高中概率知识点高考考点易错点归纳2

1、（一）高中数学概率学问要点3.1 随机大事的概率3.1.1 随机大事的概率1、必定大事：一般地,把在条件 S 下,肯定会发生的大事叫做相对于条件 S的必定大事；2、不行能大事：把在条件 S 下,肯定不会发生的大事叫做相对于条件 S的不行能大事；3、确定大事：必定大事和不行能大事统称相对于条件 S的确定大事；4、随机大事：在条件 S 下可能发生也可能不发生的大事,叫相对于条件 S 的随机大事；5、频数：在相同条件 S下重复 n 次试验,观看某一大事 A 是否显现,称 n 次试验中大事 A显现的次数 nA为大事 A显现的频数；6、频率：大事 A 显现的比例 f n = nn A；7、概率：随机大事

2、 A 的概率是频率的稳固值,反之,频率是概率的近似值 . 3.1.2 概率的意义1、概率的正确说明：随机大事在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性；熟悉了这种随机中的规律性,可以比较精确地猜测随机大事发生的可能性；2、嬉戏的公正性：抽签的公正性；3、决策中的概率思想：从多个可选答案中选择出正确答案的决策任务,那么“ 使得样本出现的可能性最大” 可以作为决策的准就；极大似然法、小概率大事4、天气预报的概率说明：明天本地降水概率为70%说明是“ 明天本地下雨的机会是70%” ；5、试验与发觉：孟德尔的豌豆试验；6、遗传机理中的统计规律；3.1.3 概率的基本性质1、大事的关系与运算（1

3、）包含；对于大事 A与大事 B,假如大事 A 发生,就大事 B 肯定发生,称大事 B 包含事件 A（或大事 A 包含于大事 B）,记作 B A 或A B ；不行能大事记作；（2）相等；如 B A 且 A B,就称大事 A 与大事 B 相等,记作 A=B；（3）大事 A 与大事 B 的并大事（和大事） ：某大事发生当且仅当大事 A 发生或大事 B发生；（4）大事 A 与大事 B 的交大事（积大事） ：某大事发生当且仅当大事 A 发生且大事 B发生；（5）大事 A 与大事 B 互斥： A I B 为不行能大事,即 A I B =,即大事 A 与大事 B 在任何一次试验中并不会同时发生；（6）大事

4、A 与大事 B 互为对立大事：AIB为不行能大事,AUB为必定大事,即大事A与大事 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生；2、概率的几个基本性质（1） 0P A1. （2）必定大事的概率为1.P E1. 0. （3）不行能大事的概率为0. P F（4）大事 A 与大事 B 互斥时, PA U B=PA+PB 概率的加法公式；（5）如大事 B 与大事 A 互为对立大事, ,就 AUB为必定大事,P AUB1. 3.2 古典概型3.2.1 古典概型1、基本领件：基本领件的特点： （1）任何两个大事是互斥的；（2）任何大事（除不行能大事）都可以表示成基本时间的和；2、古典概型： （1）试验中全部可能

5、显现的基本领件只有有限个；（2）每个基本领件显现的可能性相等；具有这两个特点的概率模型称为古典概型；3、公式：P A = A 包含的基本领件的个数基本领件的总数3.2.2 （整数值）随机数的产生如何用运算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数？书上例题；3.3 几何概型3.3.1 几何概型1、几何概型：每个大事发生的概率只有与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型；2、几何概型中,大事 A 发生的概率运算公式：构成大事 A的区域长度（面积或体积）P A 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3.3.2 匀称随机数的产生常用的是 0,1 上的匀称随机数,可以用运算器来产生

