广东省广州市增城中学2021-2022学年数学高二下期末质量检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知为定义在上的奇函数，当时，则的值域为（ ）ABCD2函数的零点所在的大致区间是（ ）ABCD3设满足约束条件

2、 ，则的最大值是（ ）A-3B2C4D64用数学归纳法证明 过程中，假设时，不等式成立，则需证当时，也成立，则（ ）ABCD5设P，Q分别是圆和椭圆上的点，则P，Q两点间的最大距离是()ABCD6已知等差数列中， ，则（ ）A20B30C40D507将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ）ABCD8在等差数列中，则公差（）A-1B0C1D29已知全集UZ，B1,0,1,2，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A1,2B1,0C0,1D1,210在区域内任意取一点，则的概率是（ ）A0BCD11经过椭

3、圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于ABCD12图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）A14BC34D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，是某球面上不共面的四点，且，则此球的表面积等于_.14已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是_15观察下列算式：，则_16已知数列an中，a11，anan1 (n2)，则数列an的前9项和等于_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在中，角，的对边分别为，点

4、在直线上（1）求角的值；（2）若，求的面积18（12分）已知椭圆的离心率为，抛物线与椭圆在第一线象限的交点为（1）求曲线、的方程；（2）在抛物线上任取一点，在点处作抛物线的切线，若椭圆上存在两点关于直线对称，求点的纵坐标的取值范围19（12分）知函数，与在交点处的切线相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围 .20（12分）已知复数（aR,i为虚数单位）（I）若是纯虚数，求实数a的值；（II）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围21（12分）已知关于的方程x2+kx+k22k=0有一个模为的虚根，求实数k的值22（10分）已知函数.（1）求函数的

5、极值;（2）当时，证明：;（3）设函数的图象与直线的两个交点分别为，的中点的横坐标为，证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先用基本不等式求时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.【详解】当时，（当且仅当时取等号），又为奇函数，当x0时，,则的值域为.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.2、C【解析】，函数f(x)在（0，+）上单调递增，f(3)=ln3-10，f(e)=lne-=1-0，f(3)f(e)0，在区间（e，3）内

6、函数f(x)存在零点.故选C.3、D【解析】先由约束条件画出可行域，再利用线性规划求解.【详解】如图即为，满足约束条件的可行域，由，解得，由得，由图易得：当经过可行域的时，直线的纵截距最大，z取得最大值，所以的最大值为6，故选【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】故选5、C【解析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离.【详解】圆的圆心为M(0,6)，半径为，设，则， 即，当 时，故的最大值为.故选C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据

7、圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.6、A【解析】等差数列中，故选A7、D【解析】由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案.【详解】函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.8、C【解析】全部用 表示，联立方程组，解出【详解】【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。9、A【解析】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为,故选A考点：集合的运算10、C【解析】求得区域的面积，

8、x2+y21表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案【详解】根据题意，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y21表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y21的概率是；故选C【点睛】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算11、C【解析】椭圆化标准方程为，求得，设直线方程为，代入椭圆方程，求得交点坐标，由向量坐标

9、运算求得【详解】椭圆方程为，取一个焦点,则直线方程为，代入椭圆方程得，所以，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求12、C【解析】分析：将图1的正方形放在图2中的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得.详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是34故选：C.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展

10、开图都不是正方体的表面展开图.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】把已知三棱锥补形为正方体，可得外接球的半径，则答案可求【详解】解：如图，把三棱锥ABCD补形为棱长为的正方体，可得为球的直径，则球的半径为，球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，正确补形是关键，是中档题14、【解析】分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求出答案.详解：由题可知，则，以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为轴建立空间坐标系，则，设 ， 在球面上，则设，当直线与圆相切时，取得最值.由得 故答案为点睛：本

11、题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.15、142；【解析】观察已知等式的规律，可猜想第行左边第一个奇数为后续奇数依次为：由第行第一个数为，即：，解得：，可得：，即可得解.【详解】第行等号左边第一个加数为第个奇数，即，于是第一个加数为，所以第个等式为，【点睛】本题主要考查归纳与推理，猜想第行左边第一个奇数为进而后续奇数依次为：是解题的关键.16、27【解析】数列an中，a11，anan1 (n2)，则数列an为等差数列，首项为1，公差为 ，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1

12、）代入点到直线的方程，根据正弦定理完成角化边，对比余弦定理求角；（2）将等式化简成“平方和为零”形式，计算出的值，利用面积公式计算的面积.【详解】解：（1）由题意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，结合，得.（2）由，得，从而得，所以的面积.【点睛】本题考查正、余弦定理的简单应用，难度较易.使用正弦定理进行角化边或者边化角的过程时，一定要注意“齐次”的问题.18、（1），（2）【解析】（1）根据离心率可得，再将点分别代入两个曲线，求得曲线方程；（2）首先设，根据导数的几何意义求切线的方程，设椭圆上关于l对称的两点为，那么设直线的方程，转化为直线与椭圆有交点，并且的中点落在切线上的问题，最后

13、根据，求得的范围.【详解】解：（1）由已知得：，所以把代入椭圆，解得，所以，得椭圆把代入抛物线得，所以抛物线（2）设点，抛物线，所以，所以切线.设椭圆上关于l对称的两点为，.（1）当时，设直线.代入椭圆得：，化简得.（*），所以MN的中点Q的横坐标，纵坐标.要使M，N关于直线l对称，则点Q在直线l上，即，化简得：，代入（*）式解得.（2）当时，显然满足要求.综上所述：，所以点P的纵坐标的取值范围是.【点睛】本题考查了求曲线方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系的问题，考查了转化与化归，以及计算能力，属于中档题型.19、 (1) (2) 或【解析】分析：（1）分别求出与在交点处切线的斜率，从而得到答

14、案；（2）对求导，分类讨论即可.详解：(1) ，又，与在交点处的切线相互垂直，,.又在上, ，故. (2)由题知 .,即时,令,得;令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使 .又，在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，又,有两个零点,符合题意.,即时,令,得,令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，在区间上存在一个零点,若要有两个零点,必有,解得.,即时,令,得，令,得或，在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间

15、上单调递增，,在区间上存在一个零点，又 ，在区间上不存在零点,即只有一个零点,不符合题意.综上所述, 或. 点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一20、（）（II）【解析】（I）计算出，由其实部为0，虚部不为0可求得值；（II）计算出，由其实部小于0，虚部大于0可求得的取值范围【详解】解：（I）由复数得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）0，解得a=-（II）=若在复平面上对应的点在第二象限，则有解得-【点睛】本题

16、考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题21、1【解析】分析：设两根为、，则， ，得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得或，设两根为、，则， ，得， 所以点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.22、（1）取得极大值，没有极小值（2）见解析（3）见解析【解析】（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由，整理得整理得，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解（3）不妨设，由（1）和由（2），得，利用单调性，即可作出证明【详解】（1）由题意，函数，则，当时，函数