高中数学必修5知识点总结归纳2

1、高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 高中数学必修五学问点汇总第一章 解三角形一、学问点总结正弦定理 : 1正弦定理 : a b c 2 R R为三角形外接圆半径 . sin A sin B sin C步骤 1. 证明：在锐角ABC中,设 BC=a,AC=b,AB=c；作 CHAB垂足为点 H CH=a sinB CH=b sinA asinB=b sinA 得 到 a b同 理 , 在 ABCsin a sin b中,c bsin c sin b步骤 2. 证明：a b c 2 Rsin A sin B sin C如图,任意三角形 ABC,作 ABC外接圆 O. 作直径 BD交 O于

2、D. 连接 DA. 因 为 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 , 所 以 DAB=90Ab,sinCsinc；R由于同弧所对的圆周角相等, 所以 D等于 C. 所以sinDcsinC2R故aAbBcC2Rsinsinsin2. 正弦定理的一些变式：i a b csinAsinBsinC ；iisinAa,sinB2R2R2Riii a2 sinA b2RsinB b2 RsinC ；（4）sinabcC2sinB3两类正弦定懂得三角形的问题：（1）已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角,求其他边角 4. 在 ABC 中,已知 a,b 及 A时,解得情

3、形：解法一：利用正弦定理运算. （可能有一解,两解,无解）解法二：分析三角形解的情形,可用余弦定理做,已知a2a,b 和角 A,就由余弦定理得即可得出关于 c 的方程：c22 bcosAcb20分析该方程的解的情形即三角形解的情形 =0, 就三角形有一解 0 就三角形有两解 0 就三角形无解 余弦定理 : 第 1 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 a2b2c22 bccosA1余弦定理：b2a2c22 accosBc22 ba22 bacos CcosAb 2c2a22 bc2. 推论：cosB2 ac2b2. 2 accos C2 ba2c22 ab设 a 、 b、

4、 c 是C 的角、 C 的对边,就：如a2b22 c ,就C90o；如a2b22 c ,就C90o；如a2b22 c ,就C90o3. 两类余弦定懂得三角形的问题： （1）已知三边求三角 . 面积公式 : （2）已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.已知三角形的三边为a,b,c, 1.S1 2ah a1 2absinC1 2r abc （其中 r 为三角形内切圆半径）2. 设p1abc,Sp pa pbpc 海伦公式 2例：已知三角形的三边为a、b、c,设p1abc ,求证：2（1）三角形的面积Sp papb pc；（2） r 为三角形的内切圆半径,就rpappbpc（3）把边 BC、CA

5、、AB上的高分别记为h a、hb、hc,就ha2ppapbpcahb2ppa pbpc bhc2ppa pbpcc证明：（1）依据余弦定理的推论：cosCa2b2c22 ab由同角三角函数之间的关系,sinC12 cosC1a2b22 c22ab第 2 页 共 24 页记p代入S高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 pb ,1 2abcpc1absinC ,得2S1ab1a2b2c221 2ab22ab12ab2a2b2c22412aba2b22 c2aba2b2c241abc abc cabcab4c ,就可得到1 2bcapa ,1 2cab代入可证得公式（2）三角形的面积S与三角形

6、内切圆半径r 之间有关系式S12prpr2其中p1 2abc ,所以rSpapbpc pp注：连接圆心和三角形三个顶点,构成三个小三角形,就大三角形的面积就是三个小三角形面积的和故得：S1ar1br1crpra,即haa2pp ppapapa 222S1ah a（3）依据三角形面积公式2所以,h a2S2p papapaaa同理h b2p papapa,ch2 cp paab【三角形中的常见结论】（1）ABC2 sinABsinC,cosABcosC tanABtanC,csinC;sin2 A2sinAcosA,sinA2BcosC,cosA2B22（3）如ABCabsinAsinBsinC