6、01 之间的匀称随机数；本章学问小结随机大事频率概率,概率的意应用义与性质概率 解决古典概型几何概型实际问 题随机数与随机模拟（1）在详细情境中,明白随机大事发生的不确定性和频率的稳固性,进一步明白概率的意 义以及频率与概率的区分；（2）通过实例,明白两个互斥大事的概率加法公式；（3）通过实例,懂得古典概型及其概率运算公式,会用列举法运算一些随机大事所含的基 本领件数及大事发生的概率；（4）明白随机数的意义,能运用模拟方法 （包括运算器产生随机数来进行模拟）估量概率,初步体会几何概型的意义（参见例 3）；（5）通过阅读材料,明白人类熟悉随机现象的过程；重难点的归纳：重点：1、明白随机大事发生的

7、不确定性和频率的稳固性,正确懂得概率的意义2、懂得古典概型及其概率运算公式3、关于几何概型的概率运算 4、体会随机模拟中的统计思想：用样本估量总体难点：1、懂得频率与概率的关系 . 2、设计和运用模拟方法近似运算概率3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题（二）高考概率概率考试内容： 随机大事的概率等可能性大事的概率互斥大事有一个发生的概率相互独立大事同时发生的概率独立重复试验考试要求：（1）明白随机大事的发生存在着规律性和随机大事概率的意义（2）明白等可能性大事的概率的意义,会用排列组合的基本公式运算一些等可能性大事的 概率；（3）明白互斥大事、相互独立大事的意义,会用互斥大事的概率加

8、法公式与相互独立大事 的概率乘法公式运算一些大事的概率（4）会运算大事在 n 次独立重复试验中恰好发生次的概率以下归纳 9 个常见考点：解析概率与统计试题是高考的必考内容；它是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率 统计等学问为工具,以考查对五个概率大事的判定识别及其概率的运算和随机变量概率分 布 列性质及其应用为目标的中档师,估量这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋 向；下面对其常见题型和考点进行解析；考点 1 考查等可能大事概率运算；A 在一次试验中可能显现的结果有 n 个,而且全部结果显现的可能性都相等；假如大事包含的结果有 m个,那么 P A m；这就是等可能大事的判定方法及其

9、概率的计 n 算公式；n 高考常借助不同背景的材料考查等可能大事概率的运算方法以及分析和解决实际问题 的才能；例 1 （2022 天津）从 4 名男生和 2 名女生中任3 人参与演讲竞赛. I 求所选 3 人都是男生的概率；II 求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；III 求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率 . 考点 2 考查互斥大事至少有一个发生与相互独立大事同时发生概率运算；不行能同时发生的两个大事 A、B 叫做互斥大事,它们至少有一个发生的大事为 A+B,用概率的加法公式 PA+B=PA+PB 运算；A、B 叫做相互独立 大事 A（或 B）是否发生对大事 B（或 A）发生的概率

10、没有影响,就 大事,它们同时发生的大事为 AB；用概率的乘法公式 PAB=PAPB 运算；高考常结合考试竞赛、 上网工作等问题对这两个大事的识别及其概率的综合运算才能进 行考查；例 2. （2022 全国卷）设甲、乙、丙三台机器是否需要照料相互之间没有影响；已知在某 0.05 ,甲、丙都需要照料的概率为 0.1 ,乙、丙都需 一小时内,甲、乙都需要照料的概率为 要照料的概率为 0.125 ,（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照料的概率分别是 多少；（）运算这个小时内至少有一台需要照料的概率；考点 3 考查对立大事概率运算；必有一个发生的两个互斥大事 PA=1-PA 运算其概率；A、 B叫

11、做互为对立大事；用概率的减法公式高考常结合射击、电路、交通等问题对对立大事的判定识别及其概率运算进行考查；例 3 2022 福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为1和2；52（）甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率；考点 4 考查独立重复试验概率运算；如 n 次重复试验中, 每次试验结果的概率都不依靠其它各次试验的结果,就此试验叫做n 次独立重复试验；如在 1 次试验中大事 A 发生的概率为 P,就在 n 次独立重复试验中,事k k n k件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pnk= P n C p 1

12、p ；高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某大事恰好发生 k 次的概率的运算方法和化归转化、分类争论等数学思想方法的应用；例 4 （2022 湖北卷）某会议室用5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同；假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为 p2；从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平常不换；（）在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2 只灯泡的概率；（）在其次次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率；（） 当 p1=0.8 ,p2=0.

