Lesson07 第17章 金属塑性变形的力学基础 2.4 材料本构关系-材料班课件

1、2.4 材料本构关系 本构关系（Constitutive Relations）：材料变形过程中应力与应变之间的关系。 这种关系的数学表达式称为本构方程，也叫物理方程。 塑性应力应变关系和屈服准则都是求解塑性变形问题的基本方程。1机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4.1材料真实应力-应变曲线 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点2.4.3增量理论2.4.4全量理论2.4.5实验：绘制拉伸真实应力应变曲线2.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料真实应力-应变曲线定义 材料力学拉伸实验：低碳钢试样拉伸图 所得应力-应变曲线为： 曲线。名义 曲线。观察颈缩后的现象：试件直

2、径在急速变细！ 定义： 得： 材料拉伸的真实应力-应变（ ）曲线。 2机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.1弹性变形时应力应变关系的特点 这些式子表明， 弹性应力应变关系有如下特点： 1）应力与应变成线性关系。 2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。 3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比0.5。 4）应力主轴与应变主轴重合。3机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.1弹性变形时应力应变关系的特点 这些式子表明， 弹性应力应变关系有如下特点： 1）应力与应变成线性关系。 2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。 3

3、）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比0.5。 4）应力主轴与应变主轴重合。4机械工程系 张海涛 塑性成形原理演示2.4 材料本构关系 2.4.1弹性变形时应力应变关系的特点 这些式子表明， 弹性应力应变关系有如下特点： 1）应力与应变成线性关系。 2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。 3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比0.5。 4）应力主轴与应变主轴重合。5机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 第二次修正。 齐别尔修正： （16-6） ：颈缩处试样外形的曲率半径。7机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.

4、4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料模型 根据应力-应变关系，把材料必须分类为： a）幂指数硬化曲线 b）刚塑性硬化曲线 c）刚塑性硬化直线 d）理想刚塑性水平直线真实应力应变曲线的简化类型8机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料模型 根据应力-应变关系，把材料必须分类为： （二）有初始屈服应力的刚塑性硬化曲线型 当有初始屈服应力 时，其真实应力-应变曲线可表达为 式中 ，B1、m、 是与材料性能有关的参数。 由于与塑性变形相比，弹性变形很小，可忽略，如图16-5b。所以，该形式为刚塑性硬化曲线型。 10机械工程系 张海

5、涛 塑性成形原理p347式16-102.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料模型 根据应力-应变关系，把材料必须分类为： （三）有初始屈服应力的刚塑性硬化直线型 为了简化计算，可用直线代替硬化曲线，如图16-5c，则为线性硬化形式，其真实应力-应变曲线表达式为 式中，B2 是强度系数。 11机械工程系 张海涛 塑性成形原理p348式16-112.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料模型 根据应力-应变关系，把材料必须分类为： （四）无加工硬化的水平直线型 对于几乎不产生加工硬化的材料，此时n=0，其真实应力-应变曲线是一水平直线，如图16-5d，表达式为

6、 这是理想刚塑性材料模型。12机械工程系 张海涛 塑性成形原理p348式16-122.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料模型示例 铝在不同温度下的静载压缩时的真实应力应变曲线14机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.1材料真实应力-应变曲线 材料模型示例 低碳钢在不同温度下的静载压缩时的真实应力应变曲线15机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 定性地，弹性变形阶段： 1. 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合。 2. 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程）无关，即某瞬

7、间的物体形状，尺寸只与该瞬时的外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。 3. 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变化，泊松比 0.5 。 17机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 定量地，单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。将其推广到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律，即： 18机械工程系 张海涛 塑性成形原理p358式17-12.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 通过变换，我们可以得到： 此式表明，弹性变形时其单位体积变化率（ ）与平均应力成正比，说明应力球张量使

8、物体产生了弹性体积改变。（有一个例题！） 同样，也可以得到： 此式表示应变偏张量与应力偏张量成正比，表明物体形状的改变只是由应力偏张量引起的。19机械工程系 张海涛 塑性成形原理p358式（17-2）p359式（17-4）2.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 由式（17-2）和式（17-3），广义虎克定律可写成张量形式： 广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式： 或： 20机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 这些式子表明， 弹性应力应变关系有如下特点： 1、应力与应变成线性关系，应力主轴与应变主轴重合