7、如sinAsinBsinCabcABC（大边对大角,小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60 ,最小角小于等于 606锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. 钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）ABC 中, A,B,C 成等差数列的充要条件是B60. 第 3 页 共 24 页8 高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 ABC 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且a,b,c 成等比数列 .二、题型汇总 : 题型 1: 判定三角形外形判定三角形的类型（1）利用

8、三角形的边角关系判定三角形的外形边角转化,统一成边的形式或角的形式 . : 判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现（2）在ABC 中,由余弦定理可知 :a a a2b 22bb 2c c c2 22cA 是直角A 是钝角A 是锐角cABC是直角三角形ABC外形. 2ABC是钝角三角形2ABC是锐角三角形（留意：A 是锐角ABC是锐角三角形 ）2. ab3ab,试判定3 如sin2Asin2B,就 A=B或AB例 1. 在ABC中,c2 bcosA,且ba题型 2: 解三角形及求面积一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 a,b,c,叫做三角形的元素 . 已知三角形的几个元素求其他元素

9、的过程叫做解三角形 . 的值例 2. 在ABC 中,a1,b3,A300,求b,c,已知c2,C3例 3. 在 ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a（）如ABC 的面积等于3 ,求 a,bABC 的面积（）如2sin2A,求sinCsinBA题型 3: 证明等式成立证明等式成立的方法： （1）左右,（2）右左,（3）左右相互推 . 第 4 页 共 24 页例 4. 已知ABC 中,角A ,高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 bcos CccosB. B,C的对边分别为a,b ,c,求证：a题型 4: 解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例 5如下列图,

10、货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140 的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为110 ,航行半小时到达 C点观测灯塔 A 的方位角是 65 ,就货轮到达 C点时,与灯塔 A 的距离是多少？三、解三角形的应用1. 坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角, 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度,用 i 表示,依据定义可知：坡度是坡角的正切,即itan. hl2. 俯角和仰角：如下列图,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角 .

11、 第 5 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为. 注：仰角、俯角、方位角的区分是：三者的参照不同；仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的；4. 方向角：相对于某一正方向的水平角 . 5. 视角：由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角第 6 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 其次章 数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地,按肯定次序排列成一列数叫做 数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 项,数列的一般形式可以写成 a a 2 , a 3

12、 , L , a n , L ,简记为数列 a n,其中第一项 1a 也成为 首项；a 是数列的第 n 项,也叫做数列的 通项 . 数列可看作是定义域为正整数集N （或它的子集）的函数,当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列 . 2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列 ：数列中的项为有限个,即项数有限；（2） 无穷数列 ：数列中的项为无限个,即项数无限 . 3、通项公式：假如数列a n的第 n 项a 与项数 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n. fn ,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 ,数列的通项公式就是相应函数的解析式4、数列的函数特点：一

13、般地,一个数列a n,a n1a ,那么这个数列叫做 递增数列 ; 假如从其次项起,每一项都大于它前面的一项,即假如从其次项起,每一项都小于它前面的一项,即a n1a ,那么这个数列叫做 递减数列 ; 假如数列a n的各项都相等,那么这个数列叫做常数列 . 5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做 递推公式 二、等差数列 1、等差数列的概念：假如一个数列从其次项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数 列,这个常数叫做等差数列的公差 . 即 a n 1 a n d （常数）,这也是证明或判定一个数列是否为等差数列的依据 . 第 7 页

14、 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 2、等差数列的通项公式：设等差数列a n的首项为a ,公差为 d ,就通项公式为：1a na 1n1da mnm d,n、mN. 3、等差中项：（1）如 a、 、 成等差数列,就 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且A =a2b; （2）如数列a n为等差数列,就an,an1,an2成等差数列,即an1是a 与a n2的等差中项,且a n1=a nan2；反之如数列a n满意an1=anan2,就数列a n是等差数列 . 224、等差数列的性质：（1）等差数列a n中,如mnpq m、 、 、qN,就a manapa ,如 qm1n.2

