激光课程设计报告

1、激光课程设计报告激光谐振腔自再现模Fox-Li 数值迭代解法及MATLAB实现班级：学号：姓名：小组成员：原理说明当光在两镜面间往返传播时，一方面将受到激活介质的光放大作用，另一方 面将经受各种损耗。由反射镜的有限大小所引起的衍射损耗就是其中之一。在决 定激光开腔中激光震荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用。激光谐振腔的自再现模的计算常用的方法有Fox-Li迭代法、快速傅立叶变换 法(FFT)、等效透镜波导法、特征向量法、有限元法(FEM)和有限差分法(FDM)等。这里我们运用Fox-Li数值迭代法求解激光谐振腔的自再现模，给出了基于 Matlab下的条形腔、方形镜腔、圆形镜腔的模式求解程序

2、。通过分析计算了解 激光谐振腔的自再现模的特点。对于开放式光腔，镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个界面间往返 传播的结果。因此，两个界面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视 为由另一个镜面上的场所产生，于是求解镜面上稳态场的分布问题就归结为求解 一个积分方程。由菲涅尔一基尔霍夫衍射积分公式可知：设已知空间任意曲面S上光波场地 振幅和相位分布函数为u(x , y),由它所要考察的空间任一点P处场分布为 u(x,y)，二者之间有以下关系式：u(x, y) = / jj u(x, y) - (1 + cos0)dS4兀sp式中，P为(x，,y，)与(x,y)连线的长度，。为S面上点(x

3、，,y处的法 线和上述连线之间的夹角，ds，为S面上的面积元，k为波矢的模。经过n次传播产生的场un+i(x,y)与产生它的场un(x,y)间应满足下列 迭代关系：u i(x,y) = jj u (x,y)e-ikpdss当光波在腔内往返渡越或传输足够多次渡越后，腔内的场便逐步趋于一个稳 定状态，即：un+i(x,y) = 1un(x，,y，)其中Y是一个复常数，表示自再现模在腔内往返一次的功率损耗，其幅角表 示往返一次的相移。在这里以E(x,y)表示开腔中不受衍射影响的稳定场分布函 数，其标准形式为：E(x,y) = yjj K(x,y,x,y)E(x,y)dss常数Y称为本征值，其中:e-

4、常数Y称为本征值，其中:e-ikp(x,y,x,y)一 一、 iK(x,y,x ,y )二_LK(x,y,x,y)为积分方程的核。而满足的场分布函数E(x，y)就是腔的自 再现模，它描述两个镜面上的稳定态场分布。它的模 描述镜面上的振幅分布； 而其幅角描述镜面上场的相位分布。实现方案Fox-Li数值迭代法就是利用迭代公式U 1 = h KuqdS 进行数值计算， 式中K为积分方程的核。假设在某一平面镜上存在一初始场分布u1，带入上式可 得第一次渡越后在第二个镜面上生成的场分布u2，再带入上式迭代可得第二次 渡越后在第一个镜面上生成的场分布u3，以此类推，迭代运算后形成一种稳定 场分布，达到稳定

5、条件。MATLAB算法实现的流程图如右图，且需以下几个步骤(以方形腔为例)： 第一步：确定迭代公式u(x, y) = jj u(x, y) e (1 + cos0)dS 4兀sP第二步：确定p对于不同的光学谐振腔(如平行平面腔、 共焦腔、一般球面腔等)，其中p具有不同的 形式。对于方形镜平行平面腔，有：=& - x)2 + (y y)2 + L赋值：牝L+ s渡越次数计算菲涅尔数NP 第三步：离散处理将方形腔对称划分：左镜x或y方向 (-a，a)赋值：牝L+ s渡越次数计算菲涅尔数NP 第三步：离散处理将方形腔对称划分：左镜x或y方向 (-a，a)之间划分N等分，则有N+1个点， 每个区间为2

