高中数导数与其应用专题

1、- .专题 导数及其应用 考点精要 1明白导数概念的实际背景 2懂得导数的几何意义 3明白函数的单调性和导数的关系；能利用导数争论函数的单调性,会求函 数的单调区间（其中多项式函数不超过三次） 4明白函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值, 微小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值,最小 值（其中多项式函数一般不超过三次） 5会利用导数解决某些实际问题 热点解析 导数的几何意义及其应用, 基本初等函数的导数公式及导数运算的四就运算 法就是高考的重点与热点, 要会利用导数求曲线的切线, 留意区分在 某点处的切 线与过某点的曲线的切线 求函数在点

2、（ x0, f x 0 ）处的切线方程或切线斜率；求函数 f x 的单调增 区间或单调减区间； 求函数在（ a,b）上的极值,求 f x 在 a,b上的最大值, 最小值等等,在近几年高考试题中频频显现 一般地,函数 1 y= f x 在 x x0 = 学问梳理 lim f x 0 x f x = lim f, 我 处的瞬时变化率是 处 的 导 数 ,记 作 fx0 x x 或 x , 即 们 称 它 为 函 数 y= f x x x=x 0 在 x=x 0y | f x 0 = lim x 0 函 数 f x f x 0 x x f x0 处的导数就是切线 PT x2 1f x = 的 斜 率

3、 k , 即 ）, 就 x x0 2 lim f x0 x = f x 0 = f x0 k= x 0 x 3导函数 f x = y f x x f x x 0 x 1 1 , c ,（x 1） ,（x 2） x, 4 =0 =1 =2 x x2 （ 2 x xn （ n * 5基本初等函数的导数公式： （ ）如 f x c ,就 f x ； 1 = =0 n 1 ） 如 f x =nx ； （ 3）如 f x =sin x ,就 f x =cosx ； （ ）如 f x a x,就 f x a x a； 5 = = ln （ 7）如 f x =log a x,就 f x = 1； xln a

4、 （4）如 f x =cosx ,就 x f x =sin x ； （ ）如 f x e,就 f x e ；6 = = （8）如 f x =ln x ,就 f x = 1 ； x 6导数运算法就： （ 1） = （ 2 ） f x g x f x g x ； f x g x =f x g x + f x g x .第 1 页,共 16 页- - .（ 3） f x f xg x f x g x 2 g x g x 7. 导数的应用表达在三个方面： （ 1）求曲线的切线：其方法是,先求函数在某点处的导数得切线斜率,再用 点斜式建立切线方程,后化为一般式 求曲线的切线时要留意两种不同的要求：一种是

5、求 “函数在某点处的切线 ”, 这个点就是切点；一种是求 “函数过某点的切线 ”,就这个点可以是切点,也可以 不是切点；这两种要求的切线的求法有区分 （ 2）求函数的极大（小）值与最大（小值） 求可导函数 y f x 的极值的步骤： 求导数 y f x ；这一步是基础,要求利用导数公式及运算法就正确地求出 导函数 f x =0 的根；这一步用到方程学问, 留意 f x =0 的根应在 y= f x 求方程 f x 的定义域中 检验 f x 在方程 f x =0 的根（又叫函数驻点） 的左,右侧的符号是否发生 变化：假如 f x 在根的左侧邻近为正,右侧邻近为负,那么函数 y= f x 在这个根

6、处 取得极大值； 假如相反, f x 在这个根的左侧邻近为负, 右侧邻近为正, 那么函数 y= f x 在这个根处取得微小值 假如求闭区间 , 上函数的最值,就应在 , 及开区间（ , a b f a f b a b）内的极值中间作比较,最大的就是最大值,最小的就是最小值 （ 3）争论函数的单调性 设函数 y= f x 在某个区间 D 内可导,且 f x 0 ,就 f x 在这个区间上为增函数；如 f x 0 ,就 f x 在这个区间上为减函数（留意：这里 f x =0 在 D 的任意一个子区间 内不能恒 成立,否就,函数在这个子区间内为常函数,为水平线段,不具有单调 性） （ 4）不等式的恒

7、成立问题与能成立（存在性）问题 不等式的恒成立问题 如 x D , f x m 在 D 上恒成立,等价于 f x 在 D 上的最小值 f x min m 成 立,如 x D , f x m 在 D 上恒成立,等价于 f x 在 D 上的最大值 f x max m 成 立 对任意 x1 , x 2 D ,都有 f x 1 g x 2 成立的充要条件是 f x max g x min 不等式的能成立（存在性）问题 如 x D , f x m 在 D 上能成立,等价于 f x 在 D 上的最大值 f x max m成立 如 x D , f x m 在 D 上能成立,等价于 f x 在 D 上的最小值

