材力第2章：轴向拉伸与压缩

1、工力学程轴向拉伸与压缩第二章一、轴向拉伸与压缩的概念实例DABC起重机构架ACFF二力杆PmABP曲柄冲压机BA受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。 材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。二、内力 截面法 轴力及轴力图1.内力的概念构件因反抗外力引起的变形，而在其内部各质点间引起的相互之间的作用力，称为内力。显然，外力越大，变形越大，因而内力也越大，但内力不可能无止境地随外力的增大而增大，总有个限度，一旦超过了这个限度，材料将发生破坏。因此，材料力学中，首先研究内力的计算，然后研究内力的限度，最后进行强度计算。2.截面法轴力求图示拉杆mm截面的内力P

2、NxY mmPPN：分布内力系的合力称为内力，代表移去部分对保留部分的作用。由平衡方程 N P = 0 N = P N 总是与轴线重合，故称为轴力。轴力通常用字母N表示，它的单位即为力的单位，基本单位为牛顿(N)，常用单位有千牛(kN)。PNxY 截面法：切：在需求内力的截面处，假想用一平面将构件截分为两部分。抛：保留一段，弃去另一段。代：以内力代替弃去部分对保留部分的作用。平：对保留部分建立平衡方程，从而确立内力的大小和指向。保留右段时：P N= 0N=P N与N 大小相等，方向相反，为一对作用力与反作用力。mmPPPNxYPN 问题：如何方便地表达考虑变形特点，轴向受力，变形形态之可能有两

3、种：伸长、缩短。符号规定： 正号轴力- N的方向与截面外法线方向一致。 负号轴力- N的方向与截面外法线方向相反。 也即：拉伸为正、压缩为负。例：某截面的轴力为-30kNN=30kNN=30kN N与N大小、符号均相同，无须区分，都用N表示。3.轴力图 例21. 一直杆受力如图所示。试求各段中横截面上的轴力。6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1II解：在AB段内，沿横截面II把杆件假想截开，保留左段，假设II截面上有正号的轴力N1，以杆轴为x轴，由静力平衡条件N1为正号，说明原先假设的轴向拉力是正确的，另外由于在这一段内外力没有变化，故可看出，AB段内任一横截

4、面上分轴力都是+6kN。整个AB段处于受拉。6kNAN1II6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1N26kN10kNIIII 在BC段内沿横截面IIII将杆假想地截开，并留下左段为脱离体，假设IIII截面的轴力为正号的N2由静力平衡条件：得到N2是负号，说明实际N2的指向与所设方向相反，即应为轴向压力，也就是材料力学规定的负号轴力。显然，BC段任一横截面的轴力均为4kN, 整个BC段受压。N26kN10kNIIII内力符号的双重含义假设某截面轴力为拉力，则计算出来的内力符号具备双重含义：与原假设方向相同即为材料力学规定的正号内力（拉力）正号表示：与原假设方向相反

5、即为材料力学规定的负号内力（压力）负号表示：6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII6kNAN1N2N36kN10kN4kNIIIIII 用同样方法可求CD段内任意横截面的内力。用假想截面沿IIIIII截面切开，保留右段，设该截面的轴力为正号的N3，利用平衡方程，易求得 CD段内任意横截面的轴力均为4kN， 整个CD段受拉。N34kNIIIIII 为了清楚地表示杆内轴力随截面位置的改变而变化的规律、我们可以画出截面位置与轴力的关系图：用平行于杆轴线的坐标来表示横截面的位置；用垂直轴的坐标表示轴力。NxN6kN10kN8kN4kNDABCIIIIIIIIIIII+(单位:kN)

6、4+4+6446+画轴力图的要求平行并对齐原杆件轴力的符号要标在图上 控制点的坐标要标上三、横截面及斜面上的应力1、应力的概念PAa 平均应力A越小，越能反映a点的受力强弱程度。p：a点的应力矢，全应力，分布力系的集度。一般情况下，应力矢p既不平行，也不垂直于截面。通常，将p正交分解，垂直于截面，平行于截面。正应力 法向应力剪应力 切向应力应力量纲基本单位帕斯卡兆帕 1MPa=106Pa吉帕 1GPa=109Pa常用单位2、拉(压)杆横截面上的应力FN 一般地，为位置的函数， dA组成垂直于横截面的平行力系，其合力即为轴力考察杆件受力变形：PP所有正方形格子变形为长方形平面假设：变形前为平面的

7、横截面，变形后仍为平面，仅仅沿轴线方向平行移动了一个距离。变形现象：将杆想象成无数纵向纤维所组成的，每根纤维都发生同样大小的变形，并且纤维之间没有挤压。实质：发生均匀的伸长变形。均匀材料：轴线方向发生均匀的伸长变形，横截面上的分布内力系也应该是均匀的，于是横截面上的正应力为常数。 横截面上正应力计算公式 (2-2) 的符号规定与FN一致。拉应力为正号的正应力。压应力为负号的正应力。圣文南原理：“ 力作用于杆端方式不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受影响。”PP 例22 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况，各段长度及横截面尺寸如图(a) 所示，已知P=50kN, 试求构

