运筹学排队论新PPT

1、关于运筹学排队论新第一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月第十二章 排队论 到达间隔的分布和服务时间的分布本章内容基本概念单服务台负指数分布排队系统的分析多服务台负指数分布排队系统的分析一般服务时间M/G/1模型第二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论(Random Service System Theory)。1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.KErlang)在研究电话系统时创立的。具体地说，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优设计和最优控制问题。特别是自二十世纪60年代以来，由于计

2、算机的飞速发展，使排队论的应用有了更广阔的前景。第三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Where the Time Goes ?美国人一生中平均要花费- 6年 饮食5年 排队等待4年 做家务2年 回电话不成功 1年 寻找放置不当的物品8个月 打开邮寄广告6个月 停在红灯前第四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月商业服务系统系统类型顾客服务台理发店人理发师银行出纳服务人出纳ATM机服务人ATM机商店收银台人收银员管道服务阻塞的管道管道工电影院售票窗口人售票员机场检票处人航空公司代理人经纪人服务人股票经纪人第五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月运输服务系统系统类型

3、顾客服务台公路收费站汽车收费员卡车装货地卡车装货工人港口卸货区轮船卸货工人等待起飞的飞机飞机跑道航班服务人飞机出租车服务人出租车电梯服务人电梯消防部门火灾消防车停车场汽车停车空间急救车服务人急救车第六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 面对拥挤现象，如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾，这就是排队论所要研究解决的问题之一。第七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月第一节 基本概念第八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月（一）排队系统的特征及组成排队系统的共同特征: 有要求得到某种服务的人或物。

4、排队论里把要求服务的对象统称为“顾客” 有提供服务的人或机构。把提供服务的人或机构称为“服务台”或“服务员” 顾客的到达、服务的时间至少有一个是随机的，服从某种分布。第九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月一般的排队系统，都可由图12-1加以描述。顾客源排队结构服务机构排队规则顾客到来服务规则离去图12-1排队系统第十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 排队系统都有输入过程、排队规则和服务台等3个组成部分：1、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流一般可以从3个方面来描述输入过程。排队系统的组成第十一张，PPT共一百三十一页，

5、创作于2022年6月(1) 顾客总体数组成(又称顾客源)是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。(2)顾客到达方式。描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。第十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月(3)顾客流的概率分布，或称顾客相继到达时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。 顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干

6、种。第十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月2、排队规则 这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。损失制混合制队长有限等待时间有限逗留时间有限排队规则等待制先到先服务后到先服务随机服务优先权服务第十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月3服务台情况。服务台可以从3方面来描述： (1) 服务台数量及构成形式图12-2 单队列-单服务台排队系统第十五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月图12-3 单队列S个服务台并联的排队系统图12-4 S个队列S个服务台的并联排队系统第十六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月图12-5 单队多个服务台的串联排队系统图

7、12-6 多队多服务台混联、网络系统第十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月(2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。(3) 服务时间的分布。在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔朗分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。第十八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的不同，对排队模型进行分类。DGKendall在1953年提出了模型分类方法，1971年在排队论符号标准化会议上，将Kendall符号扩充为如下固定

8、格式：X/Y/Z/A/B/C各符号的意义为：（二）排队模型的分类第十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月X表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：X/Y/Z/A/B/CM表示到达过程为泊松过程或负指数分布；D表示定长输入；Ek表示k阶爱尔朗分布；GI表示一般相互独立的时间间隔分布；G表示一般服务时间的分布。第二十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Y表示服务时间分布，常用下列符号：X/Y/Z/A/B/CM表示服务过程为泊松过程或负指数分布；D表示定长分布；Ek表示k阶爱尔朗分布；G表示一般相互独立的随机分布。第二十一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Z表示

9、服务台(员)个数： “1”则表示单个服务台，“s”(s1) 表示多个服务台。X/Y/Z/A/B/CA表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量： 时为等待制系统，此时一般省略不写；若为有限整数时，为混合制系统。第二十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月B表示顾客源限额。分有限与无限两种，表示顾客源无限，此时一般也可省略不写。X/Y/Z/A/B/CC表示服务规则，常用下列符号： FCFS：表示先到先服务； LCFS：表示后到先服务； PR：表示优先权服务。第二十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例如：某排队问题为 MMSFCFS则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)

10、；服务时间为负指数分布；有s(s1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。可简记为： M/M/s 第二十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个、4个、5个符号。如不特别说明均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等待制系统。第二十五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月（三）排队系统的主要数量指标1. 队长和排队长队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾 客数与正在接受服务的顾客数之和)。 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。第二十六张，PPT共一百三十一页，创作于2