9、。 2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。 3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比0.5。21机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 塑性变形阶段： 1. 应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。 如：单向拉伸时拉伸曲线已变为曲线关系。 2. 塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量为零，泊松比 0.5 。 忽略体积变形：22机械工程系 张海涛 塑性成形原理 单向拉伸时的应力-应变曲线示意图24机械工程系 张海涛 塑性成形原理 如图2.37所示，若是理想塑性材料，则同一 可以对应

10、任何应变（图中虚线），若是硬化材料，则由 加载到 ，对应的应变为 ，若由 卸载到 ，则应变为 。 所以不是单值的一一对应关系。2.4 材料本构关系 2.4.2弹性与塑性变形时应力应变关系的特点 由于塑性应力应变关系与加载路线或加载的历史有关。 因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍关系是不可能的，一般只能建立应力与应变增量之间的关系，仅在简单加载下，才可以建立全量关系。 简单加载：是指在加载过程中各应力分量按同一比例增加，应力主轴方向固定不变。25机械工程系 张海涛 塑性成形原理1、列维-米塞斯（Levy-Mises）理论 Levy和Mises分别于1871和1913年建立了理想

11、塑性材料的流动理论，该理论建立在下面四个假设基础上。 四个假设： 1）材料是理想刚塑性材料，即弹性应变增量 为零。塑性应变增量 就是总应变增量 。 2）材料符合Mises屈服准则，即 。 3）每一加载瞬时，应力主轴与应变增量主轴重合。 4）塑性变形时体积不变，即 所以塑性应变增量偏张量就是应变增量张量，即27机械工程系 张海涛 塑性成形原理1、列维-米塞斯（Levy-Mises）理论 在上述假设前提下，得到应变增量和应力偏量成正比的结论，即： 称为Levy-Mises方程。 式中, d 是瞬时的非负比例系数，在加载的不同瞬间是变化的，在卸载时d=0。 由于 ，所以也可以写成比例形式和差比形式：

12、28机械工程系 张海涛 塑性成形原理p361式(17-6) 或 经推导得出： 将式（17-10）代入式（17-7）中，Levy-Mises方程还可以写成广义表达式:29机械工程系 张海涛 塑性成形原理p361式（17-7）p361式（17-8）p361式（17-9）p361式（17-10） 特别说明： 1、 Levy-Mises方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应变增量与应力偏量之间的关系。由于 就不能确定，因而不能确定应力球张量。因此，如果已知应变增量，只能求得应力偏量分量，一般不能求出应力。 30机械工程系 张海涛 塑性成形原理p361式（17-11） 特别说明： 2、如果已知应力分量

13、，因为 为常数， 是不定值，也只能求得应变增量各分量之间的比值，而不能直接求出它们的数值。31机械工程系 张海涛 塑性成形原理p361式（17-11） 2、应力-应变速率方程 将式（17-6p361）两边除以时间，可得 ： 式中， 为应变速率张量， 为等效应变速率。 则有： 称为应力应变速率方程， 它同样可以写成比例形式和广义表达式。 式（17-12）由圣文南（B. Saint-Venant）于1870年提出，由于与牛顿粘性流体公式相似，故又称为圣维南塑性流动方程。如果不考虑应变速率对材料性能的影响，该式与列维-密塞斯方程是一致的。32机械工程系 张海涛 塑性成形原理p362式（17-12）3

14、、普朗特-劳斯（Prandtl-Reuss）理论 Prandtl-Reuss理论是在Levy-Mises理论基础上进一步考虑弹性变形部分而发展起来的。即总应变增量的分量由弹、塑性两部分组成，即 塑性应变增量 ，由Mises理论确定， 弹性应变增量 ，由式（17-5）微分可得 所以Prandtl-Reuss方程为： 33机械工程系 张海涛 塑性成形原理p362式（17-13）p362式（17-14）3、普朗特-劳斯（Prandtl-Reuss）理论 式（2.117）也可写成： Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的基本假设是类似的，差别在于前者考虑了弹性变形而后者未考虑，实质

