数学公理化方法市公开课获奖课件

1、第四讲构建数学理论基本办法公理化办法第1页第1页本讲内容数学公理化办法历史演进过程关于几何公理体系实质公理化与形式公理化数学公理化办法逻辑特性第2页第2页所谓公理化方法，就是指从尽也许少原始概念和不加证实原始命题（即公理、公设）出发，按照逻辑规则推导出 其它命题，建立起一个演绎系统方法。第3页第3页数学上所谓公理，是数学需要用作自己出发点少数思想上要求 恩格斯第4页第4页公理化办法能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学理论基础，有助于比较各个数学分支本质异同，增进新数学理论建立和发展。第5页第5页当代科学发展基本特点之一，就是科学理论数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化一个主要特性。第6页第6

2、页公理化办法发展，大体经历了这样三个阶段：实质（或实体）公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段，用它们建构起来理论体系典范分别是几何原本、几何基础和ZFC公理系统。第7页第7页数学公理化办法历史演进 关于几何公理体系第8页第8页欧几里德几何 历史上第一个用公理化办法去建构数学理论体系是欧几里德，他工作集中表达在他几何原本中。 Quotations: The laws of nature are but the mathematical thoughts of God. There is no royal road to geometry.第9页第9页欧几里得第10页第10页几何原本受到了

3、毕达哥拉斯学派和亚里士多德影响毕达哥拉斯学派开创了把几何学作为证实演绎学科来进行研究方向。亚里士多德首创造公理化思想，提出了逻辑学“三段论公理体系”。第11页第11页欧几里德首先指明了几何学研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义”（其实只是阐明）以后，引进了关于这些对象一些明显事实作为不加证实而采用5个公设，进而又引进了更为普通5个断言作为公理，他通过这些公理、公设，逐步推表演465个命题。第12页第12页几何原本问世，在数学发展史上树立了一座不朽丰碑，对数学乃至科学发展起了巨大推动作用。它也成为公认、历史上第一部巨大科学典籍。它奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求叙述其规律基础。第13

4、页第13页它基本上完善了初等几何体系，这正如黑格尔所说：“初等几何就欧几里得所遗留给我们内容而言，已经能够看作相称完备了，不也许有更多进展”。第14页第14页它所表达演绎美对数学美学思想发展也起到了不可低估作用，它让“世界第一次目睹了一个逻辑体系奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推动，推理这种可赞叹胜利，使人类理智取得了为取得以后成就所必须信心。（爱因斯坦语）。第15页第15页几何辉煌之处就在于只用很少公理而得到如此之多结果。它提倡公理化办法，为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系光辉典范。第16页第16页牛顿采用欧几里德公理化办法，把他之前众多物理学家（如哥白尼、伽俐略、开普勒等）研

5、究力学知识排列成逻辑体系，构成一个有机整体。他名著自然哲学数学原理从力学三大运动定律出发，按照数学逻辑推理把力学定理逐一必定地引申出来。第17页第17页About ElementsThe Elements have been studied for over 20 centuries in many languages starting, in its original Greek form, then in Arabic, Latin, and then to modern languages of the present time. 第18页第18页It is also the world

6、s second most popular book, coming only behind the Holy Bible which is extraordi nary considering how many books there are in the world.第19页第19页Greek version(888)Latin Version (1482)第20页第20页English Version第21页第21页第22页第22页“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。第23页第23页有三至三能：似至晦，实

7、至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”。 徐光启几何原本杂议第24页第24页中文版16，由意大利传教士利玛窦口译，明代进士、数学家徐光启执笔，合作译完欧几里得几何原本前6卷，16在北京雕版刊行徐光启亲自写了刻几何原本序，手迹至今犹存。第25页第25页徐光启和利玛窦译几何原本前6卷，乃是东方最早译本(不计阿拉伯文本)。较俄译本(1739)、瑞典文本(1744)、丹麦文本(1745)、波兰文本(1817)都早。第26页第26页徐光启和利玛窦合译几何原本语言通俗，错误很少。其中许多数学译名都是从