11、022年6月2等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间，是随机变量。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。第二十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月3忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，它关系到服务员的服务强度。与忙期相对的是闲期，即服务机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。 第二十八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 除了上述几个基本数量指标外，还会用到其他一些重要的指标： 损失制或系统容量

12、有限的情况下，由于顾客被拒绝，而使服务系统受到损失的顾客损失率及服务强度等，也都是十分重要的数量指标。第二十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 4. 一些数量指标的常用记号 (1)主要数量指标 N(t)：时刻t系统中的顾客数(又称为系统的状态)，即队长； Nq(t)：时刻t系统中排队的顾客数，即排队长； T(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间； Tq(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间。 第三十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 上面数量指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布一般很困难。注意到相当一部分排队系统在运行了一定时间

13、后，都会趋于一个平衡状态(或称平稳状态)。 在平衡状态下，这些量与系统所处的时刻无关，而且系统的初始状态的影响也会消失。因此，我们在本章中将主要讨论与系统所处时刻无关的性质，即统计平衡性质。第三十一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月L或Ls平均队长稳态系统任一时刻的顾客数的期望值；Lq平均等待队长或队列长稳态系统任一时刻等待服务的顾客数期望值；W或Ws 平均逗留时间 进入稳态系统的顾客逗留时间期望值；Wq平均等待时间 进入稳态系统的顾客等待时间期望值。第三十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Pn 系统的状态Pn=PN=n：稳态系统任一时刻状态为n的概率。 当 n =

14、0 时，Pn即P0为稳态系统所有服务台全部空闲的概率。 第三十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 (2)其他常用数量指标s系统中并联服务台的数目平均到达率（单位时间内到达的平均顾客数）1/平均到达间隔平均服务率（单位时间内可以服务完的平均顾客数）1/ 平均服务时间第三十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时，若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不一定全部进入系统，为此引入：e 有效平均到达率，即每单位时间实际进入系统的平均顾客数（期望值），不同于 。 对于等待制的排队系统，有： e 第三十五张，PPT共一百

15、三十一页，创作于2022年6月第二节 到达间隔的分布和服务时间的分布第三十六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 一、Poisson流（Poisson过程） 定义 满足以下三个条件的输入流称为Poisson流1、无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。2、平稳性：在时间区间t, t+t)内到达1个顾客的概率只与t有关。即 表示单位时间内有一个顾客到达的概率。3、普通性：设在t, t+t）内到达多于一个顾客的概率极小，即第三十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Poisson流与Poisson分布定理1 对于一个参数为的Poisson流，在0，t内到达n个顾客的概

16、率为即服从以为参数的Poisson分布。 定理1说明 如果顾客的到达为Poisson流的话，则到达顾客数的分布恰好为Poisson分布。第三十八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 二、负指数分布 在实际的排队系统中服务时间的概率分布可以是各种形式，但在排队论中，最容易进行数学处理、最常用的一种重要分布是负指数分布。 设随机变量T服从以为参数的负指数分布，它的分布函数为：第三十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月负指数分布的性质： 性质1 由条件概率公式容易证明 性质2 当单位时间内的顾客到达数服从以为平均数的泊松分布时，则顾客相继到达的间隔时间T服从负指数分布。 这性质

17、称为无记忆性。若T表示排队系统中顾客到达的时间间隔，那么这个性质说明一个顾客到来所需要的时间与过去一个顾客到来所需要的时间s无关，所以说在这种情形下的顾客到达是纯随机的。 第四十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月由性质2可知： 相继到达的间隔时间是独立且为相同参数的负指数分布，与输入过程为泊松流（参数为 ）是等价的。 根据负指数分布与泊松流的关系可以推导出，当服务机构对顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，如果服务机构处于忙期，则该服务机构的输出，即服务完毕离开服务机构的顾客数将是服从泊松分布的泊松流。其中为每个顾客的平均服务时间，也是顾客相继离开的间隔。 第四十一张，PPT共一百

18、三十一页，创作于2022年6月三、k阶爱尔朗分布定理 设v1，v2，vk是k个互相独立的随机变量，服从相同参数k的负指数分布，那么S=v1+v2+vk服从k阶Erlang分布，S的密度函数为第四十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月K=1时爱尔朗分布化归为负指数分布，当K时，得到长度为1/的定长服务。m=1k=1k=2k=4k=8第四十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月第三节 单服务台负指数分布排队系统的分析第四十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月标准排队模型 M/M/1:/FCFS顾客到达的时间间隔是负指数分布，即输入流是参数为的Poisson流服从参