15、p,就a ma n2 a ；（2）如数列a n和b n均为等差数列,就数列anb n也为等差数列；（3）等差数列a n的公差为 d ,就d0a n为递增数列,d0a n为递减数列,d0a n为常数列 . 5、等差数列的前n 项和S ：（1）数列a n的前 n 项和S =a 1a 2a 3La n1a n,nN；（2）数列a n的通项与前 n 项和S 的关系：a nS nS n1,12.S nnd（3）设等差数列a n的首项为a 公差为 d ,就前 n 项和S n=n a1anna1n n226、等差数列前 n 和的性质：（1）等差数列a n中,连续 m项的和仍组成等差数列, 即a 1a2Lam

16、,am1am2La2m,a 2m1a 2m2La 3m, 仍为等差数列（即S m,S 2mS m,S 3mS 2m, L 成等差数列）；S 可看作关a n的前 n 项和S n=na1n n1d=dn2a 1dn 当d0时,（2）等差数列222于 n 的二次函数,且不含常数项；第 8 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 S 2n1（3）如等差数列a n共有 2n+1（奇数）项,就S 奇S 偶=a n1中间项 且S 奇=nn1,S 偶如等差数列a n共有 2n（偶数）项,就S 偶S 奇=nd 且S 偶=a n1.S 奇a n（4）等差数列 anb n的前 n 项和为S n,

17、T n 为奇数）,就a na 1a 2n1n a 1a 2n12 b 22 b 2nb nb 1n1n b 11T 2n122（5）在等差数列 an中.S =a,S mb ,就S n mnmab ,nm特殊地,当S nS 时,S n m0,当S =m,S =n 时S nmnm （6）如S 为等差数列 an的前 n 项和,就数列 S n也为等差数列 . n7、等差数列前 n 项和S 的最值问题：设等差数列a n的首项为a 公差为 d ,就（1）a 10且d0（即首正递减）时,S 有最大值且S 的最大值为全部非负数项之和；（2）a 10且d0（即首负递增）时,S 有最小值且S 的最小值为全部非正数

18、项之和. 三、等比数列 1、等比数列的概念：假如一个数列从其次项起,每一项与前一项的比是同一个不为零的常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示（q.0）. 即an1q q 为非零常数,这也是证明或判定一个数列是否为等比数列的依据a n2、等比数列的通项公式：a n设 等 比 数 列a n的 首 项 为1a, 公 比 为q, 就 通 项 公 式 为 ：a qn1a qn m,nm n、mN. 3、等比中项：（1）如 a、 、 成等比数列,就 A 叫做 a 与 b 的等比中项,且A 2=ab ; 2的等比中项,且（2）如数列a n为等比数列,就an,an

19、1,an2成等比数列,即an1是a 与a n2 a n1=a na n2；反之如数列a n满意2 a n1= a na n2,就数列a n是等比数列 .第 9 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 4、等比数列的性质：（1）如数列 a n, nb为等比数列,就数列1, k a n,an2,a 2n1,a b nan kanb n为非零常数 均为等比数列 .（2）等比数列 a n 中,如 m n p q m、 、 、q N , 就 a m a n a p a ,如 m n 2 p,就a m a n a ；2p（3）如数列 a n 和 b n 均为等比数列,就数列 a n b

20、 n 也为等比数列；（4）等比数列 a n 的首项为 a ,公比为 q ,就 1a 1 0或 a 1 0a n 为递增数列,a 1 0或 a 1 0a n 为递减数列,q 1 0 q 1 0 q 1 q 1q 1 a n 为常数列 . 5、等比数列的前 n 项和：（1）数列 a n 的前 n 项和 S = a 1 a 2 a 3 L a n 1 a n , n N；S n 1（2）数列 a n 的通项与前 n 项和 S 的关系：a n .S n S n 1 , n 2na q 1 1（3）设等比数列 a n 的首项为 a ,公比为 1 q q 0,就 S n a 1 1 q n ., q 11

