高中数学几类不同增长的函数模型教案新人教A版

1、3.2.1 几类不同增长的函数模型 教学目标：1借助运算器或运算机制作数据表格和函数图像,对几种常见的函数类型的增长情形进行比较,在 实际应用的背景中懂得直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异；2通过对投资方案的挑选,学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导同学充分体验将实际问题“ 数学化” 解决的过程,从而懂得“ 数学建模” 的思想方法解决问题的有效性；3勉励同学收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、 对数函数、 幂函数、 分段函数等） ,体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,从而培育学习数学的爱好；教学重点：将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、

2、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义教学难点 ：如何挑选和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题；技术手段： 运算机帮助教学；教学方法： 启示探究式；教学过程一、创设情境,引入课题（1）先看一张图片,这是什么动物？（2）关于兔子有这样一段故事：1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂密的牧草, 而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加, 不到 100 年,兔子们占据了整个澳大利亚,数量达到 75 亿只（3）请看画面；（4）可爱的兔子变得厌恶起来,75 亿只兔子吃掉了相当于75 亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大

3、大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已,他们采纳各种方法毁灭这些兔子,直至二十世纪五十岁月,科学家采纳载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气（5）一般而言,在抱负条件（食物或养料充分,空间条件充裕,气候相宜,没有敌害等）下,种群在肯定时期内的增长大致符合“J” 型曲线；在有限环境（空间有限,食物有限,有捕食者存在等）中,种群增长到肯定程度后不增长,曲线呈“述后期的增长 . S” 型可用指数函数描述一个种群的前期增长,用对数函数描（6）生活中的增长现象比比皆是,在我们学过的函数中也有很多成增长形状进展的；因此争论不同 增长函数模型是特别必要的；二、组织引导,合

4、作探究例 1假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你挑选,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40 元；10 元；方案二：第一天回报10 元,以后每天比前一天多回报方案三：第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番请问,你会挑选哪种投资方案？【问题 1】挑选正确投资方案的原就是什么？预案一：谁的回报多；（有条件限制吗？回报指的是什么是每天回报仍是总回报）预案二：相同条件下,谁的回报多；（相同条件指的是什么？）答案：从第一天起,相同时间内哪一个方案的累计回报数（总回报数）多,就选哪一个方案；【问题 2】此题中涉及哪些数量关系. 如何利用函数描述这些数量关系. 预案一： 总回报

5、数与天数的关系；设总回报数为y 元,投资天数为x 就方案一： y=40 xx N* ；方案二：y101223LLx2x101x x5x25x；2方案三：y0.4141；请同学课下进一步探究；预案二： 每天回报数与投资天数之间的关系；设第 x 天所得回报是y 元, 就 方案一可用函数y=40 x N* 进行描述 ; 方案二可以用函数y=10 xx N* 进行描述 ; 方案三可以用函数y0.42x1xN*进行描述；【问题 3】你能熟悉一下方案中的三个函数吗？方案一是常数函数；方案二是一次函数；方案三是指数型函数,方案二、三中的函数都是增函数；【问题 4】下面利用这三个函数关系式, 算出每天的回报数

6、,请填写在表一中；x/ 天方案一y/ 元方案二y/ 元方案三y/ 元1 每天回报数每天回报数每天回报数40 10 0.4 2 40 20 0.8 3 40 30 1.6 4 40 40 3.2 5 40 50 6.4 6 40 60 12.8 7 40 70 25.6 8 40 80 51.2 9 40 90 102.4 10 40 100 204.8 30 40 300 214748364.8【问题 5】这三个函数增长速度怎样,通过哪个量来判定这三个函数的增长速度？（通过增加量（增长量）来判定,也就是从其次天起,每一天与前一天的变化量）下面请同学再算一下每一种方案的增加量；x/ 天方案一方案

7、二增加量方案三每天回报数增加量每天回报数每天回报数增加量1 y/ 元y/ 元10 y/ 元40 10 0.4 2 40 0 20 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 30 40 0 300 10 214748364.8107374182.4【问题 6】这三

8、种方案的增加量有何特点？可以看到,方案一、方案二增长量固定不变,而方案三是“ 指数增长”,其“ 增长量” 是成倍增加的,从第 7 天开头,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的；下面再从图象的角度来熟悉一下：（函数图象是分析问题的好帮手,为了便于观看,我们用虚线连接离散的点）我们看到： 底为 2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多【问题 7】从这三种方案每天所得回报看,你能得到什么结论？第 13 天,方案一最多；在第四天,方案一和方案二一样多,方案三最少；在第 58 天,方案二最多；因此,把指数增长也称为指数爆炸；第 9 天以后,方案三比其他两个方