8、 f x min m成立； 例题精讲 : .第 2 页,共 16 页- - .例 1. x 曲线 y=x e +2x+1 在点（ 0,1 ）处的切线方程为 例 2. 有以下命题： x=0 是函数 y=x 3f x 三次函数 的极值点 ax 3 bx 2= + + + cx d 有极值点的充要条件是 b2 3ac 0 奇函数 f x 3 2 =mx +（m 1 ）x +48 （m 2 ）x+n 在区间（ 4,4）上是单调函数 其中假命题的序号是 例 3. 已知函数 f x =x 3+bx 2+cx +d 的图像过点 P （0,2）,且在点 M（ 1 ,f（ 1 ） 处的切线方程为 6x y+7=

9、0 （ 1）求函数 y= f x 的解析式； （ 2）求函数 y= f x 的单调区间 例 4 （没有图像） a 已知函数 f x ln x a R）. x （ 1）如曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 x y 1 0 平行,求 a 的 值； （ 2 ）求函数 f x 的单调区间和极值； （ 3）当 a 1 ,且 x 1 时,证明： f x 1. 解：（ I ）函数 f x 的定义域为 x | x 0, 所以 f x 1 ln x a . 0 平行, 2 x 又曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 x y 1 所以 f 1 1 a 1, 即 a 0. 4 分

10、（ II ）令 f x 0, 得 x 1 a e . .第 3 页,共 16 页- - .当 x 变化时, f x, f x 的变化情形如下表： 1 a x 1 a 1a0, e e e , f x + 0 f x 极大值 1a 1 a 由表可知： f x 的单调递增区间是 0, e ,单调递减区间是 e , 1 a 1 a n1所以 f x 在 x e 处取 得极大值, f x 极大值 f e e . . 9 分 （ III ）当 a 1 时 , f x ln x 1 . x 由于 x 1, , 要证 f x ln x 1 1, x 只需证明 ln x 1 x. 1 x 1 令 hx x l

11、n x 1, 就 h x 1 . x x 由于 x 1,所以 h x 0, 故 hx 在 1, 上单调递增, 当 x 1 时, h x h1 0, 即 ln x 1 x 成立； ln x 故当 x 1 时,有 1 1,即 f x 1. x . 13 分 例 5 18. （本小题共 14 分） 1 已知函数 f x a ln x a 0, a R （）如 1 ,求函数 f x 的极值和单 x a 调区间； II 如在区间 1,e 上至少存在一点 x 0 ,使得 f x 0 0 成立,求实数 a 的取值范 围 . 1 a ax 1 解：（ I ）由于 f x 2 2x x x , . 2 分 当

12、a 1 , x 1 f x 0 ,得 x 1 ,.分 又 f x 的定 义域为 0, f x , x 2,令 3 f x , f x 随 x 的变化情形如下表： x 0,1 1 1, f x 0 f x 微小值 .第 4 页,共 16 页- - .所以 x 1 时, f x 的微小值为 1 . . 5 分 f x 的单调递增区间为 1, ,单调 递减区间为 0,1 ；. 6 分 ax 2 x 1 ,且 ,令 f x 0 ,得到 x 1 （ II ）解法一：由于 f x 1 2 x a x a 0 a , 0, e 在区间 存在一点 x 0 ,使得 f x 0 f x 成立,充要条件是 0, e

13、 在区间 上的 最小值小于 0 即可 . . 7 分 1 （1）当 x 0 ,即 a 0 时, f x 0 对 x 0, 成立,所以, f x 在区 a 间 0, e 上单调递减, 1 1 故 f x 在区间 0, e 上的最小值为 f e aln e a , e e 1 1 1 由 a 0 ,得 a ,即 a , . 9 分 e e e 1 （ 2）当 x 1 0 ,即 a 0 时, 如 e ,就 f x 0 对 x 0, e 成立,所 a a 以 f x 在区间 0, e 上单调递减, 所以, f x 在区间 0, e 上的最小值为 1 1 f e a ln e a 0 , e e 明显,