21、 q由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知,已知 a q n a n , S 中任意三个,便可建立方程组求出另外两个 . 6、等比数列的前n 项和性质：0,就mam2La 2m,设等比数列a n中,首项为a ,公比为q q（1）连续 m项的和仍组成等比数列,即a 1a2La m,a m1a 2m1a 2m2La 3m, 仍为等比数列（即S m,S 2mS m,S 3mS 2, L 成等差数列）；（2）当q1时,S na 11qn1a 1q1n qa 1a 1n qa 11qna 111q1q1qqq设a11t,就S ntqnt . q第 10 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳

22、 人教版最全 四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地,把数列的如干连续项之间的关系叫做递推关系,把表达递推关系式子叫做递推公式,而把由递推公式和初始条件给出数列叫做递推数列 . 2、两个恒等式：对于任意的数列a n恒有：La2an1a 4a 3LNanan1（1）a na 1a 2a 1a 3（2）ana 1a2a3a4,a n0,na 1a2a3a n3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知 S （即 a 1 a 2 L a n f n ）求 a ,用作差法：a n SS 1n , nS n 11 , n 2类型二（累加法）：已知：数列 a n 的首项 a

23、 , 且 a n 1 a n f n , n N,求 通项 a n . 给递推公式 a n 1 a n f n , n N 中的 n 依次取 1,2,3 , ,n-1, 可得到下面 n-1 个式子：a 2 a 1 f 1 , a 3 a 2 f 2 , a 4 a 3 f 3 , L , a n a n 1 f n 1 .利用公式 a n a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 L a n a n 1 可得：a n a 1 f 1 f 2 f 3 L f n 1 .类型三（累乘法）：已知：数列 a n 的首项 a , 且 a n 1 f n , n N,求 通项 a n . a

24、 n给递推公式 a n 1 f n , n N 中的 n 一次取 1,2,3 , , n-1, 可得到下面 n-1 个式子：a na 2 f 1 , a 3 f 2 , a 4 f 3 , L , a n f n 1 .a 1 a 2 a 3 a n 1利用公式 a n a 1 a 2 a 3 a 4 L a n , a n 0, n N 可得：a 1 a 2 a 3 a n 1a n a 1 f 1 f 2 f 3 L f n 1 .类型四（构造法） ：形如 a n 1 pa n q、a n 1 pa n q n（k , b , p , q 为常数）的递推数列都可以第 11 页 共 24 页

25、高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 ,其中t1qp,再利用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后 ,再求a ；an 1panq解法 ：把原递推公式转化为：a n1tp a nt用换元法转化为等比数列求解；an1panqn解法 ：该类型较要复杂一些；一般地,要先在原递推公式两边同除1an. 以qn1,得：an1p.an1引入帮助数列b n（其中bna n）,得：b n1pbnqn1qnqnqqqq再应用an 1panq的方法解决；通项类型五（倒数法）：已知：数列a n的首项a , 且 1an1panr,r0,nN,求qana n1panra11qannra11rnq11r1qqannpa

26、npapanp anp设b n1,就b n1a11.b n1rb nq p,a nnp如rp 就b n1b nqb n1b n=q,即数列nb是以q p为公差的等差数列 . pp如rp 就b n1rb nq p（转换成类型四 ）.p五、数列常用求和方法 第一类：公式法 利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法；1、等差数列的前 n 项和公式S nna12anna 1nn21 d2、等比数列的前 n 项和公式S nna1qq1 a 1anqq1 a 1 1n1q1q3、常用几个数列的求和公式（1）、S nkn1k123n1n n12第 12 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总

