高中数学必修5第一章解三角形教案学案正弦和余弦定理设计

1、第一章 解三角形本章概览三维目标1把握正、余弦定理,能初步利用这两个定懂得斜三角形；能利用运算器解决有关解斜三 角形的运算问题, 能够利用正、 余弦定理等学问、 方法解决一些与测量以及与几何运算的有关的实际问题；2通过对三角形的边角关系的探究学习,体验数学探究活动的过程,培育探究精神和创新 意识； 在运用正、余弦定懂得决一些实际问题的过程中,逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度,学会用数学的思维方式解决问题、熟悉世界；通过实习作业,体会“ 解三角形在测量中的应用” ,提高应用数学学问解决实际问题的才能和实际操作才能；通过学习和应用,进一步体会数学的科学价值、应用价值,进而领悟数学的人文价值、美

2、学价值,不断提高自身的文化素养,并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美；3通过对正、余弦定理的学习,要求对于三角形的的相关问题的解决能敏捷地依据详细问 题去恰当处理； 总之,有了正、 余弦定理之后, 又给解决三角形的问题供应了一种新的思路,对于详细问题的解决都要详细分析,题；敏捷地运用所学学问去应对实际生活中的各种可能的问4本章中的有关三角形的一些实际问题,往往动笔运算比较复杂,象这样的问题的运算就要求大家能用运算器或电脑来帮忙运算,能依据精确度的需要保留相应的位数；尽管科学技术进展很快, 但必要的运算才能对于一个现代人仍是有必要的,自己的运算速度与精确性,时刻留意锤炼自己的意志力；所以平常

3、大家仍要留意训练5本章学习了正、余弦定理后,对于以后遇到相关三角形的问题时,应当时时留意考虑运用这两个定理去解决相关问题,但与此同时也不能忽视其它方面的学问的应用,否就可能问题不能顺当解决,时时留意前后学问的关联；本章学问网络正弦定理正弦定理的变形解应用举例形式三解三角形余弦定理余弦定理的变形角测量实习形形式1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a b csin A sin B sin C正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理之一；对于正弦定理, 课本第一引导同学回忆任意三角形中

4、有大边对大角,小边对小角的边角关系, 引导同学摸索是否能得到这个边、角关系精确量化表示的问题；由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数；在直角三角形中,边之间的比就是锐角的三角函数；争论特别的直角三角形中的正弦,就很快证明白直角三角形中的正弦定理；分析直角三角形中的正弦定理,考察结论是否适用于锐角三角形,可以发觉 asinB 和 bsinA 实际上表示了锐角三角形边 AB上的高；这样,利用高的两个不同表示,就简洁证明锐角三角形中的正弦定理；钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式, 教科书要求同学自己通过探究来加以证明；明；二、 余

5、弦定理及其证明可以考虑采纳向量的学问来证余弦定理 在一个三角形中, 任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的 2 倍,即2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c 2 bc cos A ；b a c 2 ac cos B ；c a b 2 ab cos C ；余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系,之一；它们是解三角形的两个重要定理由直角三角形三边间的关系,归纳猜想任意三角形的边角间的关系；自己学会探究、 并试着去从理论上去解决；通过这个定理的探究并去从理论上证明,作为一个现代中同学,要把握一些争论事物的方法、要学会学习,善于提出问题,并且试着去解决问题；同样

6、这个定理的证明也是采纳了向量的相关学问很简洁得到解决,向量学问在数学上的一个详细应用,这也表达了数学科学的特点之一：前后学问间联系紧密；这也要求大家能够将前后学问联系起来,而不应当是孤立地来学习某部分学问,而不善于将所学恰当地应用,这也要求大家能够活学活用；当然这两个定理的证明证明方法,自己仍可以考虑采纳比如平面几何学问等其它的方法,以锤炼自己的才能；三、正弦定理和余弦定理的应用正弦定理的应用：1用正弦定懂得三角形是正弦定理的一个直接应用,正弦定理可以用于两类解三角形 的问题：（）已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角；（）已知三角形的两边与其中一边的对角,运算另一边的对角,进而运算