14、 f x 在区间 0, e 上的最小值小于 0 不成立 . 11 分 1 如 0 1 e,即 a 时,就有 a e 1 1 1 x 0, , e a a a f x 0 极 小 f x 值 1 1 所 以 f x 在区间 0e , 上 的 最 小 值 为 f a a ln , 由 a a 1 1 f a a ln a1 ln a 0 , 得 1 a ln a 0 ,解得 a a e a e, . ,即 . 13 分 1 综上,由 1 （2）可知： a , e, 符合题意 . . 14 分 e x f x 0 1 解法二：如在区间 0, e 上存在一点 0 ,使得 0 成立, 即 a ln x

15、0 0 , x0 0 x0 0 1 ax0 ln x0 . 由于 , 所以,只需 7 分 令 g x 1 ax ln x ,只要 g x 1 ax ln x 在区间 0, e 上的最小值小于 0 即可 1 由于 g x a ln x a aln x 1 ,令 g x aln x 1 0 ,得 x . 9 e .第 5 页,共 16 页- - .分 （1）当 a 0 时： 1 1 1 , e 1 ae ln e 1 ae , a , e x 0, e e e g x 0 g x 0, 1 时, g x 1 极大值 由于 x ax ln x 0 ,而 ge 只要 1 ae e 1 a , 1 .

16、0 ,得 a 1 分e e （2）当 a 0 时： x 0, 1 1 1 , e e e e g x 0 g x 微小值 所以,当 x 0, e 时, g x 微小值即最小值为 g 1 a 1 ln e 1 1 e e 由 1 a 0, 得 a e ,即 a e, .13 分 综上,由 1 （ 2 ）可知,有 a e 1 , e, . 14 分 e 例 6 已知函数 f x 2 a ln x 2 a 0 . x （）如曲线 y f x 在点 P1, f 1 处的切线与直线 y x 2 垂直,求函数 y f x 的单调区间； （）如对于 x 0, 都有 f x 2a 1 成立,试求 a 的取值范

17、畴； 解: I 直线 y x 2 的斜率为 1. 函数 f x 的定义域为 0, , 2 a 2 a 因 为 f x 2 所 以 f 1 2,1 所 以 a 1 . 所 以 x x , 1 1 f x 2 l nx . 2f x x 2 x x2 . 由 f x 0 解得 x 2 ；由 f x 0 解得 0 x 2 .所以 f x 的单调增区间是 2, , 单调减区间是 0, 2 . . 4 分 II f x 2 a ax 2 由 f x 0 解 得 x 2 ； 由 f x 0 解 得 x 2x x 2, a .第 6 页,共 16 页- - .0 x 2 在区间 2 , 上单调递增,在区间

18、0, 2 上单调递减 . a .所以 f x 所以当 x 2 时,函数 a ymin f a 0, a 都有 f x 取得最小值, 2 . 由于对于 x a a f x 2a 1 成立, 1 即 2 可.就 a ln 2 2 2 a 1 .由 a ln 2 解 得 所 以 f 2 2a a 2 a a a 0 a 2 的取值范畴是 0, 2 . . 8 分 b 1 .e 所以 a e 例 7 18. （本小题共 14 分）已知函数 f x 1 3 x 2 ax bx. a,b R 3 （ I ）如 f 0 f 2 1 ,求函数 f x 的解析式； （ II ）如 b a 2,且 f x 在区间

19、 0,1 上单调递增,求实数 a 的取值范畴 . 解：（）由于 f x 2 x 2ax b ,. 2 分 由 f 0 f 2 1 即 b 1 4 4a 得 a 1 ,. 4 分 1 b 所以 f x 的解析式为 f x 13 x 2 x x . 5 分 3 如 b a 2 ,就 f x x 22ax a 2 , 4a 24 a 2 , . 6 分 （ ）当 0 ,即 1 a 2 时, f x 0 恒成立,那么 f x 在 R 上单调递增, 1 所以,当 1 a 2 时, f x 在区间 0,1 上单调递增； . 8 分 （2）解法 1 ：当 0 ,即 a 2 或 a 1 时, 令 f x x

20、22ax a 2 0 解 得 x 1 a 22 a , a 2x2 a a a 2 . 9 分 列表分析函数 f x 的单调性如下： x , x1 x 1 , x 2 x2 , f x f x .第 7 页,共 16 页- - . . 10 分 2 a 12 a 3 . . 13 要使函数 f x 在区间 0,1 上单调递增, a 2 或 a 1 a 2 或 a 1 只需 a 0 或 a 1 ,解得 f 0 0 f 1 0 或 分 解法 ：当 0 ,即 a 2 或 a 1 时, 由于 f x 2 x 2ax a 2 的对称轴方 2 程为 x a . 9 分 或 a 2 在区间 0,1 在区间