8、无到有，边译边创造，并且都十分恰当。第27页第27页“几何”一词选取，其它如点、直线、平行线、角、三角形、四边形、有理数，无理数等都是这个译本首先定下来。这些名词在我国始终沿用至今，并且还影响到日本、朝鲜等邻国。第28页第28页只有少数名词以后有所改动。1857年，清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作续译几何原本后9卷正式刊行。第29页第29页非欧几何非欧几里得几何是一门大数学分支，普通来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同几何学，狭义非欧几何只是指罗氏几何来说，至于通常意义非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。第30页第30页非欧

9、几何长期以来，不少数学家就对第五公设（即平行公设）持保留态度。 若平面上始终线和两直线相交，当同旁两内角之和小于二直角时，则两直线在这一侧延长后一定相交。第31页第31页由于它在陈说和内容上显得复杂和累赘。人们怀疑这条公设是多出，它也许能从其它公设、公理中逻辑地推导出来。第32页第32页并且进一步认为，欧几里得之因此把它当作公设，只是由于他未能给出这一命题证实。因而数学家们纷纷致力于证实第五公设，听说在欧几里得以后两千多年时间里，几乎难以发觉一个没有试证过第五公设大数学家。第33页第33页ProclusDiadochus普罗克洛斯（411485）,Greece John Playfair（17

10、481819）,Scotland Adrien-Marie Legendre（17521833），France第34页第34页但是所有试证第五公设努力均归于失败，在这些失败之中唯一引出正面结果便是一串与第五公设等价命题被发觉。普雷菲尔（John Playfair）公设：“在平面上过直线外一点只能作一条和这直线不相交直线”。第35页第35页“三角形内角和等于两直角”。“存在着相同三角形”等。由于普雷菲尔公设形式最为简明，因此受到普遍采用，现在教科书中也惯用这一叙述形式来替换第五公设。第36页第36页其实，普雷菲尔公设由于包括了平行线存在性，其与其它欧几里得公理、公设并不独立，更确切等价命题应为：

11、“通过不在已知直线上一点，至多可引一条与该已知直线平行直线”（它被希尔伯特公理系统所采用，称为“平行公理”）。第37页第37页在总结前人失败教训基础上，1826年，俄国年轻数学家罗巴切夫斯基（NicolaiLobachevsky）从问题反面考虑，大胆地提出了与前人完全不同信念：第38页第38页首先，他认为第五公设不能以其余几何公理作为前提来进行证实，即第五公设相对于其它公理、公设是独立。另一方面，更进一步，他认为除去第五公设成立欧几里得几何之外，还能够有第五公设不成立新几何系统存在。第39页第39页于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理、公设前提下，引进了一个相反于第五公设公理：“过平面

12、上一已知直线外一点至少能够引两条直线与该已知直线不相交”。第40页第40页这样，罗巴切夫斯基就结构出来了一个新几何系统即罗巴切夫斯基几何系统，它与欧几里得几何系统相并列。第41页第41页以后，人们又证实了这两个部分地互相矛盾几何系统居然是相对相容，亦即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。这样，罗氏几何地位就得到了确立。第42页第42页几乎在罗巴切夫斯基创建非欧几何学同时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什也发觉了第五公设不可证实和非欧几何学存在。鲍耶在研究非欧几何学过程中也遭到了家庭、社会冷漠看待。第43页第43页他父亲数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设是花费精力劳而无功蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶

13、雅诺什坚持为发展新几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他父亲一本著作里，以附录形式发表了研究结果。第44页第44页高斯也发觉第五公设不能证实，并且研究了非欧几何。但是高斯胆怯这种理论会遭到当初教会力量打击和迫害，不敢公开发表自己研究结果，只是在书信中向自己朋友表示了自己见解，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们新理论。第45页第45页Founders of Non-Euclidean Geometry NikolaiIvanovichLobachevsky(1793-1856)RussiaJohann Carl Friedrich Gauss(1777-1855)Germany第46页

