两条直线的交点-完整版PPT

1、1.4两条直线的交点问题引航1.两条直线有哪几种位置关系？2.如何根据直线方程判断两条直线的位置关系？3.两条直线的交点同时满足两条直线吗？两条直线的交点两条直线相交，交点一定同时在_，交点坐标是这两个方程组成的_的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的_只有一个解，那么以这个解为_的点，必是两条直线的_，因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的_.这两条直线上方程组方程组坐标交点公共解1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标就是方程组 的实数解.()(2)若方程组 无解，则两直线没有交点，两直线平行.()(3)

2、直线x=2与y=3没有交点.()【解析】(1)正确.根据直线交点坐标的含义，此说法是正确的.(2)正确.方程组无解，两直线没有交点，两直线平行.故这种说法是正确的.(3)错误.直线x=2与y=3交点为(2，3).故此说法是错误的.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)直线y= x-3与x-4y+11=0的位置关系是_.(2)直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点坐标为_.(3)直线y=x+2与直线y=-x+2a的交点在x轴上，则a=_.【解析】(1)两直线的斜率相等，且不重合，故两条直线平行.答案：平行(2)解方程组 得所以l1与l2的交点

3、坐标为(-2，2).答案：(-2，2)(3)解方程组 得 由交点在x轴上，则a+1=0，解得a=-1.答案：-1【要点探究】知识点 两直线的交点直线的位置关系与方程组解的个数的关系【微思考】若两直线组成的二元一次方程组有解，则两直线一定相交吗？提示：不一定.若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无穷多个解，则两直线重合.【即时练】1.已知直线l1：3x+4y-5=0与l2：3x+5y-6=0相交，则它们的交点是_.【解析】 解 得 所以交点为 .答案：2.已知直线l1：y=2x+m+2，l2：y=-2x+4的交点在第二象限，则m的取值范围是_.【解析】由 得因为两直线的交点在第二象限，所以

4、 即 所以m2.答案：m2【题型示范】类型一 两直线位置关系的判断【典例1】(1)下列直线中，与直线2x-y+3=0相交的是()A.4x-2y-6=0 B.y=2x-1C.y=2x+5 D.y=-2x-3(2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.【解题探究】1.题(1)中与直线2x-y+3=0相交满足的条件是什么？2.题(2)中两条直线平行、重合、垂直时应满足什么条件？【探究提示】1.斜率不等于2.2.两直线平行应满足k1=k2且

5、b1b2(斜截式)或两直线斜率不存在.两直线重合应满足k1=k2且b1=b2(斜截式)或两条直线斜率不存在.两直线垂直应满足k1k2=-1或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0.【自主解答】(1)选D.直线2x-y+3=0的斜率为2，只有D对应直线斜率为-2，所以它们相交.(2)解方程组 得所以l1与l2相交，交点是 解方程组方程组无解，所以两直线无公共点，l1l2.因为两直线方程可以化成同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合.【方法技巧】1.判断两直线相交的三种常用思路(1)方程组的观点：解两直线方程组成的方程组，若只有一个解，则两直线相交.(2)倾斜角的观点：倾斜角不

6、同，则两直线必相交.(3)斜率的观点：如果两直线的斜率都存在但不相等，则两直线必相交；如果两直线中一条斜率存在，而另一条斜率不存在，则这两条直线也相交.2.两直线斜率存在时位置关系的判断方法若两直线斜率存在，则把直线方程化成斜截式，根据直线的斜率和在y轴上的截距来判断.(1)若两直线斜率不相等，则两直线相交.(2)若两直线斜率相等，在y轴上的截距不等，则两直线平行.(3)若两直线斜率和在y轴上的截距都相等，则两直线重合.【变式训练】直线mx+ny+8=0和2x+my-7=0的交点坐标为(-4，3)，则m=_，n=_.【解析】由 得答案：54【补偿训练】已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0，

7、l2：ax+(a-2)y-1=0.当l1l2时，求a的值及垂足的坐标.【解析】当a2时，l1：y- ，l2：x .此时，l1l2且垂足坐标为当a2时，由l1l2知：k1k2 -1，所以a-3.所以l1：-5x+3y-30，l2：-3x-5y-10.由 解得所以l1与l2的垂足坐标为 .综上：a的值为2，垂足坐标为 ；或a的值为-3，垂足坐标为类型二 过两直线交点的直线方程【典例2】(1)过两条直线l1：x=-2与l2：2x+y=-3的交点P且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为_.(2)求经过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，且与直线2x+3y-10=0垂直的直线方程.【解题探究】1.题