27、结归纳 人教版最全 （2）、S nkn1k22 12232n21nn1 2n16（3）、S nkn1k33 12333n31nn1 22其次类：乘公比错项相减（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列anb n或a n的前 n 项和,其中a n,b n分别是等差数列和等比数列；b n例：求数列nqn1 q 为常数 的前 n 项和；解：、如 q =0, 就S =0 、如 q =1,就Sn123n1n n1 2、如 q 0 且 q 1,就S n12 q3q2nqn13qn1nqnqSnq2q2 3q3nqn式式： 1qSn1qq2qnqn1S n11q

28、1qq2q3qnSn11q1qnnqn1qS n1qn2nqn1q1q0 且q10q0 综上所述：S n1nn1 q1 21qn2nqnq 1q1q第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用；裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最 终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式,如：第 13 页 共 24 页高中数学必修 5 学问点总结归纳 人教版最全 （1）、an 1 1 1n n 1 n n 12（2）、an 2 n 1 1 1 1 2 n 1 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1（3）、an 1 1 1 1 n n 1 n 2

29、2 n n 1 n 1 n 2 （4）、a n n 2 1n 2 n 1 n 1n 1n 1 1n , 就 S n 1 1nn n 1 2 n n 1 2 n 2 n 1 2 n 1 22、根式形式,如：a n 1 n 1 nn 1 n例：求数列 1,1,1, ,1, 的前 n 项和 S n1 3 2 4 3 5 n n 2 解：由于：1 = 1 1 1）n n 2 2 n n 2就：Sn 1 1 1 1 1 1 12 3 2 4 n n 2Sn 1 1 1 1 1 2 2 n 1 n 23 1 1Sn4 2 n 2 2 n 4第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法,就

30、是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 a 1 a n ；例：如函数 f x 对任意 x R 都有 f x f 1 x 2；（1）a n f 0 f 1 f 2 f n 1 f 1 ,数列 a n 是等差数列吗？是证明你的n n n结论；（2）求数列 1 的的前 n 项和 T ；a n a n 1解：（1）、a n f 0 f 1 f 2 f n 1 f 1（倒序相加）n n nn 1 n 2 1a n f 1 f f f f 0 n n n1 n 1 2 n 21 0 1n n n n第 14 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 就,由

31、条件：对任意xR都有fxf1x2；2a n2222（n1）a nn1a n1n2an1an1从而：数列a n是a12,d1的等差数列；（2）、an1n1n1n2n11n12a1 nT =213314415（n1n2 1）T =1111n11n121n12334222n4故：T =2nn4第五类：分组求和法（等差+等比）有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可；例：求数列 n 11 +n2n1 的前 n 项和S nan1b n322n2n1n解：令an11b nn2n1nnS na 1b 1a2b 2a3b

32、 3S na 1a 2a31an b 1b 2b32bnS n 11111n1 1122233nS n 1n1 1 12n2n22322nn2n1令T n1223222 Tn2222323n2nn1222232式式：12 Tn1nT n 1222232n1n2n第 15 页 共 24 页T n12n2n2n高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 12n1T nn1 故：S n1n11n1 2n12n11n12n第六类：拆项求和法在这类方法中,我们先争论通项,通项可以分解成几个等差或等比数列和或差形式,再代入公式求和；例：求数列 9,99,999,的前 n 项和S nan10n1分析：此数列

33、也既不是等差数列也不是等比数列启示同学先归纳出通项公式可转化为一个等比数列与一个常数列；分别求和后再相加；解：由于：an10 n11 1 10n1就：S n99999S n1011 1021 103S n10110210310n 111 S n1010n10n110Sn10n110n9例 8：S =112131n12482n11（等差 +等比,利用公式求和）解：由于：ann1n12n2n就：S =123n 112482n=1n n11 1 1 21n2212=1n n111n22第 16 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 第三章 不等式一不等式的性质 ：bd （如1同

