辽宁省葫芦岛协作体2022年数学高二第二学期期末检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。1已知抛物线的参数方程为，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为ABC8D42已知中，,则满足此条件的三角形的个数是 ( )A0B1C2D无数个3已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（ ）ABCD4设，则ABCD5如图，在ABC中，AN=12AC，P是A14B1C126当函数y=x2x取极小值时，A1ln2B-1ln7现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）ABCD8设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A B

3、C D9已知向量、满足，且，则、夹角为（ ）ABCD10函数(为自然对数的底数)在区间上的最大值是( )ABCD11从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为( )A90B60C120D11012若满足约束条件，则的最大值为（ ）A9B5C11D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知随机变量的分布表如下所示，则实数的值为_.14已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是_15球的表面积是其大圆面积的_倍16从1,2,3,4,

4、5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）求证：.18（12分）设，函数.（1）若，极大值；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，求证：.19（12分）已知抛物线，为其焦点，过的直线与抛物线交于、两点（1）若，求点的坐标；（2）若线段的中垂线交轴于点，求证：为定值；（3）设，直线、分别与抛物线的准线交于点、，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由20（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数

5、），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.21（12分）如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在（1）若直线过原点，求证：为定值；（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值22（10分）已知函数，其中为常数且，令函数（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【

6、解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知 求得答案详解：抛物线的参数方程为，普通方程为 ，抛物线焦点为 ，且直线斜率为1，则直线方程为 ，代入抛物线方程得，设 根据抛物线的定义可知|，故选：C点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质对学生基础知识的综合考查关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题2、C【解析】由正弦定理得 即 即 ，所以符合条件的A有两个，故三角形有2个故选C

7、点睛：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，会根据三角函数值求对应的角.3、C【解析】根据切线方程计算，再计算的导数，将2代入得到答案.【详解】函数的图像在点处的切线方程是 故答案选C【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.4、D【解析】依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，的大小关系【详解】由于，；，又，故选【点睛】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用5、C【解析】以AB,AC 作为基底表示出【详解】P，N分别是AP=又AP=mAB+【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，

8、意在考查学生的逻辑推理能力6、B【解析】分析：对函数求导，由y=2x详解：y=即1+xln2=0，x=-点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题7、C【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票共有种取法，考点：古典概型及其概率计算公式8、D【解析】试题分析：由的导数为，则在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，所以，故选D考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程9、C【解析】对等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出，由此可求出、的夹角.【详解】等式两边平方得，即，又，所以，因

9、此，、夹角为，故选：C.【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】分析：先求导，再求函数在区间-1,1上的最大值.详解：由题得令因为.所以函数在区间-1,1上的最大值为e-1.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.11、D【解析】用所有的选法共有减去没有任何一名女生入选的组队方案数，即得

10、结果【详解】所有的选法共有种其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：故至少有一名女生入选的组队方案数为故选【点睛】本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。12、A【解析】先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线，观察直线在轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，点的坐标为，平移直线，当该直线经过点，它在轴上的截距取最大值，此时，取最大值，即，故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察

11、在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用分布列的性质，概率之和为，列方程解出实数的值.【详解】由分布列的性质，概率之和为，可得，化简得.，因此，故答案为.【点睛】本题考查分布列的基本性质，解题时要充分利用概率之和为来进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解析】设点的坐标为，求出点的坐标，由的外接圆面积取最小值时，取到最大值，则，利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立求出的表达式，令求出双曲线的离心率的值【详解】如下图所示，将代入双曲线的方程得，得，所以点，设点的坐标为，由的外接圆面积取最小值时，则取到

12、最大值，则取到最大值， ，当且仅当，即当时，等号成立，所以，当时，最大，此时的外接圆面积取最小值，由题意可得，则，此时，双曲线的离心率为，故答案为【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题15、【解析】设球的半径为，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为，则球的表面积为，球的大圆面积为，因此，球的表面积是其大圆面积的倍，故答案为：.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.16、1【解析】试题分析

13、：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解解：P（A）=，P（AB）=由条件概率公式得P（B|A）=故答案为点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析.【解析】分析：直接利用组合数的公式计算证明.=.点睛：（1）本题主要考查组合数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 组合数公式：=(，且)这里两个公式前者多用于数字计算，

14、后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算18、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；（2） ，就分类讨论即可；（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.详解:（1）当时，当时，当时，故的极大值为.（2），若时，则，是区间上的增函数，函数在区间有唯一零点；若，有唯一零点；若，令，得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是（3）由已知得， 所以，故等价于即不妨设，令，则，在上为单调增函数，所以即，也就是，故原不等式成立点睛： 导数背景下的函数零点

15、个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式19、（1）或；（2）证明见解析；（3）以线段为直径的圆过定点,定点的坐标或.【解析】（1）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由，可得出，代入韦达定理可求出的值，由此可得出点的坐标；（2）求出线段的中垂线的方程，求出点的坐标，求出、的表达式，即可证明出为定值；（3）根据对称性知，以线段为直径的圆过轴上的定点，设定点为，求出点、的坐标，由题意得出，利用平面向量数量积的坐标运算并代入韦达定理，可求出的值，从而得出定

16、点的坐标.【详解】（1）设点、，设直线的方程为，易知点，由可得，得.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，得.此时，因此，点的坐标为或；（2）易知，所以，线段的中点坐标为，则直线的方程为，即，在该直线方程中，令，得，则点.，因此，（定值）；（3）如下图所示：抛物线的准线方程为，设点、.，、三点共线，则，则，得，则点，同理可知点.由对称性可知，以线段为直径的圆过轴上的定点，则.，.，解得或.因此，以线段为直径的圆过定点和.【点睛】本题考查抛物线中的向量成比例问题、线段长度的比值问题以及圆过定点问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，

17、属于难题.20、（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）设，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将，代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.详解：（1）设，由得.在上即（为参数），消去参数得.曲线是以为圆心，以为半径的圆.（2）法1：点的直角坐标为.直线的普通方程为，即.设点坐标为，则点到直线的距离.当时，的最大值为.法2：将，代入并整理得：，令得.当时，取得最大值，依题意，.点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.21、（1）见解析（2），详见解析【解析】（1）设，由椭圆对称性得，把点，的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式；（2）设，则，由得：，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元