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文档简介

1、试验三求代数方程近似根(解)数学试验第1页第1页 问题背景和实验目试验三、近似求解代数方程 解方程（代数方程）是最常见数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免问题之一。 当前还没有普通解析办法来求解非线性方程，但假如在任意给定精度下，能够解出方程近似解，则能够认为求解问题已基本处理，至少能够满足实际需要。 本试验主要简介一些有效求解方程数值办法：对分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程近似解。第2页第2页相关概念 假如 f(x) 是一次多项式，称上面方程为线性方程；不然称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程第3页第3页 基本思想对分法将有根区间进行对分，

2、判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定精度为止。 合用范围求有根区间内 单根 或 奇重实根。 数学原理：介值定理设 f(x) 在 a, b 上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 使得 f()=0。第4页第4页 详细环节对分法设方程在区间 a,b 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ，若有 |f(x)| ，则 x 就是我们所需要 f(x) 在区间 (a,b) 内 近似根。. .第5页第5页 收敛性分析对分法收敛性设方程根为 x* (ak , bk ) ，又 ，因此0(k )对分法总是收敛 但对分法收敛速度较慢 通惯

3、用来试探实根分布区间， 或给出根一个较为粗糙近似。依据上面算法，我们能够得到一个每次缩小二分之一区间序列 ak , bk ，在 (ak , bk ) 中含有方程根。第6页第6页迭代法 基本思想 结构 f (x) = 0 一个等价方程： 从某个近似根 x0 出发，计算得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, . . (x) 不动点f (x) = 0 x = (x)等价变换f (x) 零点第7页第7页 若 收敛，即 ，假设 (x) 连续，则 收敛性分析迭代法收敛性即注：若得到点列发散，则迭代法失效！第8页第8页 定义：迭代法收敛性判断 定理 2：假如定理 1 条件成立，则有下列预计假如存在 x* 某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使得对 x0 开始迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 定理 1：设 x* =(x*)，某个 邻域 内连续，且对 x 都有 |(x)|q 1, 则对 x0 ，由迭代 xk+1 = (xk) 得到点列都收敛。第9页第9页迭代法收敛性判断 定理 3：已知方程 x =(x)，且(1) 对 xa, b，有 (x)a, b；对 xa, b，有|(x)|q syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x) g=

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