34、向不等式可以相加；异向不等式可以相减：如ab cd ,就 acab cd ,就 acbd ）,但异向不等式不行以相加；同向不等式不行以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,但不能相除； 异向不等式可以相除 ,但不能相乘：如ab0,cd0,就 acbd （如ab0,0cd ,就a cb）；nanb ；d3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：如ab0,就ann b 或4如ab0, ab ,就1 a1；如ab0, ab ,就1 a1；bb例（ 1）对于实数a,b,c中,给出以下命题：bc2,就ab；如ab,就ac2bc2；如ac2b0 就11；如ab0,就a2abb2；如a0；ab如ab

35、0,就ba；如ab,0就ab；abb,11,就a0,b 如 c a b 0 , 就 ac其中正确的命题是 _ acbb；如aab（答：）；（2）已知1xy1, 1xy3,就 3xy 的取值范畴是 _ 3xy7）；（答： 1二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7查找中间量或放缩法；8图象法；其中比较法（作差、作商）是最基本的方法；例（ 1）已知ab0,m0,试比较bm与b 的大小 aam答：bmbabamabbmm abamaaam aam a

36、b0 ,m0,ab0,am0m ab0bmbaam ama从而得到结论,糖水加糖甜更甜；（t（2）设a0 且a1 ,t0,比较t1loga和logat21的大小a1时,1 2logatlogat212（答：当 a 1 时,121 时取等号）；logatloga21（t1时取等号）；当 0第 17 页 共 24 页当x高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 log x3 2logx2；（3）设a2,paa12,q2a24a2,试比较p, 的大小a1（答：pa22224,q2a24a24, 故 pq ）；2（4）比较 1+log x3与2logx2x0 且x1 的大小（答：当 0 x1 或x4

37、时, 1+log x3 2logx2；当1x4时, 1+334时, 1+log x3 2logx2）3（5）比较312与10 的大小（答：提示：31232,3221020）三利用重要不等式求函数最值 最小 ” 这 17 字方针；例（1）以下命题中正确选项时,你是否留意到：“ 一正二定三相等,和定积最大,积定和 A、yx1的最小值是 2 12y22y（答： C）；x B、yx1 的最大值是 2 x C、y23x4x0的最大值是 24 3x D、y23x4x0的最小值是 24 3x（2）如x2y1,就 2x4y 的最小值是 _ （3）正数222 2 ）；（答：提示：2,x y 满意x2y1,就11

38、的最小值为 _ xy（答： 32 2 ）；四常用不等式有：（1）a22b2a2bab1 a21 b 依据目标不等式左右的运算结构选用 ；）（2）a、b、cR,a2b2c2abbcca （当且仅当 abc时,取等号）；（3）如ab0,m0,就b abm（糖水的浓度问题）；am例 假如正数a、b满意abab3,就ab的取值范畴是 _ （答：提示：ab2ab,abab3 ,ab2ab39,五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与 比较法的步骤是：作差（商）后 1 的大小,然后作出结论； . 常用的放缩技巧有：1n1111111n111nn

39、nn2n nn第 18 页 共 24 页k1kk1k高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 11kk112kk1k六、不等式的解法 1、不等式的同解原理：原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,所得不等式与原不等式是 同解不等式；原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式,所得不等式与 原不等式是同解不等式；原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式,并把不等式改 变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式；2、一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程根,是对应二次函数图像与 x 轴交点的横坐 标

40、；二次函数（）的图象有两相异实根 有两相等实根 无实根留意：（1）一元二次方程ax2bxcy0a20的两根x 1,x 是相应的不等式ax2bxc0a0的解集的端点的取值,是抛物线axbxc a0与 x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正,假如不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质 转化为二次项系数为正的形式,然后争论解决； 3（ 3 ） 解 集 分0,0,0 三 种 情 况 , 得 到 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0与ax2bxc0a0的解集；、简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；