7、出其 他的边和角 . 三角形解的个数一般地,已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b 和 A）,用正弦定理求B 时的各种情形：如 A 为锐角时 : absinA无解,如下图所示：ACaBabsinA一解 直角bsinAab二解 一锐,一钝a3b一解 锐角C已知边 a,b 和ACCbbAbaAbaAaaHBB1HB2Ha baCH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinAab仅有一个解无解仅有一个解有两个解如 A 为直角或钝角时:ab无解ab 一解 锐角余弦定理的应用：利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：（1）已知三边,求各角；（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角；

8、问题与探究【问题 1】正、余弦定理都揭示的是同一个三角形的边角间的关系,有了这两个重要定理后,对于三角形的问题好像有了两把“ 宝剑” ,那么这两把“ 宝剑” 如何恰当地使用呢？【探究 】就这个问题,通常须详细问题而定、视题中所给的条件而定；一般说来,正弦定理常宜解决以下问题： （1）已知两角及一边,求其它元素； （2）已知两边及其中一边的对角,求其它元素；而余弦定理常宜解决以下问题：（3）已知三边,求各角；（4）已知两边及其夹角,求其它元素；由于三角形全等的判定定理有“ 角角边” 、“ 角边角” 、“ 边边边” 、“ 边角边” ,所以以上的（ 1）、（ 3）、（ 4）情形都只有一解,而（2）这

9、样的情形可能有一解、两解或无解；当然这也不是肯定的,有关解三角形的问题,在详细的问题中如何恰当地使用这两个定理,这的确必需视详细问题而定,有时在同一个问题中可能这两个定理要同时使用才能达到目的或者使用其中的任何一个定理都可以达到目的；另外仍应当留意使用方式,是利用定理的原始形式仍是使用相应的某种变形形式,这都是要在详细问题中去详细地分析才行；【问题 2】除了正、余弦定理所给出的同一个三角形的边角间的关系外,是否仍有其它的一些边角关系呢？通过进一步地摸索,由这两个定理仍可以得到在三角形中的怎样一些结论？【探究 】其实这两个定理本身仅揭示的是同一个三角形的基本的边角关系,仍有许多其它的边 角 关

10、系 ； 比 如 , 由 正 弦 定 理 及 其 它 相 关 知 识 仍 可 以 有 这 样 的 一 些 边 角 关 系 ：a b csinA:sinB:sinC ,aAbBcsinAabBcsinC2R,sinsinsinCsinsinAsinBsinC 等；同样由余弦定理也可得到另外一些边角关系,以及把正、余弦定理结合在一起仍可以得到一些新的结论,如：sin2Asin2Bsin2C2sinAsinBcosC ,a2b2c2C是锐角 等；（注：留意这些结论在解决相关问题时可以考虑恰当地选用；）精题精讲【例 1】 在ABC中,如B30,AB2 3,AC2,求ABC的周长；思路解析： 此题是是已知

11、两边及其一边所对的角,要求其周长,自然要考虑去寻求第三边BC ,简洁想到由正弦定理去考虑,先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小,通过分析发觉可以先将角 C 给找出,进而把问题解决；解：由正弦定理得 sin C AB sin B 3；AC 2AB AC , C B ,C 60 或120 ；（1）当 C 60 时,A 90,BC 4,ABC的周长为 6 2 3 ；（2）当 C 120 时,A 30,A B BC AC 2,ABC 的周长为 4 2 3 ；综上,ABC 的周长是 6 2 3 或 4 2 3 ；黑色陷阱：此类问题简洁漏解；在以上的解题目过程中,由 sin C 3简洁简洁地得到2C 6

12、0,从而造成问题解答不全面,产生这样的错误的缘由是对于相关三角函数的学问模糊；【例 2】在ABC中,a b c 分别是A ,B,C 的对边长 , 且cos Ccos B3 ac；b（1）求 sin B ；（2）如b42,且 ac ,求ABC的面积；思路解析： 此题所给已知条件中,即有边又有角, 第一个问题是求其中一内角的正弦,由此简洁想到把已知条件中的边转化为相应的角,的边角之间的关系全部转化为角之间的关系,利用正弦定理、 余弦定理可知, 把已知条件中 从而将问题解决； 其次个问题简洁想到利用三角形相应的面积公式,从而环围着公式去考虑需要些什么条件,打算去查找相应的条件,把问题解决；解 ： （