21、0,1 上单调递增,需 a 1 要使函数 f x f 0 0 f 1 0 解得 2 a 1 或 2 a 3 . . 13 分 综上：当 a 2,3 时,函数 f x 上单调递增 . . 14 分 - .要使 f x 在区间 2 m 1,m 1 上单调递增,应有 m 1 3m 或 2m 1 m , 1 或 m 1 . . . 11 分 又 m 0 且 解 得 m 4 m 1 2m 1,. 12 分 m 的取值范畴 m 1 m 2 . 13 所以 1m 2 即实数 分 例 9已知函数 f x 3 mx 2 ax 1 b2 x , m, a , b R求函数 f x 的导函数 f x ； 3当 m

22、1 时,如函数 f x 是 上的增函数,求 R z a b 的最小值； 当 a 1, b 2 时,函 f x 在 2, 上存在单调递增区间, 求 的取值范畴 m 数 【解析】 f x mx 2 2 ax 1 b 2 . 3 分 由于函数 f x 是 上的增函数,所以 R f x 0 在 上恒成立, R 就有 4 a 241 b 0 ,即 2a2 b 1 设 2 a r cos , 为参数, 0 r 1 b r sin b z=a+b 就 z abO a 2r sin 当 sin 1,且 r 1 时, z a b 取 r cossin 4 4得最小值 2 （可用圆面的几何意义解得 z a b 的

23、最小值 2 ）. 8 分 2当 m 0 时 f m mx 2x 1 是开口向上的抛物线,明显 f x 在 2, 上存 在子区间使得 f x 0,所以 m 的取值范畴是 0, 当 m 0 时,明显成立 2 当 m 0 时, f m mx 2x 1 是开口向下的抛物线,要使 f x 在 2, 上存 m 0 m 0, 1 1 在 子 区 间 使 f x 0,应中意 2, 或 1 2, 解 得 m 0, 或 m m 21 f 2 0. f 0, m3 m 1 ,所以 m 的取值范畴是 3 , 0 4 2 4就 m 的取值范畴是 3 , . 13 分 4.第 9 页,共 16 页- - .例 10 18

24、 （本小题满分 13 分）已知函数 f x a ln x 1 , a R x 如曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 x 2 y 0 垂直,求 的值；求函 a 数 f x 的单调区间； 当 a 1 ,且 x 2 时,证明： f x 1 2 x 5 【解析】 函数 f x 的定义域为 x | x 0 , f x a 12 x x 又曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与直线 x 2 y 0 垂直,所以 f 1 a 1 2 , 即 a 1 由于 f x ax 2 1 当 a 0 时,对于 x 0, ,有 f x 0 在定义域上恒成立, x 即 f x 在 0, 上是增函数

25、当 a 0 时,由 f x 0,得 x 10, a当 x 0, 1 时, f x 0, f x 单调递增；当 x 1, 时, f x 0 , f x 单 aa调递减 当 a1 时, f x 1 ln x 1 1, x 2, 令 g x ln x 1 112x 5 g x 11 x 12 1 22 x x 1 2 当 x 2 时, g x 0, g x x 单调 1 x 2 1 在 2, x x 递减 又 g 2 0,所以 g x 在 2, 恒为负所以当 x 2, 时, g x 0 即 ln x 1 12 x 5 0 故当 a1,且 x 2 1 2 x 5成立 时, f x x 1 1函数 y

26、x 2= x +2 +1 在 x =1 处的导数等于 ln x D5 ln x A 2 B3 C4 2函数 f x ln x 的导数是 f x = x 1 3曲线 y=x A 1 ln x x 3 x 2 3 2+1 在点（ 1 , B x 1 ln x 1）处的切线方程为 x 2 C x2y x x x 1 2 x D 2 x 2 x x x y A =3 4 B y= 3 +2 C y= 4 +3 D =4 +3 .第 10 页,共 16 页- - .4 f x = x 3x 2+1 是减函数的区间为 3 函数 A（2, f x ax ） 3 x 有极值的充分必要条件是 B（ ,2 ） C

27、（ ,0 ） D（0,2） 5 a = a 0 + +1 a a0设 f x A 是函数 f x 的导函数, y 0 B C0D f x 的图像如下右图所示,就 y f x 的图 6 = = 像最有可能是 函数 f x x 3 ax 2 x ,已知 f x 在 x 时取得极值,就 a 7 = + +3 9 = 3 = A 2 B3 C4 D5 函数 f x x 3 3x+1 ,在闭区间 3,0上的最大值,最小值分别是 A1, 1 9函数 y= f x 在其定义域内可导,就 “ f B1, 17 x C3, ”是函数 17 f x 在点 D9, 19 0 处有极 0 =0 y= x=x 值的 A