13、3 时,求在其次次灯泡更换工作,至少需要更换4 只灯泡的概率 （结果保留两个有效数字）考点 5 考查随机变量概率分布与期望运算；解决此类问题时, 第一应明确随机变量可能取哪些值,然后依据相互独立大事同时发生概率的法公式去运算这些可能取值的概率值即可等到分布列,最终依据分布列和期望、方差公式去获解；以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率学问解决 实际问题的才能；例 5 （2022 湖北卷） 某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4 次参与考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参与以后的考试,否就就一直考到第 4 次为止；假如李明打算参与驾照考试,设

14、他每次参与考试通过的概率依次为 0.6 ,0.7 ,0.8 ,0.9 ,求在一年内李明参与驾照考试次数 的分布列和 的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率；考点 6 考查随机变量概率分布列与其他学问点结合1、考查随机变量概率分布列与函数结合；例 6. （2022 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3 个旅行景点,一位客人游玩这三个景点的概率分别是 0.4 ,0.5 ,0.6 ,且客人是否游玩哪个景点互不影响,设表示客人离开该城市时游玩的景点数与没有游玩的景点数之差的肯定值；（）求 的分布及数学期望；A,求大事A 的（）记“ 函数fx x23 x 1 在区间 2 , 上单调递增” 为大事概率；2、考查随

15、机变量概率分布列与数列结合；例 7 甲乙两人做射击嬉戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立大事,规章如下：如射击一次击中,原射击者连续射击,如射击一次不中,就由对方接替射击；已知甲乙两人射击一次击中的概率均为 7,且第一次由甲开头射击；（1）求前 4 次射击中,甲恰好射击 3 次的概率；（2）如第 n 次由甲射击的概率为 an ,求数列 an 的通项公式；求 lim an ,并说明极 n限值的实际意义；3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合；例 8 （2022 辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和其次工序加工而成, 两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B

16、两个等级对每种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品；（） 已知甲、 乙两种产品每一道工序的加工结果为 A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概 P甲 、P 乙 ；（） 已知一件产品的利润如表二所示,用 、 分别表示一件甲、 乙产品的利润, 在（ I ）的条件下,求 、 的分布列及 E 、E ；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示 . 该工厂有工人 40 名,可用资金60 万元； 设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量, 在（II ）的条件下, y 为何值时, z=xE + yE x 最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）考查随

17、机变量概率分布列性质 性质应用考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用；离散型随机变量在某一范畴内取值的概率等于它取这个范畴内各个值的概率之和 . ,高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查；例 92022 年全国高考题 某同学参与科普学问竞赛 , 需回答三个问题 , 竞赛规章规定：每题回答正确得 100 分,回答不正确得 0 分；假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8, 且各题回答正确与否相互之间没有影响 . ；求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；求这名同学总得分不为负分 即 0 的概率；考点 8 样本抽样识别与运算；简洁随机抽样, 系统抽样, 分层

18、抽样得共同特点是不放回抽样,且各个体被抽取得概率相等,均为n N 为总体个体数, n 为样本容量 ；系统抽样、分层抽样的实质分别是等距抽N样与按比例抽样,只需依据定义,适用范畴和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样本；高考常结合应用问题,考查构照抽样模型,识别图形,搜集数据,处理材料等争论性学习的才能；例 11 （2022 年湖北湖北高考题）某初级中学有同学 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人, 现要利用抽样方法抽取 10 人参与某项调查, 考虑选用简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简洁随机抽样和分层抽样时,将同学按一、二、三年级依次统一编号为 1,2, ,

19、270；使用系统抽样时,将同学统一随机编号 1,2, , 270,并将整个编号依次分为 10 段. 假如抽得号码有以下四种情形： 7,34,61,88, 115,142,169,196,223,250； 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； 30,57,84, 111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的以下结论中,正确选项（）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样考点 9 考查直方图；这是统计的学问,不是概率的吧？例