15、上后者是前者的特殊情况。 增量理论着重指出了塑性应变增量与应力偏量之间的关系，可解释为它是建立起各瞬时应力与应变的关系，而整个变形过程可以由各瞬时的变形累积而得。 因此增量理论能表达加载过程的历史对变形的影响，能反映出复杂加载情况。 但上述理论仅适用于加载情况，卸载情况下需按虎克定律进行计算。34机械工程系 张海涛 塑性成形原理p362式（17-15）2.4 材料本构关系 2.4.4全量理论一种小变形塑性状态的应力-应变关系 全量理论最早是由汉基（H. Hencky）于1924年提出。 在小变形的简单加载过程中应力主轴保持不变，由于各瞬时应变增量主轴和应力主轴重合，所以应变主轴也将保持不变。

16、在这种情况下，对应变增量积分便可得到全量应变。 在这种情况下建立塑性变形的全量应变与应力之间的关系称为全量理论，亦称为形变理论。 35机械工程系 张海涛 塑性成形原理 1、如果假定是刚塑性材料，而且不考虑弹性变形，则可用全量应变 代替Levy-Mises方程中的应变增量，即 式中 ，上式也可以写成比例形式和差比形式，进一步写成广义表达式。诸如： 36机械工程系 张海涛 塑性成形原理p363式（17-16） 写成广义表达式为： 2、如果是弹塑性材料的小变形，则同时要考虑弹性变形。此时，Hencky方程为： 式（17-17）中第一式表示形状变形，前一项是塑性应变，后一项是弹性应变。第二式表示弹性体

17、积变形。37机械工程系 张海涛 塑性成形原理p363式（17-17） 为了便于与广义虎克定律式（17-4）进行比较，令 为塑性切变模量， 使得： 则 在形式上与广义胡克定律（17-4）便相同了。 且 38机械工程系 张海涛 塑性成形原理p363p363式（17-18） 例题： 试确定例两端封闭的受内压 p 的薄壁圆筒，产生塑性变形时，圆筒的周向、径向和轴向应变的比例（设径向应力可以忽略，即按 求解）。39机械工程系 张海涛 塑性成形原理解: 应用材料力学可以求出圆筒的各应力分量为：其平均应力为：则应力偏量的分量为： ， ，40机械工程系 张海涛 塑性成形原理由列维-米塞斯方程（2.110）得：

18、所以有：，这是平面变形状态。2.4 材料本构关系 习题：p327 1、2、3、 选作：4、5、641机械工程系 张海涛 塑性成形原理2.4 材料本构关系 2.4.5实验：绘制拉伸真实应力应变曲线42机械工程系 张海涛 塑性成形原理金属在冷塑性变形过程中，有加工硬化现象产生。这种硬化现象可用“硬化曲线”（即真实应力-应变曲线）表示出来，如图所示。1、 如何绘制拉伸真实应力应变曲线43机械工程系 张海涛 塑性成形原理方法步骤如下： 求出屈服点s（一般略去弹性变形）： 式中：Fs 材料开始屈服时的载荷，由实验机载荷刻度盘上读出； A 试样原始横截面面积。 找出均匀塑性变形阶段各瞬间的真实应力 S 和

19、对数应变 。现：式中 F 各加载瞬间的载荷，由试验机载荷刻度盘上读出； A 各加载瞬间的横截面面积，由体积不变条件求出。 44机械工程系 张海涛 塑性成形原理 式中 l 试样标距长度的瞬间伸长量，可由试验机上的标尺上读。所以有： 从屈服点开始到塑性失稳点，即在均匀塑性变形阶段，可找出几个对应点。塑性失稳点的应力和应变仍可用上述公式求出，但此时的载荷为最大载荷Fmax。 45机械工程系 张海涛 塑性成形原理 缩颈开始后为集中塑性变形阶段，由于此阶段 A 不能由体积不变条件求出，所以，此阶段要求出各瞬间的应力及其对应的对数应变是很困难的。 因此，只能找出断裂时的真实应力及其对应的对数应变。 找出断裂时的真实应力 及其对应的对数应变式中： l k 试样断裂时的标距总长度。 这样，可在 S - 坐标平面上确定出 S - 曲线。46机械工程系 张海涛 塑性成形原理由于拉伸产生颈缩后，已不是单向应力状态，故必须加以改正。建议采用齐别尔的修正公式：式中 S 未修正时的真实应力， Sk 修正后的真实应力 dk C颈缩处断面直径。 颈缩处试棒外形的曲率半径，见图d图4 讨论： 在均匀塑性变形阶段，真实应力S 大于条件