28、充分不必要条件 B必要不充分条件 函数 C充要条件 x ）ex的单调递增区间是 D既非充分又非必要条件 10 f x =（ 3 A（ ,2 ） y ex B（ 0,3 ） 的切线,就切点的坐标为 C（1,4 ） ；切线的斜率为 D（2, ） 11过原点作曲线 = 12曲线 y x = 3 3x2如可导函数 +1 在点（ 1, 1 ）处的切线方程为 f x 2 x =3 +2 x f 2 ,就 f x 的导函数为 f x ,且中意 13 f 5 = x+ 2 上移动,设以点 P 为切点的切线的倾斜角为 ,求 的 3 14 点 P 在曲线 y=x 3取值范畴 15 f x 是f x = 1 x3

29、x+2 +1 的导函数,就 f 1 的值是 316如图,函数 的图像是折线段 ABC ,其中 A, f x B, C 的坐标分别为（ 0,4 ）,（ 2 ,0）,（ 6, 4 ）,就 f f 0 ； 函 数 f x 在 x=1 处 的 导 数 f 1 = .第 11 页,共 16 页- - .17如曲线 f x ax2+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,就实数 a 的取值范畴是 = 设直线 y1xb 是曲线 yx（ x ）的一条切线,就实数 b 的值为 18 函数 f x= 2 + =ln 0 x 的图像在点（ e, f （e）处的切线方程是 19 函数 y e x=ln 的单调减区间是 2

30、0 = x 21如函数 f x =x 3 3a 2x+1 的图象与直线 y=3 只有一个公共点,就实数 a 的取值 范畴是 = 1 3 x 12 ax a 在区间（ 1,4 ）内为减函数,在区间（ ） 22如函数 f x 1x 1 6,+ 32a 的取值范畴 上为增函数,试求实数 23已知函数 f x =ax 3 +bx 2 +cx 在点 x0处取得极大值 5 ,其导函数 y= f x 的图像经过点（ 1,0 ） , （ 2,0 ）,如右上图所示求： （） x0 的值； （） a , b, c 的值； （） f x 的微小值 答案 : 例 1. y=3x+1 例 2 例 3（ 1） f x =

31、x 33x 2 3x+2 1 2,1+ 2 上单调递减,在 1+ 2, （ 2 ） ,1 2 上单调递增, 上单调递增 针对训练 1C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8C 9 B 10 D 111, e, e 12 3x+y-2=0 15 3 16 a 2 17 0 18 ln2 1 19 y 1= x 13 3 , 0, 614 42=1 e20 a , b ,0 和 , c 0,1 21 1 a 1 22 5 a723 （）x0（） =2 =9 =12 （） 4 .第 12 页,共 16 页- - .高考链接 1（ 09 北京）设 f x 是偶函数,如曲线 y f x 在

32、点 1, f 1 处的切线的斜率为 1, 就该曲线在点 1, f 1 处的切线的斜率为 ； 2（07 北京文） f x 是 f x 1 3 x 2x 1 的导函数,就 f 1 的值是 3 f x 的图象是折线段 ABC 其中 A B C 的坐标分别为 3（08 北京文）如图,函数 （ , ）,（ , ）,（ , ）,就 f在 x f 函数 f x , , , 处的导数f （ ） 0 = . 42064 13 0= ; =1 1 4（11 北京文）（本小题共分） 已知函数 f x x ke x. （）求 f x 的单调区间； （）求 f x 在区间 0,1 上的最小值 .5（10 北京文） （本

33、小题共 14 分） 设定函数 f x a x3 2 bx cx d a 0 ,且方程 f x 9x 0 的两个根分 别为 1,4； 3 f x 过原点时,求 f x 的解析式； （）当 a=3 且曲线 y 无极值点,求 a 的取值范畴； （）如 f x 在 , 6（08 北京）（本小题共 13 分） 已知函数 f x x 32 ax 3bx cb 0, 且 g x f x 2 是奇函数 . .第 13 页,共 16 页- - .（）求 a, c （）求函数 的值； f x 的单调区间 . 答案 1 略 2 （3） 32-2 4（共 13 分） 解：（） f x x k 1e 3. 令 f x 0 ,得 x k 1 f x 与 f x 的情形如下： x （ , k k ）k 1 （ k 1, f x 0 + f x e k 1 所以, f x 的单调递减区间是（ , k 1 ）；单调递增区间是 k 1,