19、数为的负指数分布一个服务台排队系统的容量无限顾客源的容量无限实行先到先服务的一个服务系统第四十五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月一、系统稳态概率pn的计算 假设在t+t时刻系统中顾客数为n的概率Pn(t+t) Pn(t)Pn-1(t)Pn+1(t)Pn(t)Snt +t时刻SnSnSn+1Sn-1t时刻无到达，无离开无到达，离开一个到达一个，无离开到达一个，离开一个第四十六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月由于这四种方式互不相容，故由概率的加法定理得： 该差分方程组为瞬态解，需求稳态解。 第四十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月M/M/1:/FCFS稳态

20、时状态转移图012n-1nn+1稳态情况下，系统状态已不随时间发生变化： 第四十八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月稳态情况下，系统状态已不随时间发生变化： 第四十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月得到 令称为服务强度，则得第五十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月系统的过渡状态与稳定状态过渡稳定第五十一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月二、系统的数量指标1、服务台空闲的概率和忙的概率： 空闲的概率：P0=1- 忙的概率： 1-P0= 2、系统中平均顾客数（队长期望值Ls）： 第五十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月3、系统中等待的

21、平均顾客数（队长期望值Lq）： 4、系统中顾客逗留时间的期望值： 第五十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月5、队列中顾客逗留时间的期望值： 现将以上公式归纳如下： 它们相互关系如下： 第五十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Little公式下列公式对任何服务系统均成立第五十五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为100辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求1、收费处空闲的概率；2、收费处忙的概率；3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。第五十六张，PPT

22、共一百三十一页，创作于2022年6月解：根据题意, =100辆/小时,1/=15（秒/辆）=1/240（小时/辆）,即240（辆/小时）。因此，=/=100/240=5/12。系统空闲的概率为：P0=1-=1-(5/12)=7/12=0.583系统忙的概率为：1-P0=1-(1-)=5/12=0.417第五十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月系统中有1辆车的概率为：P1=(1-)=0.4170.583=0.243系统中有2辆车的概率为：P2=2(1-)=0.417 20.583=0.101系统中有3辆车的概率为：P3=3(1-)=0.417 30.583=0.0421第五十八张，

23、PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200辆小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒辆。求Ls、Lq、Ws和Wq。第五十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月解：根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/=5/6。第六十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月有限队列模型 M/M/1:N/FCFS 如果系统的最大容量为N时，排队等待的顾客最多为N-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。第六十一张，PPT共一百三十一页，创作于20

24、22年6月系统的状态概率平衡方程对于状态0： P1=P0对于状态k：Pk-1+Pk+1=(+)Pk 0k3)= 0.570.75排队长1.7（人）2.25（人）（各子系统）平均队长3.95（人）9（人）（整个系统）平均逗留时间4.39（分钟）10（分钟）平均等待时间1.89（分钟）7.5（分钟）第八十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月M/M/c:N/FCFS模型 离开服务台服务台服务台顾客到达顾客离去顾客离去顾客离去队列设系统容量为N(Nc) 。设顾客到达的速率为，每个服务台服务的速率为，=/c。由于系统不会无限止地接纳顾客，对不必加以限制。 第九十张，PPT共一百三十一页，创作

25、于2022年6月状态转移图与状态转移方程对状态0:P0=P1对状态1:P0+2P2=(+)P1对状态c：Pc-1+cPc+1=(+c)Pc对状态N PN-1=cPN 01cN第九十一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月状态概率第九十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月运行指标 第九十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例6 某旅馆有8个单人房间，旅客到达服从Poisson流，平均速率为6人天，旅客平均逗留时间为2天，求：(1)每天客房平均占用数；(2)旅馆客满的概率。 第九十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月解：旅馆8个房间全满的概率为0.423

26、 平均占用客房数为6.9间。第九十五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月M/M/c:/m/FCFS模型 顾客到达修理速率发生故障等待修理的机器修理速率修理速率正在修理的机器到达速率 (m-n)修理速率c运行的机器数 m-n第九十六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月状态概率 其中 第九十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月运行指标有效到达速率e为单位时间内出现故障的机器数，有e=(m-Ls) 第九十八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例7 车间有5台机器，每台机器的故障率为1次小时，有2个修理工负责修理这5台机器，工作效率相同，为4台小时。求：(1)

27、等待修理的平均机器数；(2) 正在修理的平均机器数；(3)每小时发生故障的平均机器数；(4)平均等待修理的时间；(5)平均停工时间。第九十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月解 可以计算得到（算式略）：P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.002 第一百张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月由此，计算系统的各项运行指标如下：第一百零一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月第5节 一般服务时间M/G/1模型第一百零二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月服务时间一般分布时，需要知道服务时间的均值 和方差 。当 时，排