13、 1 ） 由 正 弦 定 理 得asinA,csinC, 又c o s c o sa 3c,CBibsinBbsinBbcos C3sinAsinC,即sBinCcoAsB3,cosBsinBsinBC3sinAcosB；又sBnCsAin,AssinA3sinAcosB ,cosB1；又 0B,sinB12 cosB2 2；33（2）在ABC 中,由余弦定理得a2c22ac32,又ac ,42 a32,a224,33SABC1b a2b28 2；22绿色通道： 对于此类三角形中的问题解决,通常已知条件中既涉及到边又涉及到角,通常考虑问题有两个方向：一是将全部的边之间的关系转化为角之间的关系；

14、二是将全部的角之间的转化为边之间的关系从而将问题解决；当然这样的问题到底是将边全部转化为角好仍是将角全部转化为边好,这要视详细问题而定,只有对于此类问题作了肯定的练习之后,逐步就会对于此类问题有所方法；【例 3】在 ABC 中,a b c 分别是 A , B , C 的对边长,如 b a cos C c a sin B ,试判定 ABC 的外形；思路解析：此题是依据已知条件判定三角形的外形问题,而已知条件中既涉及到边又涉及角,所以简洁想到借助于正、余弦定理将边、角互化,从而将问题解决；解 ： 由ba c o s C得 ,baa2b2c2a2b2 c22b2a2b22 c, 即2 ab2bb2c

15、22 a ,A90,casinBabb,故ABC 为等腰直角三角形；a绿色通道： 类似此题这样的的问题,判定三角形的外形,经常有两种方式去考虑,一是从边的角度去加以判定,从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判定,从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系；【例 4】已知有 A B 两个小岛相距 21 海里, B 岛在 A 岛的正南方；现在甲船从 A 岛动身,以 9 海里 / 时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6 海里 / 时的速度离开 B 岛向南偏东 60 方向行驶；问行驶多少时间后,两船相距最近？并求出两船的距离；思路解析： 此题是实际生活中的数学问题,如何恰当地应用所学

16、数学学问去解决相关的实际问题, 这也是学数学的真正目的；对于绝大多数同学来说,往往不能很好地去解决这样的实际问题, 这就说明同学的应用意识不强,只会学那些抽象的学问,并不能真正将其应用到生活中去解决问题, 这样的问题同学经常觉得难,这易入手； 另外, 这个问题中涉及到方位角,对于方位角的含义要求同学真正清晰,否就也简洁出错； 此题在解决时同学自己应当能依据题意所述, 画出相应的示意图来,从而帮忙恰当地解决问题；明显随着时间的推移,两船之间的距离要随之而变化,故可以试着去建立以时间为变量的函数关系,从而把问题解决；解 ： 设 行 驶 x 小 时 后, 甲 船 到 达 C 处 , 乙 船 到 达

17、D 处 ； 就C B 2 1 9 x , B D 6 x , C B D 9 0 3 0,由余弦定理得：CD 2 CB 2 BD 2 2 CB BD cos120 CB BD 2CB BD2 2 221 3 x 6 x 21 9 x 9 7 x 2 x 7 3 x 63 x 2 3当 x 2 时, CD 有最小值,最小值为 63 3 3 21 海里；绿色通道： 此题主要是要能够依据题意所述,正确地画出示意图,并能依据题意所述正确列出函数关系式,从而把问题转化为二次函数的最值问题；其次版块基础达标1 在ABC 中,已知A150 ,a3,就其外接圆的半径R（3）B 3,应选 A；A 32 , R

18、R 2D. 不确定ABC中,有aA361思路解析： 由于在sinsin150答案：选 A；2在ABC 中, sinAsinB 是 AB 的（）A充分不必要条件必要不充分条件充要条件 D既不充分也不必要条件2思路解析：由ABabA2RsinA2 sinBsinAsinB （其中 2R 是ABC 的外接圆半径）得知, sinsinB 是 AB 的充要条件,从而得到正确答案；答案：选； （注：此题的结论最好记住,这对于求解三角形中的有关三角函数值的运算很有帮忙；）3在ABC 中,a b c 分别是A ,B,C 的对边长,以下等式恒成立的是（）；B bsinCcsinAA acos CccosAC a

