不定积分市公开课获奖课件

1、不定积分计算：直接积分法（利用性质和公式）换元法( 第一、第二 )分部积分法有理函数积分法*第1页第1页第三节 不定积分换元法 利用积分性质和简朴积分表能够求出不少函数原函数, 但事实上碰到积分凭这些办法是不能完全处理. 现在简介与复合函数求导法则相相应积分办法 不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当变量代换, 将本来积分化为对新变量积分, 而后者积分是比较容易积出.第2页第2页例1： 计算分析：假如能把被积表示式改变一下, 使得被积函数变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分. (u是x函数)不同！ 1. 不定积分第一换元法第3页第3页其理论依据为：注: 这种办法实质是当

2、被积函数为复合函数时,可采用 恒等变形将本来微分dx凑成新微分(可不必换元),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.第4页第4页定理该定理称为不定积分第一换元法,也叫“凑微分”法。第5页第5页 环节：凑微分法关键是“凑”,“凑”目的是把“不易计算”不定积分化为容易用“直接计算法”计算或查表计算不定积分.（第3、4步能够省略）（不易计算）（容易计算）第6页第6页例1.解“凑微分”法解题环节第7页第7页例2. 求原式 =注：当时注意换回原变量想到公式解第8页第8页例3. 求令则想到公式解第9页第9页例4.解第10页第10页例5.解第11页第11页例6.解第12页第12页例7. 求当n为偶数时应先

3、降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分.解第13页第13页例8.解第14页第14页例9. 求原式 =对形如这样不定积分应先积化和差后再积分.解第15页第15页例10. 求 原式 =解第16页第16页例11. 求解法2解法3 两法结果同样第17页第17页例12.解第18页第18页例13.解第19页第19页惯用简化技巧小结：(1) 分项积分：(2) 减少幂次：(3) 统一函数：利用三角公式；配元办法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差；分式分项利用倍角公式, 如第20页第20页第21页第21页第22页第22页2. 不定积分第二换元法第23页第23页定理第24页第24页注1. 求解环节为

4、：（不易）（容易）第25页第25页注: 用直接积分和凑微分法是不易计算此积分.但作变换例1. 求解第26页第26页注2. 换元积分法是先换元,再积分,最终回代。这与凑微分法(先凑微分，后换元)不同。重点不同，目标相同。第27页第27页例2.解第28页第28页第29页第29页通过这种代换将根式积分化为三角有理式积分. 被积函数中含有根式相应三角代换第30页第30页例3.解第31页第31页例4.解第32页第32页令则原式例5.解第33页第33页例6.解第34页第34页例7.解第35页第35页第36页第36页例8.解第37页第37页小结：1. 第二类换元法常见类型 令令令或令或令或第38页第38页2

5、. 惯用基本积分公式补充7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令第39页第39页第40页第40页不定积分计算直接积分法（利用性质和公式）换元法( 第一、第二 )分部积分法有理函数积分法*第41页第41页第四节 不定积分分部积分法第42页第42页定理第43页第43页而不定积分 易计算,则可采用分部积分公式,使计算大为简化.注1：不定积分 不易计算,环节：注2：如何正确地选定u和v却显得非常主要.普通说来要考虑下列三点:积分容易者选作dv； 求导容易者选作u； 不可兼得时以前者为优先。（不易）（容易）第44页第44页例1.解第45页第45页例2.解第46页第46页普通说来, 当被积函数为下列

6、形式之一时, 可考虑利用分部积分法进行计算：幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 ,指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它办法积分 ,两个函数乘积 .第47页第47页例3.解第48页第48页例4.解第49页第49页故第50页第50页例5. 求 令则原式解第51页第51页例6. 求原式故 原式 =阐明：也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 解第52页第52页例7. 求令则 原式 =解第53页第53页例8.解第54页第54页 ,dd)(ln00CxxxxI+=第55页第55页分部积分题目类型：1) 直接分部化简积分；2) 分部产生循环式, 由此解出积分式；(注意： 两次分部选择 u , v 函数类型不变, 解出积分后加 C )例63) 对含自然数 n 积分, 通过度部积