9、案所得回报多得多,到第 30 天,所得回报已超过 2 亿元；【问题 8】依据这里的分析,是否应作这样的挑选：投资 5 天以下选方案一,投资 58 天选方案二,投资 8 天以上选方案三？【问题 9】下面再算一下 三种方案的累计回报,填写在表格中；【问题 10】从累计的回报数看,你会挑选哪种方案？结论： 投资 16 天,应挑选第一种投资方案；投资 7 天,应挑选第一或二种投资方案；投资 810 天,应挑选其次种投资方案；投资 11 天（含 11 天）以上,应挑选第三种投资方案；【问题 11】从上面问题可以看出,几种常见函数的增长情形如下：常数函数一次函数指数型函数保持不变直线上升指数爆炸【问题 1

10、2】解决实际问题的一般步骤是什么？数学化实际问题转化成数学问题 数学问题问 题 解 决数 学 解 答符合实际实际问题结论回到实际问题数学问题结论例 2某公司为了实现 1000 万元利润的目标,预备制定一个勉励销售部门的嘉奖方案：在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行嘉奖,且奖金 y （单位：万元）随销售利润 x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过 5 万元现有三个嘉奖模型：y 0.25 x ,y 1 . 002 x,y log 7 x 1问：其中哪个模型能符合公司的要求？【问题 1】此题涉及到的三个函数都是什么函数？【问题 2】 x 的取值范畴,即函数的定义域是什么？x由于公司总的利

11、润目标为1000 万元,所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润；于是,10,1000；【问题 3】某个嘉奖模型符合公司要求,要满意哪些条件？奖金总数不超过 5 万元,即 0 y 5；【问题 4】结合图象,并通过运算哪个模型的奖金总数不超过 5 万？（1）对于模型 y=0.25x, 它在区间 10,1000 上递增 , 当 x=20 时, y=5,因此,当 x20,1000 时,y5, 因此该模型不符合要求；（ 2）对于模型 y 1.002 x, 由函数图象 , 并利用运算器 , 可知在区间 805,806 内有一个点满意 1.002 x 0 5 , 由于它在 10,1000上递增 , 因此当

12、 x x 时 ,y5, 因此该模型也不符合要求；（3）对于模型 y log 7 x 1 , 它在区间 10,1000 上递增 , 而且当x=1000 时 , ylog 100014.555 , 所以它符合奖金总数不超过5 万元的要求；【问题 5】你对对数型函数模型增长有怎样的熟悉？结论：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；【问题6】请你争论幂函数yxnn0 、指数函数yaxa1、对数函数ylogax a1 在区间0,上的增长差异；三、课堂练习1、四个变量y1,y2,y3,y4随变量 x 变化的数据如下表：关于x 呈指数型函数变化的变量是；四、小结与反思1 、函数是描述客观世界变化

13、规律的基本数学模型 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；2、具分析确利用数函分析争论模体会直指对定据数线数数体函型表图上爆增问数格像题升炸长模型3 、对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律；五、作业 收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速度进行比较,了 解函数模型的广泛应用 . 教学设计说明本节课的内容是人教社一般高中课程标准试验教科书A 版数学必修1 第三章 3.2.1几种不同增长的函数模型（第一课时） ,本节课的重点是将实际问题转化为数学问题,结合实例体会直线直线上升、指数 爆炸、对数增长

14、等不同函数类型增长的含义；难点在于如何挑选和利用不同函数模型增长差异性分析解决 实际问题本课设计的思路是通过“ 澳大利亚兔灾” 的故事引入,一就激发同学爱好,二就让同学初步感知指数增长即 “ 指数爆炸”的含义； 然后组织同学探究投资决策和嘉奖模型两个实际问题,通过挑选变量、建立模型,利用数据表格、函数图象争论模型,体会不同函数模型增长的含义及其差异；结合运算机帮助教学在培育同学才能方面表达如下 1.设立“ 数学探究”、“ 数学建模” 等学习活动,为同学形成积极主动的、多样的学习方式进一步制造有利的条件,以激发同学的数学学习爱好,勉励同学在学习过程中,培育独立摸索、积极探究的习惯； 2. 引导同学自主探究函数模型的差异性、动手制作表格和作图、合作沟通争论、阅读自学等学习数