6、a/N。则右边镜面上每一点的求 解都需在左边镜面上逐点计算一遍并相加。 第四步：分离变量方形腔的计算不需考虑整个面上的点的 影响，根据分离公式u(x，y) =u(x)u(y)可 以作这样的近似：只考虑相对镜面上对应点 所在的那一行、一列上点的影响。带入积分 公式可得到：初始场分布数值化带入衍射积分公式归一化渡越次数H第五步：赋值初始场分布：平面波，相位为零。u1(x，寸)三 1确定相应的波长、腔长、矩形镜大小第六步：复数处理matlab中可以直接对复数进行运算，abs可直接 对复数取幅值，描述场的复振幅分布；angle可对 复数求相角，描述场的相位分布。第七步：归一化处理每次由一面到另一面的渡

7、越迭代完成后，所得的场分布数值都要进行一次归 一化，这是由于在使用了诸多假设和近似后，具体值已经没有实际意义，我们所 感兴趣的只是形成自在现模时的相对振幅与相对相位的分布关系，所以每次迭代 后都要参考中心点的振幅和相位值进行归一化处理。即将一个面上的所有点的振 幅除以中心点的振幅，所有点的相位减去中心点的相位。下次迭代时，以归一化的值作为下次的迭代初值进行迭代。第八步：自再现判据将u1(x,y)代入迭代公式，求出u2(x, y)，归一化后再代入迭代公式求 出u3(x,y)，计算按此过程循环，直到求得一个稳定状态为止，即将这种迭代 一直进行到uq 1和uq只相差一个与坐标无关的常数因子为止。结果

8、与讨论渡越次数对场分布的影响:着渡越次数的增加，这种变化越来越小。场的振幅和相位分布越来越趋于稳定。 在经过100次渡越后，场的振幅和相位分布逐渐趋向一个稳定的分布，但仍存在 一定的不稳定误差。2.方形镜腔菲涅尔数对场分布的影响:上图分别为菲涅尔数N分别为6.25和1时方形镜腔二维场分布情况。可以 看出镜面中心处相对振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐下降，振幅分布具有偶对 称性。菲涅尔数N越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小。初始激发均 匀平面波在经过足够多次的传播后，不是严格意义的平面波，不但振幅发生了变 化，而且相位分布也发生了变化，镜面已不再是等相位面了。3.圆形镜腔菲涅尔数对场分布的

9、影响：上图分别为菲涅尔数N分别为6.25和1时圆形镜腔二维场分布情况。可以 看出场更集中在反射镜中心，在镜边缘下降得更低。菲涅尔数N越大，衍射损耗 越小，镜边缘处的相对振幅越小。菲涅尔数N越小，场分布曲线越平滑，在整个 直径上的场的振幅分布更接近于标准的高斯分布，而整个镜面上的场分布则具有 圆对称性。4.不同腔形对场分布的影响:方形镜腔，圆形镜腔渡越100次后的三维场分布情况。x方向具有偶对称性；方形镜腔和圆形镜腔的 但圆形镜中心场振幅更集中。上图分别为条形腔，条形腔场分布的y方向无限延伸， 场分布都具有圆对称性， 改进建议：由于编程能力有限，本次对谐振腔自再现模的MATLAB实现只讨论了 3

10、种平 行平面腔，并未讨论凹、凸面或者平面的倾斜对场分布的影响。也只能对渡越次 数进行选择，并未实现对稳定精度要求的设计，这一点还需改进。而且在计算积 分的时候运用了循环的嵌套，可能计算效率比较低。相位分布图像由于MATLAB 函数问题在变化过程中较大，存在一定的误差（略小于360，其实应该为0）。上 述几点都是需要优化和改进的。思考题激光谐振腔模式的其他分析方法（如特征向量矩阵方法）和Fox-Li数值迭代法 的比较；答：Fox-Li数值迭代法理论上可以研究任何类型的谐振腔，通过迭代计算证 明了自再现模的存在性，计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；但是 收敛性不好，计算量大，且对高阶模的

11、计算误差较大。特征向量矩阵法则是通过 建立激光谐振腔传输矩阵来求解特征向量，从而求得谐振腔模式。其计算结果和 Fox-Li数值迭代法一样，可以实现较大菲涅尔数的共焦腔的模式计算，并且在有 源非稳腔的计算上有一定的优势。两种方法各有其利弊。圆镜腔与矩形腔的迭代输出结果的比较；答：圆镜腔与矩形腔的归一化振幅分布都是从中心到边缘呈递减趋势，菲涅 尔数越大，边缘振幅越小，但圆镜腔的中心场分布更集中；圆镜腔中心附近的归 一化相位分布是有一定起伏的，菲涅尔数越大，起伏越大，而矩形腔中心附近的 相位分布都是等相位面，菲涅尔数越大时，越能用平面波近似。谐振腔各种参数（如腔长、波长、腔镜大小等）的改变对迭代结果