14、第46页罗巴切夫斯基俄罗斯数学家，非欧几何早期发觉人之一。罗巴切夫斯基在尝试证实平行公理时发觉以前所有证实都无法逃脱循环论证错误。于是，他作出假定：过直线外一点，能够作无数条直线与已知直线平行。假如这假定被否认，则就证实了平行公理 。第47页第47页 然而，他不但没有能否认这个命题，并且用它同其它欧氏几何中与平行公理无关命题一起展开推论，得到了一个逻辑合理新几何体系非欧几里得几何学，这就是以后人们所说罗氏几何。第48页第48页罗氏几何创建对几何学和整个数学发展起了巨大作用，但一开始并没有引起注重，直到罗巴切夫斯基去世后才逐步被广泛认同。罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就。 第49页

15、第49页匈牙利数学家 鲍耶以一生时间试图证实欧几里德关于平行线不相交第五公设。在格丁根大学学习时成了著名数学家高斯密友，保持通信直到1855年高斯去世。他几乎与科学界完全隔绝，但仍然不倦地研究平行线公理。第50页第50页匈牙利数学家 鲍耶18他把一个证实寄给高斯，高斯指出了其中缺陷，但他还继续研究。 第51页第51页在罗氏几何创建28年以后，1854年黎曼（Georg Riemann，18261866）又建立了另外一个“过直线外一点不能引出与该直线不相交直线”几何新体系黎曼几何。第52页第52页如所知，黎曼几何在爱因斯坦19创建“广义相对论”后，已得到了证实和应用。第53页第53页黎曼第54页

16、第54页“我对于把一切与物理规律结合起来数学研究非常入迷。” 黎曼第55页第55页黎曼德国数学家，对数学分析和微分几何做出了主要奉献，其中一些为广义相对论发展铺平了道路。他名字出现在黎曼函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思绪回环矩阵和黎曼曲面中。第56页第56页他初次登台作了题为“论作为几何基础假设”演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为格丁根大学编外专家，并在1859年狄利克雷去世后成为正专家。第57页第57页1851年，黎曼发表博士论文，以后被称为整个19世纪最主要数学论文。黎曼是狄利克雷（Dirichlet，

17、1805-1859）学生，他在论文中引用了狄利克雷原理。第58页第58页德国数学家 狄利克雷对数论、数学分析和数学物理有突出奉献，是解析数论创始人之一。曾受教于物理学家欧姆、数学家傅里叶影响 。1855年接任高斯在哥廷根大学专家职位。 第59页第59页在分析学方面，他是最早提倡严格化办法数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间一个相应关系当代观点。 在数论方面，他是高斯思想传播者和拓广者。第60页第60页1863年狄利克雷撰写了数论讲义，对高斯划时代著作算术研究作了明晰解释并有创见，使高斯思想得以广泛传播。1837年，他结构了狄利克雷级数。第61页第61页18381839年，他得到拟定二次

18、型 类数公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数阿贝尔群结构。 第62页第62页魏尔斯特拉斯(weierstrass，1815-1897)：“不加证实利用狄利克雷是不恰当，但是有道理，我相信我能够得到这个原理一个证实。”第63页第63页魏尔斯特拉斯他是把严格论证引进分析学一位大师，为分析严密化作出了不可磨灭奉献，是分析算术化运动开创者之一。 第64页第64页他证实了（1860）：任何有界无穷点集，一定存在一个极限点。早在1860年一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一个成功地为微积分奠定理论基础理论。 第65页第65页为

19、了阐明直觉不可靠， 1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院一次讲演中，结构了一个连续函数却处处不可微例子，震惊了整个数学界。这个例子推动了人们去结构更多函数，这样函数在一个区间上连续或处处连续，但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论发展。 第66页第66页早在1842年，魏尔斯特拉斯就有了一致收敛概念，并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分条件。 1885年，魏尔斯特拉斯所证实用多项式任意迫近连续函数定理，是二十世纪一个辽阔研究领域函数结构论，即函数迫近与插值理论出发点之一。 第67页第67页历史条件不具备，黎曼四十岁便去世了，也没能够证实狄利克雷原理。 1853

