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文档简介

1、第五节 三重积分(二)一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结 练习题第1页第1页要求：一、利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标：第2页第2页柱面坐标与直角坐标关系为在柱坐标系中，三个坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面 柱坐标实质就是将 xoy 面上点用极坐标表示。 问题：如何在柱坐标系中计算三重积分？第3页第3页如图，柱面坐标系中体积元素为同二重积分同样，首先要将三重积分转化为柱坐标下三重积分形式。 问题：在柱坐标下，体积元素再将柱坐标下三重积分化为三次积分。在直角坐标系中第4页第4页问题：如何将柱坐标下三重积分化为三次积分？此为 柱坐标表示首先将 用柱面坐标表示第5页第

2、5页问题：如何将柱坐标下三重积分化为三次积分？第6页第6页在下列情形下，比较适合用柱坐标计算（1） 在坐标面上投影区域用极坐标表示比较简朴。如圆柱体：圆锥体：旋转抛物面：（2） 被积函数含有下列特性第7页第7页解知曲面与平面交线为第8页第8页解第9页第9页解知两曲面交线为第10页第10页解第11页第11页二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标：点 M 到原点距离记为 r ,有向线段 OM 与 z 轴正向夹角记为 ， 自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段OP 角度记为 第12页第12页在球面坐标中，要求球面坐标与直角坐标之间关系第13页第13页球面坐标中，三坐标面分别为圆锥面球 面；半平面第14页第

3、14页 问题：如何在球面坐标系中计算三重积分？在直角坐标系中在柱面坐标系中 问题：在球面坐标下，体积元素第15页第15页球面坐标系中体积元素为问题：如何化球坐标下三重积分为三次积分？第16页第16页问题：如何化球坐标下三重积分为三次积分？（1） 是一个包括原点在内封闭曲面，则第17页第17页（1） 是一个包括原点在内封闭曲面，则尤其， 是一个以原点为中心，a 为半径球面时当 f (x, y, z) = 1 时，球体积第18页第18页（2） 是由锥面 = 及曲面 r = r( , ) 所围，则下列情形适合用球坐标计算（1）积分区域是球体、锥体或它们一部分；（2）被积函数含有形式第19页第19页第20页第20页第21页第21页第22页第22页解第23页第23页解第24页第24页习题95: 1, 4, 7, 9, 11, 14, 17 第九章： 第五节：三重积分作业（二）第25页第25页三重积分定义和计算在直角坐标系下体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结第26页第26页（1） 柱面坐标体积元素（2） 球面坐标体积元素三重积分换元法柱面坐标球面坐标第27页第27页思考题选择题:第28页第28页第29页第29页练 习 题 1第30页第30页第31页第31页第32页第32页练习题1答案第33页第33页第34页第34页练 习 题

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