12、的影响；答：谐振腔各种参数的改变，最终都体现在菲涅尔数的变化上。菲涅尔数N 描述了光腔衍射损耗的大小，N越大衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小； 当迭代次数相同时，会发现当N越大时，振幅和相位分布起伏就会越大；N越小， 场分布就会越平滑。菲涅尔数与迭代次数的关系；答：菲涅尔数N描述了光腔衍射损耗的大小。N越大，衍射损耗越小，达到 稳定的自再现模式分布需要的迭代次数越大；反之，N越小，衍射损耗越大，达 到稳定的自再现模式分布需要的迭代次数越小。Fox-Li迭代法的优缺点以及和其他数值迭代法的比较；答：Fox-Li迭代法的优点在于：理论上可以研究任何类型的光学谐振腔，通过 迭代法近似计算证明了自

13、再现模的存在性，计算过程与开腔模式的物理机制类 似，方便理解。缺点是：收敛性不好，计算量大，且对高阶模式的计算误差较大。 跟其他数值迭代法比较，Fox-Li数值迭代法不适用于较大菲涅尔数的模式计算， 但是其运算过程简单可靠，应用广泛。Fox-Li迭代法的误差分析；答：离散化的程度对误差有一定影响，离散点越多时，计算精度越高，但是 耗时越长。另外收敛判据也会影响计算误差的大小，显然当收敛要求越高时的误 差越小。算法的优化也可以减小计算误差。不同初始场分布的改变（如三角波、梯形波、随机波等）对最终稳定场分布的 影响；答：理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自 再现模。如果选

14、取不同的初始场分布，通过迭代最终会得到不同形式的稳定解。 平面波的自再现模式的解对应了基模，不同形式的初始场分布则对应了不同的自 再现模式，只是最终场分布形式不同。8算法的优化和迭代公式的优化对输出结果的影响；答：算法的优化可以减少计算机的计算量，加快计算速度，减少迭代计算所 需要的时间，并且可以减小计算误差;迭代公式的优化可以使得算法更简单可靠， 对输出结果有同样的优化效果。具体编程细节对图形输出结果的影响（如划分点的多少）；答：划分点越多，采样越密集，输出结果图像更加精细，但是随之加大了计 算量，需要更长的运算时间，要选择一个合适的划分点数目以平衡精度和时间的 关系。另外不同的图像输出函数

15、也会使得图形输出结果不同。平行平面腔迭代时，考虑分离变量法和考虑整个腔镜上的点对点分布计算的区别；答：分离变量法利用分离公式u(x, y) = u(x)u(y)作如下近似：只考虑相对 镜面上对应点所在的那一行、一列上点的影响，计算积分后再进行叠加，而并未 考虑整个腔镜上的点对点分布的计算。分离变量法比起考虑整个腔镜上的点对点 分布计算，要更加简单有效，易于实现。收敛判据的考虑；答：本次MATLAB程序并未实现对收敛的判断，但基本思想如下：归一化后， 前后两次对应点的差值均小于0.0001左右；当然这个值可以取的大一些，减少 迭代次数，也可以小一些，将稳定性条件设置的更加严格。即将这种迭代一直进 行到Uq +1和Uq只相差一个与坐标无关的常数因子为止。设计体会本次课程设计是我第一次运用MATLAB的GUI图形界面设计，虽然以前也 接触过简单的MATLAB编程，但是这次编算法的过程中发现并没有想象中的简 单，中途遇到了很多问题，但是经过自己的慢慢摸索和与同组董理同学的讨论， 不断改善和优化算法，才实现了最终的课程设计。尤其是在圆形镜腔的积分运算 上，由于基础知识不够牢固，刚开始无法实现，但是经过跟董理同学的讨论，将 积分运算转换到柱坐标上即可