2016年“迎春杯”数学奥数决赛试卷（小高组a卷）

1、 PAGE PAGE 142016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（共5小题,每小题8分,满分40分）1（8分）算式的计算结果是 2（8分）销售一种商品,利润率为25%,如果想把利润率提高到40%,那么售价应该提高 %3（8分）小明发现今年的年份2016是一个非常好的数,它既是6的倍数,又是8的倍数,还是9的倍数,那么下一个既是6的倍数,又是8的倍数,还是9的倍数的年份是 年4（8分）在电影大圣归来中,有一幕孙悟空大战山妖,有部分山妖被打倒,打倒的比站着的多三分之一;过了一会了再有2个山妖打倒,但是又站起来了10个山妖,此时站着的比打倒的多四分之一,那么现在站着的山妖有

2、 个5（8分）在空格内填入16,使得每行和每列的数字都不重复图中相同符号所占的两格数字组合相同,数字顺序不确定,那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是 二、填空题（共5小题,每小题10分,满分50分）6（10分）请将09分别填入下面算式的方框中,每个数字恰用一次,或已将“1”、“3”、“0”填入,若等式成立,那么等式中唯一的四位被减数是 7（10分）2016名同学排成一排,从左到右依次按照1,2,n报数（n2）,若第2016名同学所报的数恰是n,则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物那么无论n取何值,有 名同学将不可能得到新年礼物8（10分）如图,正十二边形的面积是2016平方

3、厘米,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米9（10分）四位数除以两位数的余数恰好为,如果不同的汉字表示不同的数字且和不互质,那么四位数最大是 10（10分）老师用0至9这十个数字组成五个两位数,每个数字恰用一次;然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学,每名同学只能看见自己的两位数,并依次发生如下对话：A说：“我的数最小,而且是个质数”B说：“我的数是一个完全平方数”C说：“我的数第二小,恰有6个因数”D说：“我的数不是最大的,我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了”E说：“我的数是某人的数的3倍”那么这五个两位数之和是 三、填空题（共4小题,每小题12分,满

4、分48分）11（12分）如图,直角三角形ABC中,AB的长度是12厘米,AC的长度是24厘米,D、E分别在AC、BC上,那么等腰直角三角形BDE的面积是 平方厘米12（12分）已知S+,那么S的小数点后第2016位是 13（12分）A、B两地间每隔5分钟有一辆班车发出,匀速对开,且所有班车的速度都相同;甲、乙两人同时从A、B两地出发,相向匀速而行;甲、乙出发后5分钟,两地同时开出第一辆班车;甲乙相遇时,甲被A地开出的第9辆班车追上,乙也恰被B地开出的第6辆班车追上;乙到A地时,恰被B地开出的第8辆班车追上,而此时甲离B地还有21千米那么乙的速度是每小时 千米14（12分）将一个固定好的正方形分

5、割成3个等腰三角形,有如图的4种不同方式：如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形,那么共有 种不同方式2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（共5小题,每小题8分,满分40分）1（8分）算式的计算结果是2017【解答】解：2016（1+）2017;故答案为：20172（8分）销售一种商品,利润率为25%,如果想把利润率提高到40%,那么售价应该提高12%【解答】解：1+25%125%1+40%140%（140%125%）125%15%125%12%答：售价应该提高 12%故答案为：123（8分）小明发现今年的年份2016是一个非常好的数,它既是

6、6的倍数,又是8的倍数,还是9的倍数,那么下一个既是6的倍数,又是8的倍数,还是9的倍数的年份是2088年【解答】解：依题意可知：6,8,9的最小公倍数为：833722016后的下一个数字就是2016+722088故答案为：20884（8分）在电影大圣归来中,有一幕孙悟空大战山妖,有部分山妖被打倒,打倒的比站着的多三分之一;过了一会了再有2个山妖打倒,但是又站起来了10个山妖,此时站着的比打倒的多四分之一,那么现在站着的山妖有35个【解答】解：根据分析,一开始打倒的比站着的多,所以打倒的占总山妖的,过一会儿,站着的比打倒的多,打倒的占总山妖的;这中间打倒的数量减少了8个,一共有山妖：8（）63

7、;此时,站着的山妖有：6335个故答案是：355（8分）在空格内填入16,使得每行和每列的数字都不重复图中相同符号所占的两格数字组合相同,数字顺序不确定,那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是46123【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是5,第三行第四列只能是6继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123二、填空题（共5小题,每小题10分,满分50分）6（10分）请将09分别填入下面算式的方框中,每个数字恰用一次,或已将“1”、“3”、“0”填入,若等式成立,那么等式中唯一的四位被减数是2196【解答】解：依题意可知：设字母如图所示首先这个四位数的千位如果A3

8、,则不可能减完以后得2016所有A2其次后面的两个数的乘积为整数,是100的倍数所以这两个乘数一个是4的倍数一个是25的倍数所有必有一个数是以75结尾的如果75则与的积大于200等式不可能成立当375,如果60,同样的道理等式不成立,所有是小于60的4的倍数,剩下的数（4,6,8,9）中,只能是48满足要求所有所有这个四位数是2016+3750.482196原式是21963750.482016故答案为：21967（10分）2016名同学排成一排,从左到右依次按照1,2,n报数（n2）,若第2016名同学所报的数恰是n,则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物那么无论n取何值,有576名同学将不