20、年，庞加莱 ，柯西等当初最有名气几位数学家完全否认了黎曼博士论文。第68页第68页庞加莱、柯西第69页第69页如此美妙而又有广泛应用前景狄利克雷原理已经永远从我们视野中消失了。1899年，希尔伯特：“原理稍加修改以后将会是正确，结论都满足修改后原理。”第70页第70页仅仅增长一个“弱”字，复活了原理与黎曼，这是希尔伯特一生中最主要奉献，直接后果造成泛函分析诞生。马克思有句非常有名话；“倒洗澡水，不要把里面小孩都倒掉。”第71页第71页罗巴切夫斯基几何（也叫双曲几何）与黎曼几何（也叫椭圆几何）这两种几何统称为非欧几何。非欧几何发觉是数学史上一个主要里程碑，而欧氏几何与非欧几何天壤之别，根源仅仅在

21、于一条平行公理不同，这充分显示出公理化方法威力。第72页第72页非欧几何创建大大地增进了几何基础研究进展，也大大地提升了公理化办法信誉，接着便有许多数学家致力于公理化办法研究。第73页第73页18711872年间，德国数学家康托（Cantor）与戴德金（Dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。1882年，德国数学家巴士（Pasch）又拟成了顺序公理。正是在这样基础上，希尔伯特于1899年发表了几何基础一书。第74页第74页他通过引进一些基本概念（基本元素包括点、线、面，基本关系包括结合、顺序、协议），用结合、顺序、协议、平行、连续这5组公理（共20条）来拟定基本概念涵义并进行逻辑演绎，展

22、开几何理论，形成了一个简明、完整、逻辑严谨几何形式化公理系统，从而最后地处理了欧氏几何缺点，完善了几何学公理化办法。第75页第75页不但如此，该书还给出了证实一公理系统相容性、独立性普遍原则，从此公理化办法进入了数学其它各个分支。20世纪以来数学家们以希尔伯特几何公理系统为榜样，努力为各个数学分支建立公理化体系。第76页第76页几乎所有数学和逻辑分支与一些物理学以及其它科学分支，从二十世纪开始，都通过了公理办法分析研究。 富兰克林 第77页第77页David Hilbert (1862-1943)第78页第78页German mathematician who set forth the fi

23、rst rigorous set of geometrical axioms in Foundations of Geometry(1899).He also proved his system to be self-consistent. His many contributions span number theory ， mathematical logic, differential equations, and the three-body problem. He also proved Warings theorem. 第79页第79页At the Paris Internatio

24、nal Congress of 1900, Hilbert proposed 23 outstanding problems in mathematics to whose solutions he thought twentieth century mathematicians should devote themselves. These problems have come to be known as Hilberts problems, and a number still remain unsolved today.第80页第80页“你使得我们所有人，都仅仅在思考你想让我们思考问题

25、”第81页第81页实质公理化（古典公理化）与形式公理化（当代公理化）第82页第82页实质公理化办法 欧几里得公理体系被认为是实质公理系统，也就是说，这种公理体系实质上是对经验知识系统整理。 这种公理体系含有特定对象，公设、公理确实立只是为了刻画这些对象主线特点，或者说，这一公理体系被认为是从属于这些特定对象。第83页第83页正由于如此，研究对象先于公理给出，它是一个“对象公理演绎”系统。其公理含有“自明性”。由于这些对象含有明显直观背景现实空间（因而是“实”或“详细”），从而人们就能够用所谓直观性来作为公理判断依据。第84页第84页形式公理化办法希尔伯特公理体系被认为是形式公理系统，也就是说，

26、公理系统中基本概念只具“形式”而不具“内容”，公理组所阐述是对基本概念要求，而不是基本概念“自明”特性。形式化公理系统反应不只是特定研究对象性质，而是许多含有相同结构对象共同性质。第85页第85页也就是说，不再是由对象决定公理，而是由公理来决定对象。谁能满足公理组所要求条件，谁就能够作为该公理系统基本对象。因此只要满足给定公理，称它们是什么是无关紧要，这正如希尔伯特所说： “我们必定能够用桌子、椅子和啤酒来代替点、线、面”。第86页第86页例子希尔伯特公理体系中结合公理(I3)：每一条直线至少有两个点。其实表示是下列逻辑结构： xL(yp(zp(yz) (yRx) (zRx) 第87页第87页

