材力第7章 弯曲变形

1、9/19/20221北京邮电大学自动化学院第 7 章 弯曲变形（课本第9章的内容）9/19/20222北京邮电大学自动化学院7-1 梁的变形和位移变形后梁轴线挠曲线 挠度：v ，正负定义 变形后梁截面：仍为平面 梁截面转角： ,正负定义PxvCqC1变形前梁截面：平面v9/19/20223北京邮电大学自动化学院转角和挠曲线确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程v(x)。 PxvCqC1变形前梁截面：平面v9/19/20224北京邮电大学自动化学院7-2 小挠度曲线微分方程注意：坐标的选取与正负号的关系9/19/20225北京邮电大学自动化学院7-3 用积分法求梁的位移梁的转角方程和挠度方程： 其中

2、C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。注意：积分是不定积分！ 9/19/20226北京邮电大学自动化学院【例7-1】简支梁AB受力如图所示(图中a b)。求梁的转角方程和挠度方程，并确定挠度的最大值。9/19/20227北京邮电大学自动化学院【例7-1】 【解】1）先求弯矩方程AC段 CB段 2) 进行积分 AC段CB段9/19/20228北京邮电大学自动化学院【例7-1】 【解】3）用边界条件和连续条件确定四个积分常数C1、D1、C2、D2 。边界条件连续条件解得连续条件存在于分段的情况！边界条件所有情况都存在！9/19/20229北京邮电大学自动化学院【例7-1】 【解】4）为求vm

3、ax , 令1(x)=0 (由于假设ab,可以判断出vmax将发生在AC段内) ,解得:9/19/202210北京邮电大学自动化学院【例7-2】求图示简支梁的挠曲线方程，并求|v|max和|max。 9/19/202211北京邮电大学自动化学院【例7-2】 【解】（1）求支座反力，列弯矩方程 AC段： CB段： 9/19/202212北京邮电大学自动化学院【例7-2】 【解】（2）列出挠曲线近似微分方程， 并进行积分 AC段： CB段： 9/19/202213北京邮电大学自动化学院【例7-2】 【解】（3）确定积分常数 根据连续条件: 根据边界条件: 9/19/202214北京邮电大学自动化学

4、院边界条件的思考【例7-3】 悬臂梁受力如图所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角 和最大挠度。【例7-4】简支梁在左端支座处承受集中力偶作用,如图所示.求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角 和最大挠度。9/19/202215北京邮电大学自动化学院1、范钦珊课本 习题9-3 P238（C点改为滑动支座约束，作为一道作业题，求最大转角和最大挠度。）9/19/202216北京邮电大学自动化学院1、蒋平课本 例11-2 P3442、范钦珊课本 图9-13 P2359/19/202217北京邮电大学自动化学院积分法求弯曲位移的解题步骤：（1）用整体平衡条件求出梁的支座反力；（2）用截面法求

5、出梁的弯矩方程；（3）对挠曲线近似微分方程进行不定积分得到转角 方程和挠度方程；（4）利用边界条件和连续条件确定积分常数；（5）求出设定截面的挠度和转角；9/19/202218北京邮电大学自动化学院7-4 用叠加法求梁的位移在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。9/19/202219北京邮电大学自动化学院【例7-5】简支梁AB受力如图所示。试用叠加法求梁中点的挠度 和A支座处的转角 。9/19/2

6、02220北京邮电大学自动化学院【例7-5】【解】查表9-1 课本P2229/19/202221北京邮电大学自动化学院【例7-6】例7-6 按叠加原理求C点挠度。q00.5L0.5LxvC（强调不能用合力来解的原因！）9/19/202222北京邮电大学自动化学院【例7-6】 【解】解：载荷无限分解如图查表叠加q00.5L0.5LxdxxvCy9/19/202223北京邮电大学自动化学院关于求解梁弯曲变形的其他一些方法：（1）奇异函数法； （参见材料力学，范钦珊主编，高教 出版社，2000年2月）（2）能量法； （参见工程力学基础（I），蒋平编著，高教出版社，2003年2月）9/19/20222

7、4北京邮电大学自动化学院7-5 梁的刚度条件梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件。见课本表-2 P2319/19/202225北京邮电大学自动化学院【例7-7】车床主轴如图所示。在图示平面内，已知切削力P1=2KN，啮合力P2=1KN；主轴的外径D=80mm，内径d=40mm，l=400mm，a=200mm；C处的许用挠度v=0.0001l，轴承B处的许用转角=0.001rad；材料的弹性模量E=210GPa。试校核其刚度。 9/19/202226北京邮电大学自动化学院【例7-7】 【解】【解】将主轴简化为如图b所示的外伸梁，外伸部

8、分的抗弯刚度EI近似地视为与主轴相同。（1）计算变形（采用叠加法） 因P1而引起的C端的挠度和截面B的转角（图c）分别为： 9/19/202227北京邮电大学自动化学院【例7-7】 【解】因P2而引起的截面B的转角和C端的挠度（图d）分别为： 9/19/202228北京邮电大学自动化学院【例7-7】 【解】由叠加法，C端的总挠度为： B处截面的总转角为 ：9/19/202229北京邮电大学自动化学院【例7-7】 【解】（2）校核刚度主轴的许用挠度核许用转角为： v =0.0001l=0.04mm=0.001rad9/19/202230北京邮电大学自动化学院7-7 提高梁刚度的措施1)改善结构受

9、力形式，减小弯矩M；2)增加支承，减小跨度l；3)选用合适的材料，增加弹性模量E。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；4)选择合理的截面形状，提高惯性矩I，如工字形截面、空心截面等。 9/19/202231北京邮电大学自动化学院超静定梁的处理方法：变形协调方程+变形方程+静力学平衡方程相结合，求全部未知力。q0LAB*7-8 简单超静定梁的求解方法9/19/202232北京邮电大学自动化学院解：建立静定基 确定超静定次数，用约束力代替多余约束所得到的结构静定基。=q0LABLq0MABAq0LRBAB或【例7-8】9/19/202233北京邮电大学自

10、动化学院几何方程变形协调方程+q0LRBAB=RBABq0AB9/19/202234北京邮电大学自动化学院+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系变形协调方程9/19/202235北京邮电大学自动化学院q0LRBAB求解其它问题：反力、应力、变形等9/19/202236北京邮电大学自动化学院=q0LABLq0MABA关于静定基的思考如果我们选择如左图所示的静定基，这时该如何求解？9/19/202237北京邮电大学自动化学院例7-9 ：结构如图，求B点反力q0LBCLABC【例7-9】9/19/202238北京邮电大学自动化学院解：建立静定基=LBCq0LABCq0LRBAB=RBAB+q0AB【例7-9】【解】9/19/202239北京邮电大学自动化学院变形协调方程：=LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB注意：负号9/19/20224