20、 12. （2022 江西卷）为明白某校高三同学的视力情形,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情形, 得到频率分布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后6 组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在 4.6 到 5.0 之间的同学数为 b,就 a、b 的值分别为（）A0,27,78 B 0,27,83 C2.7,78 D2.7,83 方法小结：解决概率问题时,肯定要依据有关概念,判定问题是否是等可能性大事、互斥大事、相 互独立大事, 仍是某一大事在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的情形, 以便选择正确的计 算方法, 同时留意上述各类大事的综合问

21、题,要全面考虑, 特殊是近几年高考概率与期望的 综合,表达了高考对概率学问要求的进一步提高；下面仅以几个例题作以小结；一、用排列组合求概率例 1 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 能被 3 整除的概率为（）3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个三位数不A19/54 B35/5 C38/54 D41/60 分析：等可能大事的概率关键是利用排列组合出基本领件数；答案： B 点评： 此题将等可能大事与对立大事的概率,以及分类争论综合在一起,表达了学问交汇点的命题精神,是高考的热点；二、互斥大事有一个发生的概率例 2 某厂生产 A产品 , 每盒 10 只进行包装 , 每盒产品都需要检验合格

22、后才能出厂 , 规定以下 ,从每盒 10 只中任意抽 4 只进行检验 , 假如次品数不超过 1只 , 就认为合格 , 否就就认为不合格 ,已经知道某盒 A 产品中有 2 只次品（1）求该盒产品被检验合格的概率（2）如对该盒产品分别进行两次检验, 求两次检验的结果不一样的概率分析：对一个复杂大事的概率可以分拆成几个互斥大事的概率或者转化为求其对立大事的概 率；点评：求相互独立大事同时发生的概率,要保证两者确是“ 相互独立” 大事；本例的“ 竞赛 型” 题,分析比较简洁,只要结合有关竞赛规章即可解决,此类题也是高考的热点题；三、对立重复试验例 3一位同学每天骑自行车上学, 从他家到学校有5 个交通

23、岗 , 假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的 , 且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p,其余 3 个交通岗遇到红灯的概率均为1 2；; 1 如 p=2/3 ,求该同学在第三个交通岗第一遇到红灯的概率2 如该同学至多遇到一次红灯的概率不超过5/18 ,求 p 的取值范畴；分析： 首末两个交通岗遇红灯的概率相同,其余 3 个交通岗遇红灯的概率也相同,可看作独立重复试验；点评： 要留意恰有k 次发生和某指定的k 次发生的差异； 对独立重复试验来说,前者的概率为总结：概率初步的考题一般以（1）等可能大事； （ 2）互斥大事有一个发生； （3）相互独立大事同时发生； （4）独立重复试验为载体；有的考题可能

24、综合多个概率题型；在等可能大事的概率运算中,关键有二：一是谁是一次试验（一次大事所含的基本领件的总数）；二是事件 A 所含基本领件数；当然, 全部基本领件是等可能的是前提；善于将复杂的大事分解为互斥大事的和与独立大事的积是解题的关键；（三）高考数学概率中的易错题辨析一、概念懂得不清致错例 1抛掷一枚匀称的骰子,如大事A：“ 朝上一面为奇数”,大事 B：“ 朝上一面的点数不超过 3”,求 P（ A+B）错误会法 1：大事 A：朝上一面的点数是1,3,5；大事 B：趄上一面的点数为1,2,3,P（A+B）=P（A）+P（B）=3316621,3, 5；大事 B：趄上一面的点数为1,2,3,错因分析