8、(1)中已知直线上一点，如何求直线的方程？2.题(2)中过两直线交点求与直线垂直的直线方程可选用哪种方程形式？【探究提示】1.设出直线的斜率，利用点斜式求解.2.根据斜率之积是-1求出斜率可选用点斜式方程.【自主解答】(1)方法一：由 得即交点P(-2，1).由题意知，所求直线的斜率存在且不为0.设直线l：y-1k(x+2).令x0，得y1+2k；令y0，得x-2- .由1+2k-2- ，得k-1或k- .故所求直线方程为x+y+10或x+2y0.方法二：设所求直线方程为x+2+(2x+y+3)0，即(1+2)x+y+2+30，()令x0，得令y0，得由题意得得- 或-1.代入()式得所求直线

9、方程为x+2y0或x+y+10.答案：x+2y0或x+y+10(2)解方程组 得交点(-5，2).因为直线2x+3y-100的斜率k- ，所以所求直线的斜率是 .因此所求直线方程为3x-2y+190.【延伸探究】将题（2）改成“与直线2x+3y-100平行”，求直线方程.【解析】解方程组 得交点(-5，2).因为直线2x+3y-100的斜率k- ，所以所求直线方程为y-2- (x+5).即2x+3y+40.【方法技巧】过交点的直线系方程的应用(1)求直线方程：若两相交直线的方程分别为l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0.则过其交点直线方程可设为：A1x+B1y+C1+

10、(A2x+B2y+C2)=0(不包含直线l2).(2)确定动直线的定点：形如A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0的直线一定过定点，且定点为直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点.直线系A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0不含直线l2，若想包括l2，则可以写成A2x+B2y+C2+(A1x+B1y+C1)=0的形式.【变式训练】过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且在y轴上截距为8的直线的方程是()A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0【解题指南】求出两直线的交点，又直线在y轴上截距已知

11、，进而可确定直线上的两点，进而可求.【解析】选A.解 得 又直线在y轴上截距为8，即直线过点(0，8)，直线的斜率为k-2，故所求的直线方程为y-6-2(x-1)，即2x+y-80.【补偿训练】已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标.【解析】原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示过直线x-2y+5=0与直线2x+3y-18=0交点的直线系(不包括直线2x+3y-18=0)，无论a取何值，它都过两直线的交点，由解得所以直线必过定点(3，4).【拓展类型】两直线交点的综合应用【备选例题】(1)直线

12、ax+2y+8=0，x+3y-4=0和5x+2y+6=0相交于一点，则a的值为_.(2)是否存在m，使得三条直线3x-y+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0能够构成三角形？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)解方程组 得所以直线x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点坐标为(-2，2)，代入直线方程ax+2y+8=0，得-2a+4+8=0，解得a=6.答案：6(2)存在.能够使直线mx+y=0，3x-y+2=0，2x+y+3=0构成三角形的m值有无数个，因此我们考虑其反面情况，即三条直线不能构成三角形，有两种可能：有两条直线平行，或三条直线过同一点.由于3x-

13、y+2=0与2x+y+3=0相交，且交点坐标为(-1，-1)，因此，mx+y=0与3x-y+2=0平行时，m=-3；mx+y=0与2x+y+3=0平行时，m=2；mx+y=0过3x-y+2=0与2x+y+3=0的交点时，m=-1.综上所述，三条直线不能构成三角形时，m=-3或m=2或m=-1.满足题意的m值为m|mR且m-3且m2且m-1.【方法技巧】线共点问题的求解方法(1)两直线共点求参数范围时，应先求出交点坐标，然后结合已知条件列出关于参数的不等式或方程，最后求出参数的范围或值.(2)已知三条直线相交于一点，求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点代入第三条直线即可，利用方程思想求

14、参数.(3)给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数满足的条件，可以先找构不成三角形的条件，然后求其反面.【易错误区】两条直线相交求参数中的误区【典例】若三条直线l1：ax+y+1=0，l2：x+ay+1=0，l3：x+y+a=0能构成三角形，则a应满足的条件是()A.a=1或a=-2 B.a1C.a1且a-2 D.a1且a-2【解析】选D.三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.由条件不易直接求参数，可从反面着手求解.(1)若三条直线重合，据三条直线的方程可知a=1.(2)若三条直线交于一点，由解得 将l2，l3的交点(-a-1，1)代入l1的方程解得a=1(

15、舍去）或a=-2.(3)若l1l2，由aa-11=0，得a=1，当a=1时，l1与l2重合.(4)若l2l3，由11-a1=0，得a=1，当a=1时，l2与l3重合.(5)若l1l3，由a1-11=0，得a=1，当a=1时，l1与l3重合.综上，当a=1时，三条直线重合；当a=-1时，l1l2；当a=-2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a1且a-2.【常见误区】错解错因剖析选C在处由于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点和重合的情况而忽视了其他情况导致错选C.选B在处只考虑直线平行或重合的情况，却忽视了三条直线相交于一点的情况而错选B.【防范措施】1.正难则反的转化意识对于正面求解有困难的题目，求解时可考虑从问题的反面着手，迂回转化求解，如本例中三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且