在0.1K下列定容热容量为由此，能够估算He-3准粒子有效质量为：第63页第63页液4He性质&朗道超流理论 氦有两种同位素，3He和4He，3He是费米子，4He自旋为零，是玻色子，它们在通常压强下直到靠近于绝对零度仍然能够保持为液态（量子效应主导），下列是

27、4He相图。第64页第64页4He相图性质有两个完全不同相：He-I和He-II，He-I有通常液体特性。当He-I沿着它气液两相平衡曲线降温到2.17K时，He-IHe-II，这是连续相变，无潜热和体积突变。从两侧趋于相变点，比热容以对数形式发散，比热容伴随温度改变曲线形状酷似希腊字母，因此也称为相变。第65页第65页He-II奇特效应超流动性：毛细管；粘滞系数为零； （1937年，卡皮查（Kapitza）初次发觉，1978年，Nobel Prize）。存在临界速度；阻尼；1938年蒂萨二流体模型，超流体和正常流体密度比值取决于温度；1946年安东尼卡什维里试验。热力效应；力热效应（零粘滞性

28、，零熵）；喷泉效应（Fountain Effect）是热力效应。热导率高，不沸腾，蒸发仅仅在表面发生。表面膜效应（来自超流动性和高导热率）。第66页第66页第一声和第二声朗道依据二流体模型预言，在4He-II中能够传输两种不同波动。假如正常成份和超流成份振动同相，总密度疏密振动对应声波（第一声）。假如二者振动有180度相位差，则两种成份在保持总密度不变情况下各自有疏密振动，因为超流成份比熵为零，因此正常成份振动给出比熵或者温度振动，这种熵波或者温度波称为第二声。第67页第67页朗道超流理论 朗道把温度不十分靠近临界温度He-II当作是处于弱激发状态量子玻色系统，在基态背景下（超流成份）产生了元

29、激发构成抱负气体（正常成份）。 以p 和 表示元激发动量和能量， 表示元激发数，系统低激发态能量和动量能够表示为：第68页第68页 温度远低于临界温度时，热容量正比于温度三次方，这是声子气体特征；而当温度较高时，热容量含有行为exp(-/kT)项（为常数）,考虑到这一点，朗道对元激发能谱作了以下图猜想。这得到了试验证实。第69页第69页第70页第70页第71页第71页 热平衡下，元激发存在于能量取极小值附近。 在能量取零点位置，相应元激发就是He-II中声子，能量和动量关系是线性，比值就是声速。 在p0附近，能量能够展开成幂级数，相应元激发称为旋子，称为能隙： 声子和旋子都遵从玻色分布，由于元

30、激发数不拟定，它们化学势为零。依据元激发谱能够计算He-II在低温下热力学性质。第72页第72页朗道超流判据超流体流速在临界速度以上时，超流动性被破坏，朗道超流判据是计算这个临界速度。对于声子和旋子激发，能够分别计算出临界速度。朗道理论比试验结果偏大，R. Feynman认为，临界速度是由另外一个激发:量子化涡旋来决定，相关理论计算和试验结果大体相符。第73页第73页3He超流1971年，奥舍罗夫在2.6mK下列低温发觉了3He超流现象。零磁场下有两个超流相：A相和B相，A相是两个He原子以自旋相同方式结合成束缚对而形成玻色子，因此是各项异性；B相是He原子自旋反向配正确方式结合成玻色子，因此

31、是各项同性。正常相和超流相转变是连续相变。AB相之间转换是一级相变。第74页第74页稀释致冷原理能够维持2mK低温。第75页第75页Ising模型平均场理论 本节讨论相变问题。 统计物理学通过对配分函数求导数能够求得系统热力学函数，从而拟定系统所有平衡性质，但是在相变点一些热力学量会发生突变或者出现无穷尖峰，那么从单一配分函数表示式能否同时描述各相和相转变呢？这是从20世纪30年代中叶开始发生争论问题。 回答这个问题一个办法是，建立包括系统最本质特性简化模型，严格导出在其相变点宏观特性。这个领域通过半个多世纪研究，已经形成统计物理学一个专门研究方向：相变和临界现象（参考于禄、郝柏林著“相变和临

32、界现象”）。 本节考虑最简朴模型-Ising模型，这个模型能够近似描述单轴各向异性铁磁体铁磁-顺磁相变，稍微改变还能够描述气体-液体相变，合金有序无序相变等。 第76页第76页Ising模型简介 考虑N 个磁性原子定域在晶体格点上，假设原子总角动量量子数为1/2,原子磁矩大小为 。 1929年，Heisenberg提出，铁磁性起源于电子互换作用（铁磁体：ferromagnetism ），互换作用是一个量子力学效应，是库仑排斥作用和泡利不相容原理共同结果，这样，两个近邻原子互相作用能量和电子自旋状态相关，这就是Heisengerg模型。 对于单轴各向异性铁磁体，原子自旋平行（=1）或者反平行（=

33、 -1）于一个晶轴，我们用z 轴表示这个晶轴方向，这样，铁磁体原子互相作用能量为：第77页第77页 假如J 0, 则当所有自旋含有相同取向时系统含有最低能量，相应于绝对零度下状态；在足够低温度下，也会有较多自旋含有相同取向，这就是无外磁场时铁磁体含有自发磁化原因。 最主要是，即使互换作用是短程力，只存在近邻自旋之间，但是系统中能够出现长程有序。第78页第78页系统配分函数是： Ising模型即使简朴，但是严格求解极为困难。 1925年，Ising本人求得了一维严格解，一维没有相变。 1946年昂萨格求得了二维情形严格解，他工作是统计物理学最主要成就之一，由于第一次清楚证实，从没有奇异哈密顿量出

34、发，在热力学极限下热力学函数在临界点附近有奇异性。 三维Ising模型当前有许多近似解，但是严格解至今仍然没有得到。第79页第79页Ising model（From Wikipedia）The Ising model is a mathematical model of ferromagnetism in statistical mechanics. It was invented by the physicist Wilhelm Lenz who gave it as a problem to his student Ernst Ising after whom it is named. T

35、he model consists of discrete variables called spins that can be in one of two states. The spins are arranged in a lattice or graph, and each spin interacts only with its nearest neighbors.The 1-dimensional Ising model has no phase change and was in 1925 already solved by Ernst Ising himself. The 2-

36、dimensional square lattice Ising model is much harder and, in the case of zero magnetic field, was given a complete analytic description much later, by Onsager (1944). In fact, the two-dimensional model has a phase change, and is one of the simplest statistical models with this property. The two-dim

37、ensional model is usually solved by a transfer-matrix method, although there exist different approaches, more related to quantum field theory.In three dimensions, the Ising model was shown to have a representation in terms of non-interacting Fermionic lattice strings by Alexander Polyakov. In dimens

38、ions near four, the critical behavior of the model is understood to correspond to the renormalization behavior of the scalar phi-4 theory (see Kenneth Wilson). In dimensions five and higher, the phase-transition of the Ising model is described by mean field theory.Istrail () showed that computing the free energy of an arbitrary subgraph of an Ising model on a lattice of dimension three or more is computationally intractable. This means that in dimensions higher than 2, any method o