8、件的最大工作应力。P40003000CIIIBPAP240370(a)P50kN150kN40003000CIIIBPAP240370(b)(a)N解：首先作柱的轴力图如图(b) 所示。 由于砖柱为变截面杆，故须利用公式(22)求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。 I、II两段柱(图a)横截面上的正应力，分别由式(22)算得为和 由上述结果可见，该砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。最大工作应力所在的截面称为危险截面。注意：应力的大小通常是指绝对值，而非代数值。 例23 图(a)所示构架的BC杆为直径d=20mm的钢杆，AB杆的横截面积为540mm

9、2，已知P=2kN, 试求AB杆和BC杆横截面上的应力。ACBP30(a)解：(1) 计算各杆轴力 由于各杆的连接方式都是铰接，且外荷载作用在节点处，因此，AB和BC均为二力杆。设两杆均受拉力，作节点B的受力图图(b)，由静力平衡条件：(1)(2)30PxyFNABFNBC(b)B由(2)式可得将FNBC的值代入(1)，可得(2)计算各杆应力3、拉(压)杆斜截面上的应力PP(a)KK横截面是特殊的截面，任意斜截面以与横截面的夹角来表示。截面法PNpkk由平衡方程FN=P均匀材料，均匀变形，故p均布斜截面面积记作A ， 设横截面面积为Ap将p正交分解 只要知道拉（压）杆横截面上的正应力和截面的方

10、位角，就可求出该截面上的正应力和剪应力。所以： 不同方向的斜截面上的正应力和剪应力一般不相同。四、拉(压)杆的变形，胡克定律1、轴向变形，胡克定律l1ll1b1bb1PPPP(a)(b)轴向变形：=变形后的长度变形前的长度L=L1L引入比例常数，则有 胡克定律E：弹性模量E的量纲和常用单位均与应力相同同时，有所以：轴向变形公式的适用条件 线弹性 L长度内，FN、E、A为常数 (均匀变形)同时杆的伸长（缩短）不足以反映杆的变形程度。2、应变ABBss+s 称为平均应变，显然，s越小，越能表征A点沿AB方向的变形程度。定义 A点沿AB方向的线应变，简称应变。 拉(压)杆，均匀变形，任意点的轴向应变

11、为常数。即 胡克定律(26)3、横向应变泊松比 杆件拉长后，横截面将会缩小，设变形前横向尺寸为b，变形后为b1，则均匀变形时横向应变为b1b横向的含义：是指变形的方向和引起变形的力的方向垂直。实验表明v：泊松比，无量纲与恒反号(27 a)(27 b) 例24 一构件如图所示，已知：P1=30kN，P2=10kN，AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2， E=200GPa。ABCDP1P2100100100试求：(1) 各段杆横截面上的内力和应力；(2) 杆的总伸长。+ABCDP1P210010010020kN10kNFN解： 作轴力图如上图所示。“ AB”， “ BC”， “ CD

12、”段上任意横截面上的应力分别为： 求横截面上的应力 虽然杆AD不满足胡克定律的适用条件，但AB段、BC段和CD却能分别满足胡克定律，因此，我们可按胡克定律分别求AB、BC、CD三段杆的伸长量，然后相加得到杆AD的总伸长量。+ABCDP1P210010010020kN10kNFN 即AD杆缩短了0.015mm。 D点向左位移了0.015mm。 如果在杆总长范围内，不能满足杆伸长计算公式(25b)的适用条件，但将杆分成若干段(n段)每一段能分别满足(25b)式的适用条件。则杆的总伸长公式为 例25 试求自由悬挂的直杆由于自重引起的最大正应力和总伸长。设杆长l，截面积A，容重，弹性模量E均为已知。l

13、OA解：(1) 计算杆内的最大正应力，先求离下端为x处截面上的正应力，利用截面法，得：mmlxAxmmAFN(x)xOmmlxAxOOFN+AxAlx(2) 计算杆伸长，由于FN为x的函数，因此不能满足胡克定律的条件。在离杆下端为x处，假想地截取长度为dx的微段，其受力如图所示。在略去高阶微量的条件下，dx微段的伸长可写为所以整个杆件的伸长为：dxFN(x)+dFN(x)FN(x)x杆伸长计算公式：均匀变形分段均匀变形非均匀变形 例26 图示杆系由两根圆钢杆和组成，已知杆端铰连，两杆与铅垂线均成=30的角，长度均为L=2m, 直径均为d=25mm, 钢的弹性模量为E=210GPa. 设在节点A

14、处悬挂一重物P=100kN, 试求节点A的位移A.PABC 解：由于两杆受力后变形，而使A点有位移，所以须先求出各杆的伸长，为此，应先求各杆轴力。由于AB、AC均为二力杆，因此，可假定两杆均受拉，作A点的受力图如图，由静平衡方程，有PAFN1FN2解之，可得： FN1，FN2为正号，说明先前假设的轴力方向为正确的。将FN1，FN2代入杆伸长计算公式(25b)，得每杆的伸长为：式中为杆的横截面面积 由于结构对称，两杆伸长量相等，故变形后节点A将沿铅垂方向下移至A点，于是，杆最终铰连于A点。AABC A1即 以B点为圆心，BA为半径画弧交BA于A1点，则A1A即为L1。由于微小变形，因此，可将弧A

15、A1视为A点到BA的垂线，BAA，于是：AABC A1（将已知数据代入上式可得注意：节点位移与杆伸长是两个不同的概念。2-6 材料拉伸时的力学性质力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能一 试件和实验条件常温、静载在做拉伸试验时，应该将材料做成标准的试件，使其几何形状和受力条件都能符合轴向拉伸的要求。试验之前，先在试件的中间等直部分上划两条横线。当试件受力时，横线之间的一段杆中任何横截面上的应力均相同，这一段杆称为工作段。在试验时就量测工作段的变形。为了能比较不同粗细的试件在拉断后工作段的变形程度，通常对圆截面标准试件的工作段长度l与其横截面直径d的比例加以规定，矩形截面标

16、准试件则规定其工作段长度L与其横截面面积A的比例。常用的标准有两种，即：l=10d和l=5d或l=11.3 和l=5.65 。压缩试件通常用圆截面或正方形截面的短柱，其长度l与横截面直径d或边长b的比值一般规定为13，这样才能避免试件在试验过程中被压弯。(一) 低碳钢试件在拉伸时的力学性能PPABCDEFPlOABCDEFbOsep明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料卸载规律ABCDEFOGO1O2pe

17、第一次加载至G点，然后卸载，其-曲线为GO1 （不是原路返回）；然后立刻进行第二次加载，其-曲线为O1GEF，其中O1O2 弹性应变OO1 塑性应变冷作硬化：第一次加载至G点，然后卸载完毕后立刻进行第二次加载，其-曲线为O1GEF ，从图中可以看出，试件的弹性极限升高，塑性性能下降。ABCDEFOGO1O2pe冷拉时效：第一次加载至G点，然后完全卸载，让试件 “休息”几天，然后进行第二次加载。这时-曲线为O1GHKM ，可以看出，试件获得了更高的抗拉强度指标。ABCDEFOHKMGO1O2pe 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限p0.2来表示。(二) 其它材料拉伸时的力学性能 对于

18、脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。 bt拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。（三）金属材料在压缩时的力学性能（主要自学）要求掌握压缩图屈服前与拉伸图基本相同，屈服后曲线无意义，测不到强度极限。名义应力、实际应力的概念。1.低碳钢压缩2.铸铁压缩试验 胡克定律近似成立 b压(45)倍b拉 脆性材料宜承压 断口形式的成因1.材料的极限应力六、强度条件、安全系数、许用应力极限应力u 材料强度遭到破坏时的应力。破坏：断裂、过大塑性变形脆性材料 u =b塑性材料 u=s

19、 材料的极限应力是用标准试件在实验室里测定的，而实际结构却处在非常复杂的条件下工作，在这些条件下，往往无法精确地计算出作用在这些构件上的荷载。加上材料的均匀程度，施工中的误差，计算时力学上的简化均使构件实际情况与设计时的设想条件有差别，为了安全，为了强度储备，引入了安全系数和许用应力的概念。2.许用应力、安全系数n 1 安全系数 许用应力塑性材料脆性材料n过大 材料浪费n过小 可能发生事故 国家有关部门专门研究、设计各种有关的手册、规范，来规定各种工况下各种构件的n值。3.强度条件工作应力不超过许用应力强度计算以危险截面为准进行计算三种不同情况下的强度计算 强度校核：在已知荷载、构件尺寸和材料的情况下，构件是否满足强度要求，由下式检验工程上也能认可 设计截面：已知荷载情况、材料许用应力，构件所需横截面面积，用下式计算。 计算许用荷载：已知构件几何尺寸和材料许用应力，则构件的最大轴力可用下式计算利用平衡方程即可求出许用荷载。 例题 图示构架，BC杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若P=10kN，木杆AB的横截面积为 A1=10000mm2, 许用应力(1) 校核各杆的强度；(2) 求许用荷载P；(3) 根据许用荷载，重新设计杆件。应力2=160MPa。ACPBlBC=2.0mlAB=1.73m30面