9、可能得到新年礼物【解答】解：首先从左到右这2016名同学编号为12016如果某个同学报的数是n,则说明这个同学的编号恰好是n的倍数,所以n的倍数的同学都是n的倍数,那么n一定能被2016整除,对2016分解质因数201625327那么与2016互质的数字是永远不可能得到礼物的互质的个数有2016576（个）故答案为：5768（10分）如图,正十二边形的面积是2016平方厘米,那么图中阴影部分的面积是672平方厘米【解答】解：根据分析,如图,首先将阴影部分等积变形成下图形状,并设正三角形面积为a,四边形面积为b,整个正十二边形是由12个a这样的正三角形和6个b这样的四边形组成,而阴影部分是由4个

10、a这样的正三角形和2个b这样的四边形组成,恰好是整个正十二边形的,故阴影部分面积2016672平方厘米故答案是：6729（10分）四位数除以两位数的余数恰好为,如果不同的汉字表示不同的数字且和不互质,那么四位数最大是7281【解答】解：依题意可知：除以两位的余数恰好为,则除以余数也是所以+,即N由余数与除数的关系可知,设,的公因数为d则有（）99（d）N因为与互质,那么就是99的约数所以的结果为9（11,1和99,33和3都不符合题意）为了使最大,9d,当d9时取最大值7281故答案为：728110（10分）老师用0至9这十个数字组成五个两位数,每个数字恰用一次;然后将这五个两位数分别给了A、

11、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学,每名同学只能看见自己的两位数,并依次发生如下对话：A说：“我的数最小,而且是个质数”B说：“我的数是一个完全平方数”C说：“我的数第二小,恰有6个因数”D说：“我的数不是最大的,我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了”E说：“我的数是某人的数的3倍”那么这五个两位数之和是180【解答】解：A能判断出自己的数最小,说明A的十位是1,又因为是一个质数,所以A可能是13,17,19;C能判定自己的数第二小,且有6个因数,所以可能是20,28,32;B是一个完全平方数,但不能含有1、2,所以B的数可能是36,49,64;D又能刚好知道A,B,C三人中的其

12、中两个数,经实验,D36,37,39,40,47,48,49时,可以推断出A,B,C三人中的其中两个数,如下：发现无论哪种情况,5均没有出现,所以E中一定有一个数字5;E说自己的数字是某个人的数的三倍,与5组合能构成3的倍数的数只有7还没有被用到,所以E的数只能是57或75,显然75325没有在上表中出现过,所以E的数是57,则ABCDE这5个人手中的数有以下两种可能：19,36,28,40,57或者19,36,20,48,57,19+36+28+40+5718019+36+20+48+57180答：这五个两位数之和是 180故答案为：180三、填空题（共4小题,每小题12分,满分48分）11

13、（12分）如图,直角三角形ABC中,AB的长度是12厘米,AC的长度是24厘米,D、E分别在AC、BC上,那么等腰直角三角形BDE的面积是80平方厘米【解答】解：根据分析,如图,作DFBC交BC于F,在等腰直角三角形BDE里,很显然FBFDFE,在ABC中,在ABAC的情况下,AB：AC1：2,同样的道理,DFFC,所以DF：FC1：2,又DFFE,DFEC,即FDFBFEEC,BE,故,所以,阴影部分的面积S（平方厘米）故答案是：8012（12分）已知S+,那么S的小数点后第2016位是4【解答】解：根据分析,S+0.+;,小数点后第n,2n,3n位都是1,当n是2016的约数时,小数点后第

14、2016位是1,其它情况小数点的2016位是0,201625327,有（5+1）（2+1）（1+1）36个约数,而大于1000的约数有两个：1008、2016,不大于1000的约数有：36234个;在不考虑进位的情况下,这一位上有34个1相加,这一位的数字是4下面考虑进位,第2017位：2017是质数2017位上只有1个1相加,不构成进位;第2018位：201821009,有4个约数,所以2018位上有2个1累加,也不构成进位;第2019位及以后都不足以进位到第2016位上;综上所述,S小数点后第2016位是4故答案是：413（12分）A、B两地间每隔5分钟有一辆班车发出,匀速对开,且所有班车

15、的速度都相同;甲、乙两人同时从A、B两地出发,相向匀速而行;甲、乙出发后5分钟,两地同时开出第一辆班车;甲乙相遇时,甲被A地开出的第9辆班车追上,乙也恰被B地开出的第6辆班车追上;乙到A地时,恰被B地开出的第8辆班车追上,而此时甲离B地还有21千米那么乙的速度是每小时27千米【解答】解：依题意可知：设甲乙在C点相遇,由于班车的速度一定,所以从某一辆车追上甲（乙）到下一辆车追上甲（乙）的时间是相等的先考虑乙B到C（相遇点）,乙被6辆车追上,从C到A又被2辆车追上,说B到C的时间是A到C的时间的3倍所以BC3AC又因为C是相遇点,所以乙的速度是甲的速度的3倍所以当乙走完全程时,甲走完全程的此时甲距离B还有21千米,所以全程的路程是21（1）千米当甲乙相遇时,甲被9辆车追上,乙被6辆车追上,追上乙的那辆车比追上甲的那辆车早出发了15分钟即小时因为两车相遇是全程的四等分点,所以追