数学分析偏导数与全微分市公开课获奖课件

1、第十六章 偏导数与全微分再一元微分学中：有 导数（微商）连续微分复习：改变率线性主要部分第1页第1页 1 偏导数与全微分概念 比如：固定 y = y0, 则 f (x, y0) 就是 x 一元函数，它在 x0 时对x 导数，称为 f (x, y0) 在 (x, y0) 对 x 偏导数. 偏导数在二元函数 f (x, y) 中将 x, y 中一个量固定（看作不变），定义16.1. 函数 f 在(x0, y0) 关于 x 偏改变量. 若下列极限存在则称该极限为函数 f (x, y) 关于 x 偏导数.第2页第2页记号： 和一元函数情形相仿：则这个偏导数也是二元函数，它是在G内对x或y偏导函数，简称

2、偏导数,记为或或：若函数在区域内每一点都存在对x或对y偏导数，第3页第3页 偏导数几何意义：先复习导数几何意义空间曲线 看p181图曲面平面第4页第4页例例 例表明：偏导数存在 连续 原因：只有两个方向与一元函数本质区别第5页第5页全微分回想一下一元函数微分：两大特点；.推广到二元函数定义.（可微与全微分） 记号：二元函数微分仍有两大特点；. 先回想一下一元函数情形：切线存在且迫近曲线二元：切平面存在且迫近曲面二元函数 在几何意义第6页第6页定理16.1 全微分与偏导数关系： 设可微，在表示式中分别令和得第7页第7页从而： 在全微分可写成类似可定义 n 元函数 u = f ()全微分注：函在一

3、点偏导数不也许推出在该点可微 定理.2 在某区域内点全微分为第8页第8页总结连续偏导数存在可微偏导数连续第9页第9页4、高阶偏导数和高阶微分 先考虑二元函数前面说过偏导数则称关于x, y偏导数为二阶偏导数，共有四个类似可定义三阶偏导数 ：共个 第10页第10页例 7.求所有二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等 例8.设证实:在什么条件下才干确保两者相等呢？第11页第11页定理16.4 这个定理能够推广到 n含有直到 n 阶连续偏导数，则求偏导数与变量顺序 n 阶偏导数可简朴得表示为：阶偏导数情形：即若函数 f高阶全微分复习高阶微分二阶全微分：设混合偏导数连续，记号无关. 从而二元函数第12

4、页第12页2 复合函数与隐函数微分法复合函数偏导数 先复习一元函数链式法则 多元类似 Th16.5 复合函数偏导数链式法则 证实： 思绪 1、2、可微：偏导注：条件“可微”不可少。要求第13页第13页总结用图表示链式法则 第14页第14页几种特殊情形和推广：1）则复合函数为一元函数 设注意符号有时称全导数第15页第15页2）设 则推广 n 个P196复合三次uxyzst第16页第16页3) 设 1、两符号意义本质区别2、特例uxytst第17页第17页下面求复合函数高阶偏导数：例3强调 ，仍是 x, y 函数，从而 x, y 又是 s, t 函数 xyst同理第18页第18页例4.设 书上记号

5、易混求解: 引入中间变量： 记号 链式法则应用 偏微分方程变换 求解目第19页第19页2）复合函数全微 设进一步，若 则有又：和一元函数同样，二阶全微分不再含有形式不变性。这一性质称为一阶全微分形式不变性应用：隐含数微分法第20页第20页3）隐函数（组）求导法（1）一个方程情形：上册Ch4.3 =0情形：在一定条件下，由能够拟定隐含数y=f ( x)且是可导,求 前面求法：只有对详细问体：现在利用偏导数和链式法则，有 （例，求）不能给出普通表示式，若则第21页第21页推广：由方程=0，拟定隐含数且偏导数存在，求 同理可得： 例7设 解： 由要求结果知 拟定隐函数偏导数存在第22页第22页例8设

6、 解法二（利用全微分公式）解法一：（2）方程组情形：设拟定两个隐含数求推导见：P205。求（假设存在）第23页第23页小结偏导与全微分概念复合函数与隐函数微分第24页第24页 习题1、求解法1:解法2:在点(1 , 2) 处偏导数.第25页第25页2、 设证:3、 求偏导数 . (P14 例4)解:求证第26页第26页4、计算近似值. 解: 设,则取则第27页第27页5、解:第28页第28页1、 利用公式 求计算面积时绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又因此 S 相对误差约为计算三角形面积.现测得附加题第29页第29页2、在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知(

7、 欧)因此 R 相对误差约为0.3 + 0.5 R 绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 求用欧姆第30页第30页3.设解: 利用轮换对称性 , 可得注意: x , y , z 含有 轮换对称性 第31页第31页4、 设 求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解问题中经常碰到,第32页第32页半径由 20cm 增大解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 5.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm