高中数学选修11知识点总结归纳经典版 2

1、高中数学选修 1-1 学问点总结归纳（经典版 ）常用规律用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题 1、命题：一般地,在数学中我们把语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句叫做 命题；其中判定为真的语句叫做真命题,判定为假的语句叫做假命题；2、命题的构成：在数学中,命题通常写成“ 如p ,就 q ” 的形式； 其中 p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论；1.1.2 四种命题 3、互逆命题：一般地,对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结 论和条件, 那么我们这样的两个命题叫做互逆命题；其中一个命题叫做原命题,另一个叫做 q ,就 p ” . 原命题的逆命题；假如原命题为“

2、 如 p ,就 q ” ,就它的逆命题为“ 如4、互否命题：一般地,对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做互否命题；原命题,那么另一个叫做原命题的否命题；假如原命题为“ 如为“ 如p ,就q ” . 假如把其中的一个命题叫做 p ,就 q ” ,就它的否命题5、互逆否命题：一般地,对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题；假如把其中的一个命p题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题；假如原命题为“ 如p ,就 q ” ,就它的逆否命题为“ 如q ,就

3、p ” . 互 逆否如 q ,就 p6、以上总结概括：如 p ,就 qq如 p ,就 q互原命题原命题逆命题逆命题如 q ,就 p为逆否否命题如p ,就互逆否命题如q ,就p互互 为逆1.1.3 四种命题间的相互关系否否7、四种命题间的相互关系：一般地,原命 题、逆命题、 否命题与逆否命题这四种命题否命题互 逆逆否命题之间的相互关系：如p ,就q如q ,就8、四种命题的真假性：一般地,四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题和互否命题,它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题,它们的真假性没有关系；原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假1.2 充要条件与必

4、要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地,“ 如 p ,就 q ” 为真命题, 是指由 p 通过推理可以得出 q .这时,我们就说,由 p 可推出 q ,记作 p q ,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件；假如“ 如 p ,就 q 为假命题” ,那么由 p 推不出 q ,此时我们就说 p 不是 q 的充分条件, q 不是 p 的必要条件；1.2.2 充要条件pq ,又有 qp ,就记作 pq .此时,我们说,p 是 q 的充分2、一般地,假如既有必要条件,简称充要条件；1.2 内容总结条件 p 与结论 q 的关系结论用集合表示 p：A,q：Bpqp

5、 是 q 的充分条件ABqpp 是 q 的必要条件BApq 且 qpp 是 q 的充分不必要条件A Bpq 且 qpB Ap 是 q 的必要不充分条件ppqpp 是 q 的充要条件AABAq 且 qp 是 q 的既不充分B 且 B也不必要条件1.3 简洁的规律联结构1.3.1 且（ and）1、 p 且 q 定义： 一般地, 用关联词 “ 且”把命题 p 和命题 q 连接起来, 就得到一个新命题,记作 p q ,读作“p 且 q ” .与集合 A I B x x A 且 x B 相关；2、 p 且 q 的真假：当 p , q 都是真命题时,p q 是真命题；当 p , q 两个命题中有一个命题

6、是假命题时,p q 是假命题；简记为：一假就假,同真就真；1.3.2 或（ or）3、 p 或 q 定义： 一般地, 用关联词 “ 或”把命题 p 和命题 q 连接起来, 就得到一个新命题,记作 p q ,读作“p 或 q ” .与集合 A U B x x A 或 x B 相关；4、 p 或 q 的真假：当 p , q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q 是真命题；当 p ,q 两个命题都是假命题时,p q 是假命题；简记为：一真就真,同假就假；1.3.3 非（ not）5、 p 非 q 定义：一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作 p ,读作“ 非 p ” 或“p 的否

7、定”.与集合 e UA x x U 且 x A6、 p 非 q 的真假：如 p 是真命题,p 必是假命题；如 p 是假命题,就 p 必是真命题；简记为：与 p 真假性相反；1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1、定义：短语“ 对全部的”“ 对任意一个” 在规律中通常叫做全称量词,并用符号“”表示；含有全程量词的命题,叫做全称命题；2、表述形式：对M 中任意一个 x,有 p x 成立；符号简记为xM , p x . 1.4.2 存在量词3、定义：短语“ 存在一个”“ 至有少一个” 在规律中通常叫做存在量词,并用符号“” 表示；含有存在量词的命题,叫做特称命题；4、表述形式：存在M 中的

8、一个0 x ,是p x 0成立；符号简记为0 xM ,p x 0. 1.4.3 含有一个量词的命题的否定5、全称命题的否定：一般地,对于含有一个量词的全程命题的否定,有下面的结论：全称命题 p ：xM , p x ,它的否定p ：0 xM ,p x 0. 全称命题的否定是特称命题；6、特定命题的否定：一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论：特称命题 p ：x0M ,p x 0,它的否定p ：xM ,p x . 特称命题的否定是全称命题；其次章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程1、椭圆的定义：平面内与两个定点 F ,1 F 的距离之和等于常数（大于 2 F

9、F 1 2）的点的轨迹叫做椭圆； 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距；用集合语言表示：P M PF 1 PF 2 2 , 2 a F F 22、椭圆的满意条件：当 MF 1 MF 2 2 a F F 1 2 时, M 的轨迹为椭圆；当 MF 1 MF 2 2 a F F 1 2 时, M 的轨迹为 F ,1 F 为端点的线段；2当 MF 1 MF 2 2 a F F 2 时, M 的轨迹不存在；2 2 x y3、椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上：2 2 1 a b 0a b我 们 把 这 样 的 方 程 叫 做 椭 圆 的 标 准 方 程 , 两 个 焦 点 分 别 是F

10、1c , 0,F 2c , 0,这里2 ba22 c . ab0） 焦 点 在 y 轴 上 ：y2x21ab0两 个 焦 点 分 别 为22abF 10,c ,F 20,c . 当焦点不确定可设为：2 mxny21m0,n0,mn2.1.2 椭圆的简洁几何性质 （设椭圆的标准方程为x2y2122ab4、范畴：由图可知,椭圆上点A A 为长轴,横坐标的范畴是 1 2axa （ a 为长 半轴长） ；B B 为 短轴,纵 1 2坐标的范畴是byb （ b 为短半轴长） ；5、对称轴：椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形；6、顶点：椭圆与它的对称轴有四个焦点,这四个交点叫做椭圆的顶点；线段A A 的

11、长等于 2a ,线段B B 的长等于 2b . 7、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比c a叫做椭圆的离心率,常用e表示,即ec,离心a率的范畴： 0e1.e 越接近于 a ,从而ba2c2越小,因此椭圆越扁；反之,当e越接近 0 时, c 接近于 0,从而 b 越接近于 a,这时椭圆就越接近圆；当且仅当 ab时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为x2y2a2椭圆补充内容8、离心率公式推导：P 在 y 轴上：eecsin12 bcosOF Baa2P 不在 y 轴上：sinsincos2cos29、交点三角形面积公式：2b sin 2 1S V PF F 1 2 b tan C y P

12、 PF 1 PF 2 sin1 cos 2 2周长公式：C 2 a c10、椭圆的其次定义：平面内,如动点 M x , y 与定点 F c , 0 的距离和它到定直线2l : x a的距离的比是常数 c a c 0,就 M 的轨迹是一个椭圆；c a注：常数为离心率,定直线为椭圆的准线 F l焦半径：设 P x 0 , y 0 . 当焦点在 x 轴上时,PF 左= a ex,PF 2 右 a ex . 当焦点在 x 轴上时,PF 下= a ey,PF 2 上 a ey . 11、直线与椭圆的位置关系2 2位置关系的判定：联立 xa 2b y2 1 a b 0 消去 x 或消去 y 解方程；Ax

13、By C 0当直线与椭圆有两个焦点时,直线与椭圆相交, 即 0；当直线与椭圆有一个焦点时,直线与椭圆相切,即 0 ；当直线与椭圆无焦点时,直线与椭圆相离,即 0 . 12、弦长公式设直线 ykxb 与椭圆相交于A x 1,y 1,B x 2,y2两点,就弦长公式为：ABx 1x21k21k2x 1x224x x22kABb2. ABy 1y21111y 1y 224y yk2k213、中点弦长公式（P 点在弦 AB 的中点）焦点在 x 轴上：kOPkABa2；焦点在 y 轴上：k OPb2a22.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程1、双曲线的定义：我们把平面内与两个定点 F ,F 的距离

14、的差的肯定值等于常数（小于F F 2）的点的轨迹叫做双曲线；两个定点 F ,F 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离 F F 2叫做双曲线的焦距；用符号表示：PF 1 PF 2 2 a F F 2 2 c . 2、双曲线的轨迹：当 0 2a F F 1 2 时,F ,1 F 的轨迹为双曲线；当 2 2a F F 2 时,动点的轨迹以 F 或 1 F 为端点的射线；当 2 2a F F 2,就动点轨迹不存在；2 2x y3、双曲线的标准方程： 焦点在 x轴上：2 2 1 a 0, b 0 .a b我 们 把 这 样 的 方 程 叫 做 双 曲 线 的 标 准 方 程 , 两 个 焦 点 分 别 是F

15、1c , 0,F 2c , 0的双曲线,这里c2a22 b . x1a0,b0） 焦 点 在 y 轴 上 ：y2x21a0,b0. 两 个 焦 点 分 别 为a2b2F 10,c ,F 20,c . 当焦点不确定可设为：2 mxny21m0,n0,mn2.2.2 双曲线的简洁几何性质（设双曲线的标准方程为x2y2a2b24、范畴： 双曲线在不等式xa 与 xa 所表示的区域内, 而在aa 之间没有图像；5、对称轴：双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形；6、顶点：双曲线和它的对称轴有两个焦点,他们叫做双曲线的顶点；线段A A 叫做双曲线的实轴,它的长度等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；线段

16、 B B 叫做双曲线的虚轴,它的长度等于 2b , b 叫做双曲线的半虚轴长；2 2x y7、（ 1）渐近线的意义：双曲线 2 2 1 的各支向外延长时,与这两条直线逐步接近,a b我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线；当在 x 轴上时, 矩形的两条对角线所在直线的方程式 y bx；当在 y 轴上时,矩形的两条对角线所在直线的方程式 y ax . a b2 2 2（2）等轴双曲线：假如 a b,那么双曲线的方程为 x y a ,它的实轴与虚轴的长都等于 2a ,它的一般形式：x 2y 20（0 ,在 x 轴；0 ,在 y 轴）；渐近线方程为 y x ；离心率：e 28、离心率： 双曲线的焦距与实

17、轴长的比 c 叫做双曲线的离心率,由于 c a 0,所以双曲a线的离心率 e c 1 .e越接近于 1,双曲线开口越小；a双曲线补充内容2 2 29、离心率公式推导：e c a2 b1 b,be 21a a a a2 2b sin b10、焦点三角形面积公式：S PF F 1 21 cos tan211、双曲线的其次定义：动点到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比是常数 e e 1 . 12、直线与双曲线的位置关系l : y kx m位置关系的判定：联立直线 l 与双曲线 C ：C : x 22 y2 21 消 y 带入双曲线 C 可解；a b（1）当 k b,如 m 0,方程有一根,

18、直线与双曲线有一焦点,此时直线平行于渐近a线；如 m 0,方程无根,直线与双曲线无焦点,该直线就是渐近线；（2）当 k b, 0时,直线与双曲线有两个相异焦点； 0时,直线与双曲线a相切,有一个焦点； 0时,直线与双曲线相离,没有交点；13、弦长公式设直线 ykxb 与双曲线相交于A x 1,y 1,B x 2,y 2两点,就弦长公式为：AB1k2x 1x21k2x 1x224x x222AB11y 1y 211y 1y 24y yk2k214、中点弦公式已知A x 1,y 1,B x 2,y 2是双曲线x2y21a0,b0上的两个不同的点,a2b2Mx 0,y 02 x 12 y 11是线段

19、 AB 的中点,就a2b22 x 22 y 21a2b215、共轭双曲线（以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线）x2y21与y2x21有共同的渐近线；111a2b2b2a22 e 12 e 22.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；点F 叫1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线；2、抛物线标准方程的四种形式图形标准方程交点坐标准线方程y22pxp 2, 0 xp 2p0y22pxp 2, 0 xp 2p0 x22py0,P 2yP 2p0 x2p2py0,PyP 202焦点在一次项所含未知数的轴上,开口

20、由一次项系数正负打算,焦点的非零坐标是一次项系数的1 4. px p0）2.3.2 抛物线的简洁几何性质（设抛物线的标准方程2 y23、范畴：由于p0,由方程可知,对于抛物线y 22px p0,x0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧,开口方向与x 轴正向相同；当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延长；4、对称轴：抛物线y22px p0对称轴是以 x 轴为对称轴的轴对称图形；5、顶点：抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点；6、离心率： 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率,用 e表示；由定义可知：e1抛物线补充内容 7、抛物线与直线的位置关系设直

21、线l:ykxb 与抛物线y22px p0,公共点的个数等于方组0时,直线与抛物ykxb px不同实数解的个数；y22当k0,就当0 时,直线与抛物线相交,有两个公共点；当线相切,有一个公共点；当0时,直线与抛物线相离,无公共点；当 k 0,就直线 y b 与抛物线相交, 有一个公共点； 特殊地, 设 x m ,就当 m 0 时直线 l 的斜率不存在时,l 与抛物线相交,有两个公共点；当 m 0 时, l 与抛物线相切,有一个公共点；当 m 0 时, l 与抛物线相离,无公共点；8、弦长公式设A x 1,y 1,B x 2,y 2是直线 ykxb 与抛物线的交点,就弦长公式为：AB1k2x 1x

22、 21k2x 1x 224 x x 1 2AB11y 1y 211y 1y 224y y2k2k29、中点弦设A x 1,y 1,B x 2,y 2是抛物线y22px p0上的点, AB 中点Mx 0,y 0,就AB 的斜率为p,就y 1y 2y 12ppy 0 x 1x 2y 2y 0第三章导数及其应用3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题1、平均变化率： 设1x,x 是函数 yfx 定义域内两个不同的数,把式子fx 2fx 1x 2x 1称为函数 yfx 从1x到x 的平均变化率；习惯上用x 表示x2x ,也可把x 看作是相对于1x 的一个“ 增量”,可用1xx 代替x ；类似地,y

23、fx 2fx 1.于是,平均变化率可以表示为y x3.1.2 导数的概念2、瞬时速度把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；一般地, 函数 yx 0fx 在xx 处的瞬时变化率是lim x 0ylim x 0fx 0 xfx 0,我们称它为函数yfx 在xx 处的导数,xx记作fx 0或y x x 0,即fx0lim x 0ylim x 0fxfx0 xx3.1.3 导数的几何意义3、切线方程： 求函数在点x 0,fx 0处的导数fx 0lim x 0fx 0 xfx0k,x得到曲线在点P x 0,fx 0处的切线的斜率；3.2 导数的运算3.2.1 几个常用函数的导数1、函数 yfxc的导数：y

24、lim x 0ylim x 000. x2、函数 yfxx 的导数：ylim x 0lim x 011yx3、函数yfx2 x 的导数：ylim x 0ylim x 02x2x2x1x4、函数yfx1 x的导数：y lim x 0ylim x 0 x1xxxx23.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法就 5、基本初等函数的导数公式（1）如 fxc,就fx0；（2）如fxxaaQ *,就fxax a1；（3）如fxsinx ,就fxcosx ；（4）如fxcosx ,就fxsinx；（5）如fxx a ,就fxaxlna a0；（6）如fxx e ,就fxx e ；（7）如fxlogax

25、,就fxx1a（a0,且a1）；1. ln（8）如fxlnx ,就fx1；（9）如fx1,就fxxx2 x6、导数的运算法就（10）fxg xfxgx；x；0；（11）fxg xfx g xfx g（12）fxfx g xfx gxg xg xg x2（13）cfxc fxc fxcfx . 推导：（14）fxg xh xfx g x h xfx gx h xfx g x hx（15）fxg xh xfxgxhx3.3 导数在讨论函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数1、函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间fa b 内,假如fx0,那么函数yfx 在这个区间内单调递增；假如fx0,那么函数 yfx 在这个区间内单调递减；如 fx 在a,b 单调递增,就fx0在a b 恒成立；留意：原函数看增减,导函数看正负；x越大, yfx 越大；2、求单调区间的一般步骤：确定函数ffx 的定义域；求导函数fx ；在定义域内解不等