41、（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一第 19 页 共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 点画曲线；并留意 奇穿过偶弹回 ；（3）依据曲线显现f x 的符号变化规律,写出不等式的解集；0,再通,最终例 （1）解不等式x1x220；（2）解不等式x1 2x1 x2x40（3）解不等式x2x1 2x1 3x204、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母；fx0fxg x0;fx0fxg x00.g

42、xg xg xfx0fxg x0;fx0fxg x00.g xg xg x例 解不等式 2 5 xx 2 x 35、肯定值不等式的解法 ：1）：（答： 1,1U2,3）；（1）分段争论法（ 最终结果应取各段的并集例 解不等式 | 2 3x | 24（2）利用肯定值的定义；|x1|（答： xR）；2例 解不等式axbc（答：caxbc）；（3）数形结合；例 解不等式 | x | | x 1| 3（答： , 1 U 2, ）；（4）两边平方：例 如不等式 | 3 x 2| | 2 x a 对 x R恒成立,就实数 a的取值范畴为 _；（答： 4）36、含参不等式的解法 ：求解的通法是“ 定义域为前

43、提, 函数增减性为基础, 分类争论是关键”留意解完之后要写上： “ 综上,原不等式的解集是 ”；留意 ：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论,最终应求并集 .例（1）如 log a 2 1,就 a 的取值范畴是 _ 3（答：a 1 或 0 a 2）；32（2）解不等式 ax x a R ax 1（答：a 0 时, x | x 0；a 0 时, x x 1 或 x 0；a 0 时, x | 1x 0 或 x 0）；a a提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；第 20 页

44、共 24 页高中数学必修5 学问点总结归纳 人教版最全 7、指数、对数不等式的解法：（1）afxfag xaa1fxg x;g x0;afxag x0a1 afxg xlogxlogg x1fx（2）alogafxlogag x 0a10fxg x七、基本不等式1、基本不等式：如 a 0,b 0,就 a b ab ,当且仅当 a b时,等号成立2a b 称为正数 a 、 b 的算术平均数,ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数22变形应用：ab a ba 0, b 0,当且仅当 a b时,等号成立22、基本不等式推广形式：2 2假如 a b R ,就 a ba b ab 2,当且仅当 a b

45、 时,等号成立2 2 1 1a b3、基本不等式的应用：设 x 、 y 都为正数,就有：2如 x y s （和为定值）,就当 x y 时,积 xy 取得最大值 s 4如 xy p （积为定值）,就当 x y 时,和 x y 取得最小值 2 p 留意 ：在应用的时候,必需留意“4、常用不等式：一正二定三相等 ” 三个条件同时成立；如 、bR , 就a22 b2 ab2 ab； 2a2b2|ab2八、含肯定值不等式的性质：|b|a|b| |ab ；a、 同号或有 0|ab| |a|a、 异号或有 0|a|a|b| |ab . b| |a|b|九、不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：不等

46、式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1. 恒成立问题如不等式 f x A 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 f x min A如不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上 f x max B2 2例（1）设实数 x y 满意 x y 1 1,当 x y c 0 时, c 的取值范畴是 _ （答：提示：设 x sin a , y 1 cos a,x y c sin a cos a 1 c 2 sin a 45 1 c第 21 页 共 24 页高中数学必修 5 学

47、问点总结归纳 人教版最全 c 1 2 0 2 1,）；（2）不等式 x 4 x 3 a 对一切实数x恒成立,求实数 a 的取值范畴 _ （答：a 1）；2. 能成立问题如在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x A 成立 , 就等价于在区间 D 上 f x max A ；如在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x B 成立 , 就等价于在区间 D 上的 f x min B . 例 已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴 _ （答：a 1）3. 恰成立问题如不等式 f x A 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式 f x A 的解集为 D ；如不等式 f x B 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式 f x B 的解集为 D . 十、简洁的线性规划问题1、 二元一次不等式表示平面区域: Ax+By+C=0,坐标平面内的点P（x0,y0）在平面直角坐标系中,已知直线B0 时, Ax0+By0+C0,就点 P（x