19、bsinCbcsinBD asinCcsinAaAc,asinCcsinA ；3思路解析： 依据正弦定理可知有：sinsinC答案：选D ；4 在ABC 中 ,a b c 分 别 是A ,B,C 的 对 边 长 , 且a b c1:3: 2, 就Ca b csi n A: si n: si n（）；A3 : 2:1B 2:3 :1C 1: 2 :3D 1:3: 24思路解析： 依据正弦定理有：aAbBc, sinA:sinB:sinsinsinsinC答案：选 D ；5在ABC 中,已知三边a6,b7,c8,试判定ABC 的外形；5思路解析： 此题主要涉及到三角形的外形问题,在此可以借助于余弦

20、定理判定好象每个内角是锐角、 钝角仍是直角, 事实上在此只要判定其中的最大内角是怎样的角就可以了（因为这个三角形明显不是等腰三角形）,而要判定它是怎样的角,只要判定其符号如何,即判2 2 2断 a b 与 c 的大小即可；2 2 2解：由题意知 c b a,所以 C 最大, 而 a b 36 49 85 c 64,故内角 C 是锐角,故 ABC为锐角三角形；6在 ABC 中,a b c 分别是 A , B , C 的对边长；已知 a b c 成等比数列,且a 2c 2ac bc ,求 A的大小及 b sin B 的值；c6思路解析： 此题已知条件中所显现的边之间的关系及其形式,简洁联想到余弦定

21、理,从而借助于余弦定理把相应角给找出,进而看后者,然而结合已知条件,看似b,sinB c 不行求,但认真结合正弦定理分析,从整体来看简洁发觉问题能够解决；解：a b c 成等比数列,b2ac ；又a2c2acbc ,b2c2a2bc ；在ABC 中,由余弦定理得cosAb22 ca2bc1,A60；2bc2 bc2在ABC 中 , 由 正 弦 定 理 得sinBbsinA, 又2 ba cA 6 0,absinBb2sin 60sin 603；cca2C 的对边长；求证：a2cb2sinACB；7 在ABC中,a b c 分别是A,B ,2sin7 思路解析： 此题要证的等式中既有边又有角,化

22、为边,从而借助于正、余弦定理把问题解决；同样简洁考虑到要么将边化为角要么将角证明：依据正弦定理知,要证明的等式等价于 sin 2A2 sin 2B sin A B,又留意sin C sin C到 sin C sin A B ,即要证：sin 2 A sin 2 B sin A B sin A B,即证：2 2 2 2 2 2sin A sin B sin A cos B cos A sin B ,即证：2 2 2 2 2 2 2 2sin A 1 cos B sin B 1 cos A ,亦即证：sin A sin B sin B sin A ,而上式明显成立,故 a 22 b 2 sin A

23、 B成立；c sin C8 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25 方向, 从 A动身有一条南偏东 35 走向的大路, 在 C处测得大路上与 C相距 31 千米的B处有一人正沿此大路向 A走去,走 20 千米后到达D处,此时测得 C 、 D 间的距离为 21 千米,求此人所在 D 处距 A 仍有多少千米？8 思路解析： 此题是与实际生活有关的问题,对于这样的问题也是学数学、用数学的一个方面的表达,数学从实际生活中来,又反过来为实际生活服务；此题主要涉及到方位角,对于方位角不要要分清东南西北四个基本方向,然后对于一些方位术语要有清晰的熟悉才行,否就就简洁出错；解 ： 由 题 意 知 ,CAD6

24、0,cosBBD2BC2CD222 3120221223,2BD BC2 312031sinB123；在ABC中,ACBC s i n 24sin A；由余弦定理得31BC2AC2AB22AC ABcosA即312AB2242AB24 cos60,AB224AB3850,AB35或11（舍）；故ADABBD15（千米）,此人所在 D 处距 A 仍有 15 千米；9. 在ABC 中 ,a b c 分 别 是A,B,C 的 对 边 长 , 已 知a22 cb2bc , 且a c31 : 2,求内角 C 的大小；B 求出 , 再由其次个9.思路解析： 此题由第一个条件简洁想到应用余弦定理从而可以将角

