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文档简介

1、1第三节 向量组的最大无关组与秩一、向量组的秩二、向量组的等价三、向量组的秩与矩阵秩的关系2一、向量组的秩一个向量组所含的向量个数最多的无关 部分组有什么性质?问题定义2.3.1 如果一个向量组的一个部分组 线性无关, 并且向量组中的任意一个向量都可以由 线性表出, 则称 为这个向量组 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组.向量组的 最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩,记作 只含零向量的向量组没有最大无关组, 并规定它的秩为0. 3例1设向量组 A: 1 = 1, 1, 1T ,2 =2,1, 0T , 3 =3,2,1T求A的一个最大无关组解因 1 , 2线性无关 , 3 = 1

2、+ 2 1 , 2为A的一个最大无关组 1 , 3和2 , 3也都是A的最大无关组例2n维单位坐标向量组1,2,n 是Rn的一个最大无关组 因为向量组1,2,n 线性无关而n+1个n 维向量必然线性相关,Rn的任一个向量都可由1,2,n 线性表出所以1,2,n 为Rn的一个最大无关组例7一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系?向量组最大无关组的四个基本问题 存在、唯一、个数、求法需要进一步讨论两个向量组之间的关系 向量组最大无关组的几个问题8二、向量组的等价设有两个n维向量组A与B, 如果向量组A的每个向量可由向量组B线性表出,则称向量组A可由向量组B线性表出,如果向量组A和向量组B可以互

3、相线性表出,则称向量组A与向量组B是等价的,记为 向量组A 向量组B定义2.3.2从而11 向量组A,B,C之间的等价具有下列性质(1) 自反性 A A (2) 对称性 A B = B A(3) 传递性 A B, B C =A C向量组的等价关系满足：14定理2.3.2如果n维向量组1, 2 , s可由n维向量组1,2 ,t线性表出,并且st,则向量组1, 2 , s必线性相关 如果向量组1,2 ,s 可由向量组 1,2 ,t线性表出,并且1,2 ,s线性无关, 则s t 推论2.3.215两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同推论2.3.3一个向量组的任意两个最大无关组所含向量的个数相同推论2.3.4推论2.3.5等价向量组的秩相等 推论2.3.5的逆命题不成立17向量组1,2 可由向量组1,2线性表示综合(1)(2), 这两个向量组等价复习三、向量组的秩与矩阵秩的关系向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组一个矩阵有三个“秩”： 矩阵A的秩、矩阵的行秩、矩阵的列秩22定理2.3.3行初等变换不改变矩阵的行秩与列秩241=1,2,3T, 2=-3,-2,3T3=4,7,9T, 4=5,9,12T例4 已知向量组求1,2,3,4的秩及其一个最大无关组,并将其余向量用这个最大无关组线性表出解令A=1,

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