28、队系统可以达到平稳状态。PK公式第一百零三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月1 负指数服务时间M/M/1模型只有负指数分布时排队长的一半。2 定长服务时间M/D/1模型第一百零四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月3 k阶爱尔朗服务时间M/Ek/1模型若顾客需接受k个串行的服务台的服务后才离开，且每个服务台服务时间服从负指数分布，平均服务时间相等。则总服务时间服从k阶爱尔朗分布。第一百零五张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月Erlang分布的均值和方差总服务时间服从爱尔朗分布：每个服务台的平均服务时间是：第一百零六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月M

29、/Ek/1系统的运行指标第一百零七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例8 有一汽车冲洗台，汽车按Poisson流到达，平均每小时到达18辆；冲洗时间T的平均值=0.05小时/辆，方差Var(T) =0.01(小时/辆)2，求该洗车台的运行指标，并对它进行评价。解：本例是M/G/1系统，且已知第一百零八张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 可见顾客等待时间太长，队列也太长。主要原因是服务时间的方差太大！第一百零九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月例9 某单人裁缝店做西服，每套需经过4个不同的工序，4个工序完成后才开始做另一套。每一工序的时间服从负指数分布，期望值

30、为2小时。顾客到来服从泊松分布，平均订货率为5.5套/周（设一周6天，每天8小时）。问一顾客为等到做好一套西服期望时间有多长？解：=5.5套/周1/:平均每套所需时间1/4:平均每工序所需时间，为2小时1/8套/小时6套/周第一百一十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月顾客为等到做好一套西服期望时间：第一百一十一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月排队论练习题第一百一十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 练习1：某修理店只有一位修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均每小时4人；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：修理店空闲的概率；店内恰

31、有3位顾客的概率；店内至少有一位顾客的概率；在店内平均顾客数；每位在店内平均逗留时间；等待服务的平均顾客数；每位顾客平均等待服务时间；顾客在店内逗留时间超过10分钟的概率。第一百一十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月解：本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中 =4， =1/0.1=10(人/小时），=/=2/510=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677PTt=e-(-)tt=10分钟, =10人/小时=10/60 =1/6 =4人/小时=4/60 =1/15第一百一十六张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 练习2：考虑一个铁路列车编组站。设待编列车到达时

32、间间隔服从负指数分布，平均每小时到达2列；服务台是编组站，编组时间服从负指数分布，平均每20分钟可编一组。已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站。求： 1、在平衡状态下系统中列车的平均数； 2、每一列车的平均逗留时间； 3、等待编组的列车平均数； 4、列车在系统中的平均等待编组时间； 5、如果列车因站中2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车每小时费用为a元，求每天由于列车在站外等待而造成的损失。第一百一十七张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月解： 本例可看成一个M/M/1/排队问题，其中=2， =3，=/=2/32=W1-P0-P1-P2

33、=W1-(l-)-(l-)1-(l-)2 =1*3=3=(2/3)3=0.296（小时） 故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元第一百一十九张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月练习3： (病人候诊问题) 某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小平均有4个病人，医生每小时平均可诊5个病人，病人的到来服从泊松分布，医生的诊病时间服从负指数分布，试问：1、该科室平均有病人数；平均排队候诊病人数；看一次病平均所需的时间；排队等候看病的平均时间 2 如果满足99%以上的病人有座，此科室至少应设多少座位? 3 如果该单位每天24小时上

34、班，病人看病1小时因耽误工作单位要损失30元，这样单位平均每天损失多少元?4 如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊6个病人，单位每天可减少损失多少?可减少多少座位?第一百二十张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月解：该模型为MM1该科室平均有病人数为 该科室内排队候诊病人数为 看一次病平均所需的时间为 排队等候看病的平均时间为 为满足99%以上的病人有座，设科室应设m个座位，则m应满足 第一百二十一张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 所以该科室至少应设20个座位 如果该单位24小时上班，则每天平均有病人244=96人，病人看病所花去的总时间为961=96小时，因看病平均每

35、天损失3096=2880元，如果医生每小时可诊6个病人， ，则 LLWWsqsq=2430513()().()()人人小时小时第一百二十二张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月 这样单位每天的损失费为960.530=1440元，因而单位每天平均可减少损失2880-1440=1440元，这时为保证99%以上的病人有座，应设座位数个比原来减少了9个。第一百二十三张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月练习4:某汽车加油站有两台加油泵为汽车加油，加油站内最多能容纳6辆汽车。已知顾客到达的时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达18辆汽车。若加油站中已有K辆车，当K2时，有K/6的顾客将自动离去。加油时间服从负指数分布，平均每辆车需要5分钟。试求：非标准的M/M/2/N模型第一百二十四张，PPT共一百三十一页，创作于2022年6月（1）系统空闲的概率为多少？ （2）求系统满的概率是多少？ （3）求系统服务台不空的概率? （4）若服务一个顾客,加油站可以获得利润10元,问平均每小时可获得利润为多少元？ （5）求每小时损