27、即， 每个L类对象都有两个不同p类对象与之发生R关系。解释：通常意义下直线(L)、点(p)及点在直线上(R)；球面上大圆(L) 、对径点(p) 、对径点在大圆上(R)。第88页第88页正由于如此，在形式化公理系统中，基本概念要求为不加定义原始概念，它不是先于公理而拟定，而是与公理同时出现，其涵义、特性和范围由公理组隐含拟定。并且，对原始概念解释被当作系统之外事，在系统内，它只是作为一个“假设”。第89页第89页即是说，形式化公理系统与实质公理系统不同，是一个“假设演绎”系统。形式公理排除直观默认，其公理也不再含有“自明性”，而只是作为演绎基础“假设”。第90页第90页形式公理系统发展推动了数学

28、基础研究，也造成了数学观深刻改变：数学研究主要并不在于研究对象是什么；而在于对象间关系（逻辑结构和形式）。形式公理化办法使数学理论达到了更高抽象，并扩大了它应用范围。第91页第91页数学公理化办法逻辑特性（或基本问题、基本内容）第92页第92页利用数学公理化办法关键在于如何确立基本概念和公理，这也就是数学公理化办法基本问题或基本内容。基本概念应是最原始、最简朴思想要求。在形式化公理系统里，基本概念是由公理组隐含地定义。第93页第93页公理是对基本概念互相关系要求。它选取和设置必须符合三条要求，即相容性、独立性和完备性，这三个方面构成了公理化办法逻辑特性，这也是判别一个公理系统是否科学合理准则。

29、第94页第94页相容性（或无矛盾性、协调性）相容性是指一个公理系统不能自相矛盾,即该系统中所有公理连同它一切推论在内,不含有任何互相矛盾命题。很显然，这是对公理系统最基本要求，不然，就不含有存在价值。第95页第95页如何证实给定公理系统相容性呢？很显然，想直接通过“由公理组作出所有也许推论并指出其中没有矛盾”这种办法来证实普通来说是很困难。第96页第96页原因很简朴，由于所有也许推论普通是无限，我们很难用穷举办法来逐一验证，而通过大量但却是有限推导没有导出矛盾，并不等于永远推不出矛盾。第97页第97页这种办法只适合于命题项数较少小范围理论系统，如数理逻辑中真值函数公理系统和谓词演算公理系统等。

30、数学上常采用一个间接办法即“解释法”或“模型法”来证实。第98页第98页模型法基本思想结构模型（或解释）基本方法以下：将公理组中每一不定义概念与某一对象集合相对应，而且要求对应于不同概念集合没有公共元素，然后使公理组中基本概念每一关系对应着对应集合元素间某一确定关系，我们把所得集合与关系全体叫做解释域。第99页第99页这样，公理组中每一条公理自然地相应于解释域中某一个命题（或性质）。假如公理组中所有公理在这个解释下命题均为真，那么，我们就把这个解释称为是所给公理体系模型。第100页第100页即能作出，“假如某一公理体系（即原型）是相容，那么另一公理体系也是相容”判断。由于一个公理体系有无矛盾归

31、根结底在于其公理组有无矛盾，而一个公理组无矛盾性可由其模型无矛盾性来确保，不然话，公理组矛盾将会导出模型矛盾。第101页第101页用解释法（或模型法）能够证实一个公理体系相对相容性。解释法实质上是将一个公理系统无矛盾性证实化归为了另一公理系统无矛盾性证实，是一个间接证实。第102页第102页罗氏几何模型自从罗氏几何诞生后，由于罗氏平行公理是如此地为常识所不容，这才激起了人们对于数学系统地无矛盾性证实兴趣和注重。即使在罗氏公理系统展开中始终没有出现矛盾，却不能确保它在此后展开中一定不出矛盾。第103页第103页以后，人们在欧氏几何系统中结构出了一个个罗氏几何模型，在数学史上比较著名模型有：庞加莱