25、条件简洁想到从正弦定理动身,利用相关的边角关系将问题解决；解：由a2c2b22accosBac 得cosB1,B60；31,C2由a c31 : 2得sinA: sinC31 : 2sinACsinsin 18060Csin 120sin120 cosCcos120 sinC2即3cosC3sinC0,sinCcosC , tanC1,C45；22综合进展10我缉私巡逻艇在一小岛南50 西,距小岛12 海里的 B 处,发觉隐匿在小岛边上的一走私船正向岛北 10 西方向行驶,测得其速度为10 海里 / 时,试问我巡逻艇必需用多大的速度朝什么方向航行才能恰好在两小时后截获走私船？（参考数据：sin

26、 380.62 ）10思路解析： 此题来源于实际生活,涉及到方位角, 所以象这样的题目最好先依据题意画出相应的示意图, 以帮忙问题正确解决；对于题中所涉及的方位角,这就要求同学对于基本的方位肯定要清晰,否就就会在解决问题的过程中显现问题,从而导致出错；解 ； 设 我 巡 逻 艇 恰 在 C 处 截 获 走 私 船 , 我 巡 逻 艇 的 航 行 速 度 为 v 海 里 / 时 , 就BC2 , v AC20； 依 题 意 ,BAC1805010120, 由 余 弦 定 理 得BC2AB2AC22AB ACcos120,BC2784,BC282 v ,v14；又由正弦定理得sinABCACsin

27、BAC202830.62,ABC38,从而易知,我2BC巡逻艇必需用14 海里 / 时的速度向北 12 东的方向航行；11在一很大的湖岸边（可视湖岸为始终线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮起跑,其方向与湖岸成 15 ,速度为 2.5 千米 / 时,同时岸边有一人,从同一地点开头追赶小船,已知他在岸上跑的速度为4 千米 / 时；试问此人能否追上小船？如小船速度转变,就小船能被人追上的最大速度是多少？11思路解析： 此题是从实际生活中抽象出来的数学问题,要求同学依据已知条件画出其示意图来,以帮忙摸索、解决问题；另外仍要求同学能将生活语言恰当地转化为数学语言,要求人能追上小船这样的生活

28、语言,这样的要求反映在数学上又是什么意思,这些都要求同学能正确地转化；解：设小船的速度为 v 千米 / 时,明显当 v 4 时,人不行能追上小船；当 0 v 2 时,人不必在岸上跑, 而只要立刻从同一地点直接下水就可以追上小船,因此只要考虑 2 v 4 的情形, 由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段后再游水追逐,当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上小船；设人追上小船所用时间为 t 小时,其中人在岸上跑的时间为 kt 0 k 1,就人在水中游的时间为 1 k t 小时,人要追上小船,就人船的运动路线必构成一个三角形；OA 4 ,

29、 kt AB 2 1 k t OB vt ,由余弦定理得2 2 2AB OA OB 2 OA OB cos15,即 4 1 k 2t 24 kt 2vt 22 4 kt vt 6 2,整理得42 212 k 2 6 2 v 8 k v 4 0,要使这个关于 k的一元二次方程在 0,1内有实数解,就必需有：0 v 241 且 2 6 2 v 8 24 12 v 2 4 0,由12此解得 2 v 2 2,即 v max 2 2；故当船速在 2,2 2 时,人船运动路线可构成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的最大速度为 2 2 千米 / 时,由此可见当船速为探究创新2.5 千米 / 时时,人能追

30、上小船；12已知有两座城市A B ,依据你所学过的学问,试给出城市 C ,使三点A B C 恰好构成以 AB 为斜边的直角三角形的多种条件；12思路解析： 这个问题是从实际生活中所抽象出来的,只要能恰当地将其数学化,充分地利用所学数学学问,不难发觉要给出访ABC为以AB为斜边的直角三角形的条件许多；可以从以前所学的勾股定理的逆定理来考虑,也可以从这里学过的正、余弦定理来考虑,使得它为以 AB 为斜边的直角三角形的条件是多种多样的；解：下面仅列出一部分可以使ABC 为以 AB 为斜边的直角三角形的条件：（注：记a b c分别是A ,B,C 的对边长）（1）AB2；（2）a2b22 c ；（3） cosAb或 cos Ba；（4） sinAa或 sinBb；cccc（5） tanAa或 tanBb；（6）sin2Asin2Bsin2