数值分析函数逼近市公开课获奖课件

1、第六章 函数迫近1 数据拟合最小二乘法3 函数最佳平方迫近2 正交多项式1第1页第1页 Lagrange插值与最小二乘迫近图像描述2第2页第2页 办法1: 用3次Lagrange插值多项式近似x, y函数关系. 为何要用最小二乘迫近.xiyi24681.12.84.97.2例 给定一组试验数据下列求x, y函数关系. 办法2: 用直线来近似x, y函数关系.3第3页第3页 用直线 y=a0+a1x 来反应x, y之间函数关系.如何选取a0, a1? 才干使直线最好地反应数据点基本趋势? 残差向量 残差4第4页第4页 衡量近似函数好坏原则：残差向量大小(1) 使残差绝对值之和最小, 即 (2)

2、使残差最大绝对值最小, 即 (3) 使残差平方和最小, 即 最佳平方迫近或数据拟合最小二乘法最佳一致迫近5第5页第5页问题: 给定n个数据点 (xi , yi ) (i=1, 2, , n)求直线 y=a0+a1x 使得达到最小. 最小二乘一次多项式拟合1 数据拟合最小二乘法6第6页第6页 令则原问题等价于求a0, a1使F(a0, a1)达到最小. 利用多元函数取极值必要条件得正则方程组7第7页第7页 由上式求得a0, a1, 代入 y=a0+a1x 得到最小二乘拟合(直线)一次多项式.8第8页第8页xiyi24681.12.84.97.2例 给定一组试验数据下列求x, y函数关系.解正则方

3、程组9第9页第9页直线拟合误差很大抛物线拟合效果更加好10第10页第10页问题: 给定n个数据点 (xi , yi ) (i=1, 2, , n)求使得达到最小. 最小二乘二次多项式拟合11第11页第11页 令则原问题等价于求a0, a1 , a2, 使F(a0, a1 , a2 )达到最小.利用多元函数取极值必要条件得12第12页第12页 用 Cholesky分解法求此对称正定阵 用 MATLAB 函数 z = Ar 由上式求得a0, a1, a2, 得到最小二乘拟合二次多项式正则方程组13第13页第13页 最小二乘三次多项式拟合正则方程组14第14页第14页 最小二乘m次多项式拟合 (mn

4、)正则方程组15第15页第15页 指数拟合假如数据点(xi , yi ) (i=1, 2, , n)分布近似指数曲线, 则可考虑用指数函数去拟合数据. 但是这是一个关于a, b非线性模型, 故应通过适当变换, 将其化为线性模型, 然后利用最小二乘法求解. 为此, 对指数函数两端取对数, 得16第16页第16页则数据组(xi , yi ) (i=1, 2, , n)最小二乘拟合指数曲线为这表明(xi , lnyi ) (i=1, 2, , n)分布近似于直线, 求出此数据组最小二乘拟合直线17第17页第17页xiyi例 给定一组试验数据下列求x, y函数关系.1 2 3 4 6 7 82 3 6

5、 7 5 3 2 (1) 作散点分布图点分布近似为抛物线18第18页第18页 (2)拟定近似表示式设拟合曲线为二次多项式 (3) 建立正则方程组19第19页第19页故正则方程组为 (4) 求解正则方程组得故所求拟合曲线为20第20页第20页xiyi例 给定一组试验数据下列求x, y函数关系.1 2 3 4 6 7 82 3 6 7 5 3 2 Matlab解法: polyfit(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 2, 3, 6, 7, 5, 3, 2, 2) ans= -0.3864 3.4318 -1.318221第21页第21页例 测得一发射源发射强度 I 与时间 t 一组数据下列

6、tiIi0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56试用最小二乘法拟定 I 与 t 函数关系. (1)作散点分布图能够考虑用指数函数近似22第22页第22页 列数据表tiIi0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.83.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56lnIi1.1506 0.8671 0.5596 0.2927 0 0.3011 0.5798求lnI与t最小二乘直线. 将上表数据代入正则方程组得其解为故所求拟合曲线为 Matlab解法:polyfit(0.2, 0.3,

7、0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1.1506, 0.8671, 0.5596, 0.2927, 0, -0.3011, -0.5798, 1) ans= -2.8883 1.728323第23页第23页 求数据组最小二乘拟合函数环节 (1) 由给定数据拟定近似函数表示式, 普通可通过描点观测或经验预计得到 (2) 按最小二乘原则拟定表示式中参数, 即由残差平方和最小导出正则方程组, 求解得参数.24第24页第24页 实际问题中, 因为各点观测数据精度或主要性不同, 经常引入加权方差, 即确定参数准则为: 使得最小, 其中i (i=1, 2, , n)为加权系数.25第25页第

8、25页 函数内积设 f (x), g (x)是区间a, b上连续函数, 定义 f 与 g 内积为:2 正交多项式26第26页第26页 函数正交设 f (x), g (x)是区间a, b上连续函数, 若 f 与 g 内积为0, 则称 f 与 g 在区间a, b上正交.27第27页第27页 正交函数系则称此函数系为区间a, b上正交函数系. 尤其地, 若k=1 ( k=0, 1, 2,), 则称其为原则正交函数系28第28页第28页假如正交函数系中函数均为代数多项式, 则称其为正交多项式系. 正交多项式系比如三角函数系就是区间, 上正交函数系.29第29页第29页 区间1, 1上正交多项式系(Le

9、gendre多项式) 普通表示式 详细表示式30第30页第30页 Legendre多项式性质 (2) Legendre多项式满足递推公式31第31页第31页 任意区间上正交多项式系当x在区间a, b上改变时, 令相应 t 在1, 1上改变, 则是区间a, b上正交多项式系.32第32页第32页 0, 1区间上正交多项式系33第33页第33页 最小平方线性多项式迫近3 函数最佳平方迫近 设 f (x)是区间a, b上连续函数, 求线性多项式函数 (x)=a0+a1x 使得,(x)称为函数 f (x)在区间 a, b 上一次最佳平方迫近多项式.即求a0, a1使得34第34页第34页 解法由题意可

10、知, 求 f (x)一次最佳平方多项式等价于求二元函数 F 最小值.由得35第35页第35页化简得或者正则方程组36第36页第36页例 求在0, 1上一次最佳平方迫近多项式解正则方程组为f (x)一次最佳平方迫近多项式为37第37页第37页 二次最佳平方迫近多项式设 f (x)是区间a, b上连续函数, 求二次多项式函数 (x)=a0+a1x+ a2x2 使得, (x)称为函数 f (x)在区间 a, b 上二次最佳平方迫近多项式.38第38页第38页 解法由题意可知, 求 f (x)二次最佳平方多项式等价于求三元函数F最小值由得39第39页第39页化简得或者正则方程组40第40页第40页 m次最佳平方迫近多项式设 f (x)是