高中数学点直线平面之间的位置关系

1、点 , 直 线 , 平 面 之 间 的 位 置 关 系 一,平面的基本性质 公理 1: 假如一条直线上的两点在一个平面内 , 那么这条直线在这个平面内 . 公理 2: 过不在同始终线上的三点 , 有且只有一个平面 . 留意 : 1 过一条直线和直线外一点 公理 3:2如 果 经两 过个 两不 条重 相合 交的 直平 线面有一个公共点 均,有那且么只它有们一有个且平只面有一条过该点公共直线 . 3 经过两条平行直线 用途 公理 1 证明点在平面内 证明直线在平面内 公理 2 确定平面的条件 证明有关点,线共面问题 公理 3 确定两个平面的交线 证明三点共线或三线共点 二,空间直线与直线的位置关系

2、 1,位置关系 : 共面 平行 共面与否 相交 一个公共点 : 相交 异面 公共点个数 平行 2,公理 4平行公理 : 平行于同始终线的两条直线相互平行无公.共点异面 3,公理 5: 空间中假如两个角的两边分别对应平行 , 那么这两个角相等或互补 . 4,异面直线的夹角 : 定义 : 已知两条异面直线 a, b 经过空间任意一点 O 作直线 a a,b b, 们把两相交直线 a ,b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a,b 所成的角 我 或夹角 . 范畴 : 0, 2 . 特别地 : 假如两异面直线所成的角是 b. 三,空间中的直线与平面的位置关系 90 , 我们就称这两条直线相互垂直 ,

3、记作 a 四,平面与平面的位置关系有两种 平行 无公共点 相交 有一条公共直线 【例 1】以下命题中正确选项 A. 三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 两两相交的三条直线确定在同一平面内 D. 过同一点的三条直线不愿定在同一平面内 解析 :A, B, C 均不中意公 2 及其推论 , 故 D 正 理 【例 2】如 A 表示点 ,a 表示直线 , , 表示平面 , 就以下表述中 , 错误选项 确 . .,A a.A .,A a.A. 第 1 页,共 7 页 ,A, =a.Aa a,A . .a. 解析 :a . 的含义是 a 上全部点都在平面 , 故 A 正确 ; 反之直线 a

4、上有一点不 上 在 上 , 就说明 a., 故 D 正确 , 但是 a. 并不代表全部点都不在 , 故 B 上 错误 .C 就是公理 3, 故 C 正 答案:B 确. 【例 3】给出下面四个命题 : 假如直线 ac,b c, 那么 a,b 可以确定一个平面 ; 假如直线 a 和 b 都与直线 c 相交 , 那么 a,b 可以确定一个平面 ; 假如 a c,b c, 那么 a,b 可以确定一个平面 ; 直线 a 过平面 内一点与平面 外一 点 和 b 是异面直线 . 上述命题中 , 真命题的个数是 个 个 个 个 , 直线 b 在平面 内不过该点 , 那么 a 解析 : 中, 由公理 4 知,a

5、 b, 故正确 ; 中 ,a,b 可能异面 , 故错误 ; 中 ,a,b 可能异面 , 故错误 ; 正确 . 答案 :B 【例 4】在正方体 ABCD A B C D中 ,E .F 分别为棱 AA.CC的中点 , 就在 空间中与三条直线 A D .EF.CD 都相交的直线 A. 不存在 B. 有且只有两条 C. 有且只有三条 D. 有许多条 【例 5】三条直线两两垂直 , 那么在以下四个结论中 , 正确的结论共有 这三条直线必共点 ; 其中必有两条是异面直线 中必有两条在同一平面内 个 个 个 个 ; 三条直线不行能共面 ; 其 解析 :1 三条直线两两垂直时 , 它们可能共点 如正方体同一个

6、顶点上的三条棱 , 也可能不共点 如正方体 ABCDA1B1C1D1中的棱 AA1,AB,BC, 故结论不正 确, 也说明必有结论不正确 ; 假如三条直线在同一个平面内 , 依据平面几何 中的垂直于同一条直线的两条直线平行 , 就导出了其中两条直线既平行又垂 直的冲突结论 , 故三条直线不行能在同一个平面内 三条直线两两垂直 , 这三条直线可能任何两条都不相交 , 结论正确 ; , 即任意两条都异面 如正 方体 ABCD A1B1C1D1中的棱 AA1,BC和 C1D1,故结论不正确 . 应 类型一 点共线问题 选 D. 解题预备 : 证明共线问题的常用方法 1 可由两点连一条直线 , 再验证

7、其他各点均在这条直线上 ; 2 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯独交线 , 关 键是通过绘出图形 , 作出两个适当的平面或帮忙平面 , 证明这些点是这两个 平面的公共点 . 【例 1】 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 ,E .F 分别为 D1C1.C1B1 的中点 ,AC BD=P,A1C1 EF=Q.求证 : 1D .B.F.E 四点共面 ; 2 如 A1C 交平面 DBFE 于 R 点, 就 P.Q.R 三点共线 . 第 2 页,共 7 页 解 1 如以下图 , 由于 EF 是D1B1C1 的中位所以 EFB1D1. 线 , 在正方体 AC1 中 ,B1D1B

8、D, 所以 EFBD. 所以 EF,BD 确定一个平面 , 即 D.B.F.E 四点共面 . 2 在正方体 AC1 中, 设 A1ACC1 确定的平面为 , 又设平面 BDEF 为 . 由于 QA1C1,所以 Q , 又 QEF,所以 Q . 就 Q 是 与 的公共点 , 同理 ,P 点也是 与 的公共 . 点 所以 =PQ. 又 A1C =R, 所以 RA1C,R 且 R , 就 RPQ,故 P.Q.R 三点共线 . 类型二 线共点问题 解题预备 : 证明共点问题 , 常用的方法是 : 先证其中两条直线交于一点 , 再证交点 在第三条直线上 , 有时也可将问题转化为证明三点共线 . 【例 2

9、】 如以下图 , 已知正方体 ABCDA1B1C1D1中,E .F 分别为棱 AB,AA1 的中 点. 求证 : 三条直线 DA,CE,D1F 交于一点 . 证明： 直线 DA.平面 AD1,直线 D1F.平面 AD1,明显直线 DA 与直线 D1F 不平行 , 设 直线 DA 与直线 D1F 交于点 M. 同样 , 直线 DA 与直线 CE 都在平面 AC 内且不平行 , 设直线 AD 与直线 CE 相交 于点 M. 又 E.F 为棱 AB.AA1 的中点 , 易知 MA=AD,MA=AD,所以 M.M为直线 AD 上的同 一点 , 因此 , 三条直线 DA.CE.D1F 交于一点 . 类型

10、三 线共面问题 证明共面问题的常用方法： 证明如干条线 或如干个点 共面 , 一般来说有两种途径 : 一是第一由题给条件中 的部分线 或点 确定一个平面 , 然后再证明其余的线 或点 均在这个平面内 ; 二是将全部元素分为几个部分 , 然后分别确定几个平面 , 再证这些平面重合 . 类型四 异面直线所成的角 解题预备 : 1. 求异面直线所成的角 , 关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直 线相交 , 或将两条直线同时平移到某个位置 直线平移 , 中位线平移 , 补形平移 . , 使其相交 . 平移直线的方法有 : 2. 求异面直线所成的角的一般步骤 : 一作: 即据定义作平行线 ,

11、 作出异面直线所成 的角 ; 二证 : 即证明作出的角是异面直线所成的角 ; 三求 : 在三角形中求得直 线所成的角的某个三角函数值 . AD=1,BC= ,3 且 AD BC,对角线 【例 3】 在空间四边形 ABCD 中 , 已BD 13 , AC 知 3, 22第 3 页,共 7 页求 AC 和 BD 所成的角 . 解：作平行线 , 找与异面直线所成的角相等的平面角 , 将空间问题转化为平面问 题. 如图 , 分别取 AD.CD.AB.BD的中点 E.F.G.H,连接 EF.FH.HG.GE.GF. 由 三 角 形 的 中 位 线 定 理 知 ,EF AC, 且 EF= GH 3,GE

12、BD,且 GE= 13 .GE 和 EF 4 4所成的锐角 或直角 就是 AC 和 BD12 所 成, HF 的 2 3角 . 同 理 , GH AD,HF BC. 又 AD BC, GHF=90 , GF2=GH2+HF2=1. 实战演练 一,选择题： . 1以下命题正确选项 （ ） A两个平面可以只有一个交点 B一条直线与一个平面最多有一个公共点 C两个平面有一个公共点,它们可能相交 D两个平面有三个公共点,它们确定重合 2下面四个说法中,正确的个数为 （ ） （ 1）假如两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合 （ 2）两条直线可以确定一个平面 （ 3）如 M, M, l ,就 Ml （

13、 4）空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内 A 1 B2 C 3 D4 3ABCDA1B1C1D1 是正方体, O B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,就 以下结论中错误选项 是 （ ） A A, M,O 三点共线 BM,O,A1,A 四点共面 C A, O,C,M 四点共 DB,B1,O,M 四点共4已知平面 内有许多条直线都与平面 平行,那 面 面 么 （ ） A B 与 相 C 与 重 D 或 与 5两等角的一组对应边平行,就 交 合 相交 （ ） A另一组对应边平行 C另一组对应边也不行能垂直 B另一组对应边不平行 D以上都不对 6如以下图,点 S 在平面 A

14、BC 外, SBAC,SB ACE ,F 分别是 SC 和 AB 的中点,就 EF 的长是 2, ） （ A 1 B 2第 4 页,共 7 页C 2D 1 2E,F 分别为 AB,CD 27平面 平面 , AB,CD 是夹在 和 间的两条线 的中点, 就 EF 与 的关系（ ） D不能确定 A平行 是 B相交 C垂直 8经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ） D有许多个 A只有一个 B至少有一个 C可能没有 9已知 ABCD是空间四边形形, E, F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,如 果对角线 AC4,BD2,那么 EG2HF2的值等于 （ ） B15 C20 D25 A

15、10 10 如 三 个 平 面 把 空 间 分 成 6 个 部 分 , 那 么 这 三 个 平 面 的 位 置 关 系 是 （ ） A三个平面共线； B有两个平面平行且都与第三个平面相交； C三个平面共 线,或两个平面平行且都与第三个平面相交； D三个平面两两相交； 二,填空题： 11如以下图,平面 M,N 相互垂直,棱 l上有两点 A,B, BAC AC M, BD N,且 ACl ,AB8cm,AC6 cm, BD 24 cm,就 CD 12如以下图, A 是 BCD 所在平面外一点, M,N 分别是 ABC和 ACD的重心,如 BD6,就 MN 13已知平面 平面P 是 , 外一点,P

16、点的两条, 过 直 线 PAC,PBD分别交 于 A,B,交 于 C,D,且 PA=6, AC=9,AB=8,就 CD的长为 14在棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1中, D1到 B1C的 距离为, A 到 A1C 的距离为 三,解答题：文字说明,证明过程或演算步骤 共 76 分. 15（ 12分）设 P 是 ABC所在平面外一点, P 和 A,B,C的距离相等, 为直角 . 求证：平面 PCB平面 ABC 16（ 12 分）如以下图,三个平面两两相交,有三条交线,求证这三条交线交于 17（ 12分）如以下图,正方体 ABCD A1B1C1D1中, E,F 分别是 AB,BC的中 一

17、点或相互平行 G 为 DD1上一点, 且 D1G：GD1：2,ACBDO,求证：平面 AGO/平面 D1 18（ 12分）如以下图,已知空间四边形 EF ABCD,E,F 分别是边 AB,AD的中 点, 第 5 页,共 7 页F,G 分别是边 BC,CD 上的点,CF CG 2,求证直线 EF,GH, AC且 CB CD 交 于一点 319（14分）如以下图,四棱锥 PABCD中,底面 ABCD是矩形, PA平面 M,N 分别是 AB,PC 的中点, PAADa ABCD, （ 1）求证： MN平面 PAD； （ 2）求证：平面 PMC平面 PCD 20（14分）如图 272,棱长为 a的正方

18、体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是 B1C1, C1D1 的中点, （ 1）求证： E,F,B,D 四点共面； （ 2）求四边形 EFDB 的面积 参考答案（四） 一, CADDD BACAC 二, 11 26 cm；12 2； 1320 或 4； 14 6a , 6 a； 3CA 2三, 15证明：如答图所示,取 BC 的中点 D,连PD,AD, D 是直角三角ABC 的斜边 BC 的中P BD=CD=A,D又 PA=PB=P,CPD 是公共边 PDA= PDB=POC=9PDBC, PDDA, PD平面 ABC 又 PD 平面 PCB 平面 PCB平面 ABC. 16证明：如

19、答图所示,设已知平面 ,B P Dl , , l 1, l 2, l 3 ,假如 l ll ll 1, l 2, l 3 中有任意两条交于一点 P,设 l1 l 2P, 即 Pl 1, P, P,就点 P 在平面 a lb P l 2,那么 , 的 交线 l3 上,即 l 1 , l 2, l 3 交于一点如（ a）图；假如 l1, D1O H B B1F C1l 2, l 3 中任何两条都不相交,那么,由于任意两条都共 面,所以 l 1 l 2 l 3 如（ b）图. A1G 17如答图所示,设 EFBD H,在 DD1H 中, DO 2DG , A DCDH 3DD 1GO/D1H,又 G

20、O GO/平面 D1EF, 平面 D1EF, D1H平面 D1EF, E 在 BAO中, BEEF, BHHO, EH/AO AO 平面 D1EF,EH平面 D1EF, AO/ 平面 D1EF, AO GOO,平面 AGO/平面 D1EF. 18如答图所示, AEEB, AHHD, EH/BD,且 B E A G 第 6 C 页,共 7 页EH 1 BD, 2HDF CF CG 2, FG/BD,且 FG 2 BD, CB CD 3 3EH/FG,且 EH FG, 故四边形 EFGH 为梯形,就 EF 与 GH 必相交, 设交点为 P,P平面 ABC,又 P平面 DAC, 又平面 BAC平面 DAC AC,故 PAC, 即 EF,GH, AC交于一点 . MNB C19证明：如答图