引言与函数市公开课获奖课件

1、高等数学数学与信息科学学院第1页第1页第2页第2页第3页第3页引 言一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中转折点是笛卡儿变数.有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 ,微分和积分也就立刻成为必要了,而它们也就立刻产生. 恩格斯第4页第4页给出了几何问题统一笛卡儿 (15961650)法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 .1637年他发表几何学论文分析了几何学与 代数学优缺点,进而提出了 “ 另外 一个包括这两门科学长处而避免其缺点办法”, 从而提出理解析

2、几何学主要思想和办法, 恩格斯把它称为数学中转折点.把几何问题化成代数问题 ,作图法,第5页第5页1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容多元微积分第6页第6页二、如何学习高等数学 ?1. 结识高等数学主要性, 培养浓厚学习兴趣.2. 学数学最好方式是做数学.聪明在于学习 ,天才在于积累.学而优则用 ,学而优则创.由薄到厚 ,由厚到薄.马克思 一门科学,只有当它成功地利用数学时,才干达到真正完善地步 .华罗庚米山国藏：数学知识能够记忆一时，但数学精神、 思想和办法却永远发挥作用，能够

3、受益终身.第7页第7页华罗庚(19101985)我国在国际上享受盛誉数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛数学领域中,程,都作出了卓越奉献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生成长非常关怀, 他提出治学之道是 “ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽,专业要专, 要使自己专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.第8页第8页学习数学办法多看书理解和记忆相关公式和定理勤练习,多解题美国数学家 Halmos 曾经讲过：学习数学最好办法是做数学。第9页第9页 时间： 每七天一、

4、周二、周三、周四 下午18：30 21：00 地点： 文清楼305室辅导答疑第10页第10页1.常量与变量: 在某过程中数值保持不变量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言.通惯用字母a, b, c等表示常量,而数值改变量称为变量.常量与变量表示办法：用字母x, y, t等表示变量.一、函数定义第一节 函数及其表示第11页第11页数集D叫做这个函数定义域因变量自变量第12页第12页定义:假如自变量在定义域内任取一个数值时，相应函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，不然叫与多值函数第13页第13页 (1) 符号函数几种特殊函数举例1-1xyo第14页第14页(2) 取整函数 y=xx表示

5、不超出 最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线第15页第15页有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数第16页第16页(4) 取最值函数yxoyxo第17页第17页在自变量不同改变范围中, 对应法则用不同式子来表示函数,称为分段函数.第18页第18页商定: 定义域是自变量所能取使算式故意义一切实数值.解:例12. 函数定义域第19页第19页例2解故第20页第20页3.区间:是指介于某两个实数之间全体实数.这两个实数叫做区间端点.称为开区间,称为闭区间,第21页第21页称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间第22页第22页

6、4 邻域 定义：以点a为中心任何开区间称为点a邻域, 记作U(a). 设 0, 则称数集 x| |x-a| 为点a 邻域,其中点a称为邻域中心, 称为邻域半径. 通常记为 U(a, )= x| |x-a| = (a-, a+)点a去心邻域:Uo(a, )=x|0|x-a|.。第23页第23页例3解：第24页第24页二、函数特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1函数有界性:第25页第25页2函数单调性:xyo第26页第26页xyo第27页第27页3函数奇偶性:偶函数yxox-x第28页第28页奇函数yxox-x第29页第29页4函数周期性:（通常说周期函数周期是指其最小正周期）.

7、第30页第30页例4解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,第31页第31页三、初等函数1多项式函数函数称为多项式函数。是常数，称为多项式系数.比如：2有理函数称为有理函数。第32页第32页3. 基本初等函数常数函数： y = c (c为常数）幂函数: y x (R是常数); 指数函数: y a x (a0且a1); 对数函数: y loga x (a0且a1), 三角函数: y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x; 反三角函数: y arcsin x, y arccos x, y arctan x,

8、 y arccot x . 第33页第33页四、反函数DWDW 设函数 若对于Y 内任意y, X内都有唯一拟定 x 与之相应，使 则 这个函数称为函数 反函数，记 .本来函数 称为直接函数。习惯上，把 反函数 记作定义 第34页第34页例5 求 反函数.由 y = x3 解得故所求反函数将 x, y 变量互换，得解：阐明：(1) 函数y = f (x) 与它反函数y = f-1(x)图象对称于直线y=x。(2)单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同。第35页第35页 直接函数与反函数图形关于直线 对称.故反函数定义域相应于直接函数值域，而反函数值域就是直接函数定义域。第36页第36页反

9、三角函数简介取定存在反函数,我们引进记号 arc ,由 y = sinx 解得再将 x, y 变量互换，得,函数非单调，注：中x, y取值范围分别为第37页第37页比如，注：第38页第38页取定存在反函数,同理引进记号 arc ,由 y = cosx 解得再将 x, y 变量互换，得,函数非单调，注：中x, y取值范围分别为第39页第39页比如，注：第40页第40页解得其中比如，第41页第41页 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第42页第42页则设有函数链称为由, 拟定复合函数 , u 称为中间变量. 五 复合函数注意: 构成复合函数条件 不可少. 第43页

10、第43页注意1: 不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数。2.复合函数能够由两个以上函数通过复合构成.比如又比如, 函数链 :不能构成复合函数 .可定义复合函数比如,可定义复合函数:第44页第44页解例6第45页第45页2. 复合函数分解：把一个复合函数分成若干个不同层次基本初等函数.比如 可分解成第46页第46页补充例题解第47页第47页总而言之第48页第48页初等函数定义由常数和基本初等函数通过有限次四则运算和有限次函数复合环节所构成并可用一个式子表示函数,称为初等函数.比如 ,可表为故为初等函数.不然称为非初等函数 . 非初等函数举例:第49页第49页有些分段函数是初等函数,比如而有些分段函数不是初等函数,比如第50页第50页函数分类:函数初等函数非初等函数(不能用一个代数式表示分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)第51页第51页六、小结函数概念函数特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数和复合函数初等函数基本初等函数作业 P18 10. 13. 19.(2) (4) (6) 21. 26.