高中数学算术平均数与几何平均数经典例题

1、例已知,b,，求证b.证明：b，b，三式相加，得b)，即b.说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握例已知、b、是互不相等的正数，求证：(b)b()(b)证明：b，(b)同理可得：b()，(b)三个同向不等式相加，得(b)b()(b)说明：此题中、b、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立特别地，b，b时，所得不等式仍不取等号例求证bbb)分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式b，并能由2(b)这一特征，思索如何将b进行变形，进行创造”证明：b，两边同加b得b)(b)即bbbb(b)同理可得：bb，三式相加即得bbb)典型例题四例若正数、b满足b，则的取值范围是解：,b，b，令，得，或，

2、.的取值范围是.得出前者和后者的问题根源都是对的理解，前者忽视了后者错误地将视为因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之例（）求的最大值（）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值（）若，且，求的最小值(解：（）(即的最大值为时，即时，即时，取得此最大值（）的最小值为，当且仅当，即，时取得此最小值（）)()即即的最小值为当且仅当时取得此最小值说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件例求函数的最值分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如：，应分别对两种情况讨论，如果忽视的条件，就会发生如下错误：解：当时，又，当且

3、仅当，即时，函数有最小值当时，又，当且仅当，即时，函数最小值例求函数的最值分析：(时单调递增这一性质，求函数的最值时单调递增这一性质，求函数的最值解：设，当时，函数递增故原函数的最小值为，无最大值例8求函数的最小值再利用函数的单调性可得结果或用函数方程思想求解解：解法一：设，故(由，得：，故：函数为增函数，从而解法二：设，知，可得关于的二次方程，由根与系数的关系，得：又，故有一个根大于或等于2，设函数，则，即，故要知道，无实数解，即，所以原函数的最小值不是2错误原因是忽视了等号成立的条件当、b为常数，且为定值，b时，b，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形b(b)，当b之差最小时，再求原函

4、数的最大（小）值例9bb求例9bb求b的最小值b.b故b的最小值是b解：由b，得b(b).又b,得，即bbb说明：本题易出现如下错解：bbb，故的最小值是8bb和b，但在bb）排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾例10已知：,b,，求证：bb分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明证明：,即.bbb).同理：b,b).bbb.b说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式b的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一

5、定的普遍性例11设、b、d、，且bd，当bd时，e.b当bd时，e.分析：如何将b与b用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键算术平均数与几何平均数定理b两边同加b之后得bb解：由bb，则有bdbdbd,eee.最大值说明：常有以下错解：ebd)，bd故e,e两式相除且开方得eee错因是两不等式相除，如，相除则有不等式bb是解决从“和”到“积”的形式从“和”到bb或b(b)例12已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件分析：由已知条件，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证证明：()()()等号成立，当且仅当时(),2,(

6、)由以上得,即当,时等号成立式例13已知，且，求的最大值分析：由，可得，故，令利用判别式法可求得（即有范围的限制，还必须综合韦达定理展开讨论仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解解法一：由，可得，注意到可得，当且仅当中得，故的最大值为18解法二：,，代入中得：解此不等式得下面解法见解法一，下略说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷例14若b，且b，求证：b分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而b证明：b，又，b，即b，即同理bbb当且仅当b时，等号成立

7、说明：本题巧妙利用b的条件，同时要注意此不等式是关于、b、的轮换式例15设b，求证：bb2(b)分析：本题的难点在于bb不易处理，如能找出b与b之间的关系，问题可得到解决，注意到：bb)(b)b)b，则容易得到证明证明：b，b)b(b)，于是bbb同理：bb，三式相加即得：bb2(b)说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于、b、的轮换式因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性例16已知：b（其中表示正实数）求证：b求证：bb分析：要证明的这一串不等式非常重要，b称为平方根，b称为算术平均数，称为几何平均数，称为调和平均数b称为算术平均数，称为几何平均数，称

8、为调和平均数bbbbbbbbbbbb，当且仅当“b”时等号成立b，等号成立条件是“b”bbbb，等号成立条件是“b”bbbbbbbbb，等号成立条件是“b”说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理较法是证明不等式的最基本、最重要的方法例17设实数，b，b，满足，b，b，求证()()(bb)分析：由条件可得到，同号为方便，不妨都设为正将求证式子的左边展开后可看出有交叉项和无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证证明：,同理，由b，b知与同号，与同号，同号不妨都设为正bbbbbbbbbb2|bbbbbb(bb)，即()()(bb)说明：本题是根据题意分析得

9、，同号，然后利用均二次方程根的判别式，可能会有另一类证法实际上，由条件可知，为同号，不妨设同为正又b，b，b，b不等式b，b对任意实数恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件两式相加得()bb)()()()(bb)例18如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？,即,即意条件的利用解：设每间羊圈的长、宽分别为，则有，即设,上式当且仅当此时此时,羊圈长、宽分别为m，3m时面积最大，说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽）将题中条件数学化，（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在

10、条件之下求积的最大值的方法：直接用不等式，即可出现积当然，也可用“减少变量”的方法：)且仅当时取“=”例19某单位建造一间地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m，房屋侧面的造价为800元/m，屋顶的造价为5800元如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系从已知条件看，矩形地面面积为12m，但长和宽不知道，故考虑设宽为m，则长为m，再设总造价为由题意就可以建立函数关系了m，则长为m；设房屋的总造价为根据题意，可得：当，即时，有最小值34600元因此，当

11、矩形地面宽为4m时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立例20某单位决定投资3200定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，顶部每1m造价20元计算：(1)仓库底面积的最大允许值是多少？(2)设计为多长？关系解：设铁栅长为m，一堵砖墙长为m，则有.由题意得应用算术平均数与几何平均数定理，得,(*)即：(从而：因此的最大允许值是m，取得此最大值的条件是，而，由此求得，即铁栅的长应是m说明：本题也可将代入（*）式，导出关于的二次方程，利用判别式法求解典型例题二十一度不超过km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为元（）把全程运输成本元表示为速度km/h的函数，并指出这个函数的定义域；（）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式