32、模型：第104页第104页在欧氏平面上画一条直线将其分为上下两个半平面，把不包括这条直线在内上半平面作为罗氏平面，其上欧氏点当作罗氏几何点，而上半平面内圆心在该直线上半圆或垂直于该直线半直线算作是罗氏几何直线。第105页第105页庞加莱模型，如图所表示。第106页第106页能够验证，罗氏几何公理在这个模型上都是成立。在这里，我们只朴素地来说一说罗氏平行公理是成立。第107页第107页如图所表示：第108页第108页F.克莱因模型：在欧氏平面内作一个圆，把圆内部（不包括圆周）当作罗氏平面，圆内部点即罗氏点，圆弦算作罗氏几何直线。容易验证，罗氏几何公理都能够在这个模型上用欧氏几何事实加以解释。第1

33、09页第109页这样，通过上述模型就把罗氏几何相容性证实化归为了欧氏几何相容性证实。人们本来对于欧氏几何相容性没有怀疑过，但却由于罗氏几何相容性要由欧氏几何相容性来确保，从而造成对欧氏几何相容性重重疑虑。第110页第110页以后，人们又在罗氏几何展开中发觉，罗氏几何空间中极限球面上也可结构欧氏模型，亦即欧氏几何全部公理能在罗氏几何极限球上实现，这么欧氏几何相容性又可由罗氏几何相容性来确保。这说明，欧氏几何与罗氏几何公理系统即使不同，但却是相对相容或互为相容。第111页第111页人们当然不满足于两者互相之间相对相容性证实，由于看上去较为合理欧氏几何无矛盾性竟要由很不合理罗氏几何来确保。因此，必须

34、重新寻求欧氏几何相容性证实。 第112页第112页由于那时已有理解析几何，等于在实数系统中结构了一个欧氏几何模型，这就把欧氏几何相容性进一步地归结到了实数论相容性。但实数论相容性如何呢？第113页第113页以后，戴德金把实数论德无矛盾性归结到了自然数系统无矛盾性，而Frege又把自然数系统无矛盾性归结为集合论无矛盾性。然而，集合论无矛盾性又如何呢？至今还是个谜。第114页第114页独立性独立性是指在一个公理系统中，公理组中任何一个公理都不能由其它公理推出。独立性亦即要求系统中公理数目减少到最低程度，不允许公理集合中出现多出公理。由于多出公理总能够作为定理推证出来，又何须再把它列为公理呢？ 第1

35、15页第115页换言之，独立性事实上是要求公理系统中每一条都有存在必要性，从而确保公理简练性。公理系统独立性证实能够转化为相容性证实。第116页第116页我们有下述定理：假如一个相容公理系统中某一公理A否认 ，与公理系统中其它公理不矛盾（即相容），当且仅当公理A在该公理系统中是独立。第117页第117页而公理系统相容性能够采用解释法或模型法，因此解释法或模型法同样能够证实公理系统独立性。我们仍以欧氏和罗氏两个几何公理系统为例。第118页第118页如前所述，在欧氏和罗氏两个几何公理系统中，除了欧氏平行公设和罗氏平行公理互为相反之外，其余公设、公理和原始概念均相同。通常人们把两个公理系统公共部分称为绝对几何公理系统。第119页第119页因之，欧氏平行公设在欧氏几何公理系统中是否独立于其它公理之事，无非就是欧氏平行公设能否在绝对几何公理系统中作为定理而证实之。而只要罗氏几何公理系统是无矛盾，就确保了欧氏平行公设对于绝对几何公理系统独立性。第120页第120页不然，若能在绝对几何公理系统中把欧氏平行公设作为定理来证实话，则罗氏几何公理系统便是矛盾系统，由于此时欧氏平行公设和它一个否命题即罗氏平行公理在系统中同时成立。第121页第121页完全类似地，由欧氏几何公理系统无矛盾性也能确保罗氏平行公理对于绝对几何公