25、：大事A：朝上一面的点数是很明显,大事A 与大事 B 不是互斥大事；即 P（A+B） P（A）+P（B）,所以上解是错误的；实际上：正确解法为： A+B包含：朝上一面的点数为P（A+B）=42631,2,3,5 四种情形错误会法 2：大事 A：朝上一面的点数为1,3,5；大事 B：朝上一面的点数为1,2,3,即以 A、 B大事中重复的点数1、 3 P（A+B）=P（A）+P（B） P（A B）= 1 1 1 1 32 2 2 2 4错因分析： A、B大事中重复点数为 1、3,所以 P（A B）= 2 ；这种错误会法在于简洁6地类比应用容斥原理 Card A B Card A Card B Ca

26、rd A B 致错正确解答： P（A+B）=P（A）+P（B） P（AB）= 1 1 2 22 2 6 3,1 当第 n 次掷出偶数 例 2某人抛掷一枚匀称骰子,构造数列 a n ,使 an,记,1 当第 n 次掷特别数 S n a 1 a 2 a n 求 Si 0 i ,1 ,2 ,3 4 且 S 8 2 的概率；错解：记大事 A：S 8 2,即前 8 项中, 5 项取值 1,另 3 项取值 1 S 8 2 的概率 P A C 8 5 1 82记大事 B：Si 0 i ,1 ,2 ,3 4 ,将 Si 0 i ,1 ,2 ,3 4 分为两种情形：（1）如第 1、2 项取值为 1,就 3,4

27、项的取值任意（2）如第 1 项为 1,第 2 项为 1,就第 3 项必为 1 第四项任意P（B）=12133228所求大事的概率为P=P（A）P（B）=3 C 851882错因分析：iS0且S 82是同一大事的两个关联的条件,而不是两个相互独立大事；iS0对S82的概率是有影响的,所以解答应为：P 1C3 618；正解：Si0 i,1 ,2,34 前 4 项的取值分为两种情形如 1、3 项为 1；就余下 6 项中 3 项为 1,另 3 项为 -1 即可；即2如 1、2 项为正,为防止与第类重复,就第3 项必为 -1 ,就后 5 项中只须 3 项为 1,余下 2 项为 -1 ,即P 2C3 51

28、8,2所求大事的概率为P C3 6C3 51815227二、有序与无序不分致错例 3甲、乙两人参与普法学问竞赛,共有10 个不同的题目,其中选择题6 个,判定题 4 个,甲、乙依次各抽一题；求：（1）甲抽到选择题,乙提到判定题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1 人抽到选择题的概率是多少？错误会法：（1）甲从选择题抽到一题的结果为C1 6；乙从判定题中抽到一题的结果为C1 4而甲、乙依次抽到一题的结果为C2 10所求概率为：C6 1 C1 48C2 1015错因分析：甲、乙依次从10 个题目各抽一题的结果,应当是先选后排,所以应为A 10 2为防止错误,对于基本领件总数也可这样做：甲抽取一

29、道题目的结果应为C1种,乙再抽取10余下的 9 道题中的任一道的结果应为C 种,所以 1正确解答：C1C1464C 10 1C1159（2）错误会法：从对立大事考虑,甲、乙都抽到判定题的结果为C2 4种,所以都抽到判断题的概率为C211,所求大事的概率为11144C1 10C1515159错因分析： 指定大事中指明甲、乙依次各抽一题,那么甲、乙都提到判定题的结果应为C1 4C1 3种,所以所求大事概率应为1C1 4C1 32C1 10C1 915说明：对于第（2）问,我们也可以用这样解答：1C2 42,这里启示我们,当基本领件是有序的,就指定大事是有序的（指定大事C2 1015包含在基本领件中

30、） ；当基本领件是无序的,就指定大事也必无序；关键在于基本领件熟悉角度必需精确；例 4已知 8 支球队中有3 支弱队,以抽签方式将这8 支球队分为A、B 两组,每组4支,求： A、 B两组中有一组恰有两支弱队的概率；错解：将 8 支球队均分为 A、B 两组,共有 C 8C 44 4种方法： A、B 两组中有一组恰有两支弱队的分法为： 先从 3 支弱队取 2 支弱队,又从 5 支强队取 2 支强队,组成这一组共有 C 5C 23 2种方法,其它球队分在另一组,只有一种分法；所求大事的概率为：CC 58 24 CC 24 24 37；错因分析：从基本领件的结果数来看,分组是讲求次序的,那么指定大事

31、：“ A、B 组中有一组有 2 支弱队” 应分为两种情形；即“A 组有” 或“B 组有” ,所以正确解答为：正解：2C C8 4 5 2C C4 4 2 267 或C 8 4 CC 5 24 4 C/ 2 2A 2 2 67说明：这道题也可从对立大事求解：3 支弱队分法同一组共有：4 8C1 5C1 5种结果；所求大事概率为1C1 5C1 56CC4 47三、分步与分类不清致错例 5某人有 5 把不同的钥匙,逐把地试开某房门锁,试问他恰在第 3 次打开房门的概率？错误会法： 由于此人第一次开房门的概率为1 ,如第一次未开, 第 2 次能打开房门的概 5率应为 1 ；所以此人第 3 次打开房门的

32、概率为 1 ；4 3错因分析： 此人第 3 次打开房门实际是第 1 次未打开,第 2 次未打开, 第 3 次打开 “ 这三个大事的积大事”,或者懂得为“ 开房门是经过未开、未开、开” 这三个步骤,不能理解为此大事只有“ 开房门” 这一个步骤,所以,正确解答应为：正解：第 1 次未打开房门的概率为 4 ；第 2 次未开房门的概率为 3 ；第 3 次打开房门5 4的概率为 1 ,所求概率为：P 4 3 1 1；3 5 4 3 5例 5某种射击竞赛的规章是：开头时在距目标 100m处射击,如命中记 3 分,同时停止射击；如第一次未命中,进行其次次射击,但目标已在 150m远处,这时命中记 2 分,同

33、时停止射击；如第 2 次仍未命中,仍可以进行第 3 次射击,此时目标已在 200m远处；如第3 次命中就记 1 分,同时停止射击,如前 3 次都未命中,就记 0 分；已知身手甲在 100m处击中目标的概率为 1 ,他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立2的；求：射手甲得 k 分的概率为 Pk,求 P3,P2,P1,P0的值；：设射手射击命中目标的概率 P 与目标距离 x之间的关系为 Px k2,由已知 12 100 k2 k 5000错误会法：P 3 125000 2P 2150 2 95000 11P200 2 81 2 1 49P 0 1 1 1 2 9 8 144错

34、因分析：求 P2 时,将第 150m处射击命中目标的概率作为第 2 次命中目标的概率,隔离了第 1 次射击与第 2 次射击的关系, 实际上, 第 2 次射击行为的发生是在第 1 次未击中的前提下才作出的；P2 应为“ 第 1 次未击中,第2 次击中” 这两个大事的积大事的概率；求P1 时也如此；正解：P 312P 2 11212991P 11 1217298144P 0 11121149298144四、考虑不周致错例 6某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：10 ,求：的分x7 8 9 P 0.2 0.2 0.2 0.2 现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成果记为布列；错

35、误会法：的取值为 8,9,10；=7,两次环数为 7,7 ；=8,两次成果为 7,8 或8,8；=9,两次成果 7,9 或 8,9 或 9,9；=10,两次队数为 7,10 或 8,10 或 9, 10或 10,10；P70. 2.020. 040.152.0.0230. 2P80. 2.030.32P90. 20.30. 3.030. 3P10.020.30. 20. 30. 322（分布列略）错因分析：P 8 , 即 两 次 成 绩 应 为7 , 8或8 , 7或8 , 8实 际 为 三 种 情 形 ,8 20. 20. 3.0 32.021P 9两 次 环 数 分 别 为7,9（ 或9,7）； 8,9（ 或9,8）,9.9 920. 20. 320.3.030. 32.039同理P10 .012220. 30. 240. 22.0 36例 7将 n 个球等可能地放入到N（n n）个有编号的盒子中（盒子中容纳球的个数不限）；求 A：某指定的