高等数学 殷锡鸣4.3 平面曲线的曲率(1-16)课件_第1页
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文档简介

1、4.3 平面曲线的曲率问题: 如何定量化的刻画曲线的弯曲程度及其计算10 曲率的概念 BA A B BA （1）（3）可以看出：(2) A B （a）对于等长的弧段，转角大，则 弯曲程度也大 问题在于: S S , 即两弧段不等长, 称为 AB 的平均曲率称为曲线在 A 点的曲率 （2）的弧段AB的弯曲程度 (1)的弧段AB 的弯曲程度（b）弧AB与AB 的转角 相等，但AB的弯曲程度 AB的弯曲程度 所以刻画一段弧的弯曲程度应考虑它的平均弯曲程度才是合理的 绝对值称为曲线在 A 点的曲率即当 B 沿弧段趋于 A 点时，平均曲率的极限的下面考虑如何计算曲率 K 解 由于 = 曲率 求半径为R

2、的圆的平均曲率与曲率例设则ABR每一点都相等）并且与半径 R 呈倒数关系 即圆在任一点处的曲率都是相等的（即弯曲程度一般地，设平面曲线为并假定 x(t) , y(t) 在 , 上有连续的导数 在曲线 L上，取一定点 P，并选取曲线的一方向作为曲线的正向 对于曲线上的一点 A ,若 PA 与曲线的正向一致，反之取负值- PA.弧的概念：而且是 t 的单调函数 于是 s = s(t) , t 则 s 取正值PA，xy即若曲线的正向与 t 上升描绘图形的方向一致时,s(t) 单调增加 , 反之 s(t) 单调减少 至此我们有下对应关系:xy 则 AB = s设 s 对应于点 A, s + s 对应于

3、B , 我们把切线上向着弧 s 增加的方向叫做切线的正方向 (正切向) 记切线 A与 x 轴正向的夹角为 (s), 切线 B 与x 轴正向的夹角为 (s+ s)下面考虑计算弧微分ds设 t A (x , y) , t+t B (x+x , y+ y) , 则xyx x+x可以证明:所以(1)所以 , 有 (b) 若曲线, 则有( 极坐标情形的弧微分公式 )(c) 若曲线则有( 直角坐标情形的弧微分公式 )设曲线由给出 , f (x) 在 a , b上有二阶连续导数, 则所以曲率 (3) 求曲线 在点 例处的曲率 解曲率将 代入得曲线在 M 点的曲率将曲线表为参数方程:此时解 求极坐标方程为 例的曲线上任一点处的曲率 .下面考虑曲率半径的计算:（直角坐标情形）定义如果一圆（2）与曲线在点 A 处有相同的凹凸性；（3）与曲线在点A处有相同的曲率 ,则称这个圆为曲线在 A 点处的曲率圆，曲率圆的中 （1）与曲线相切于点 A心叫做曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径 如果曲线在A点处的曲率为K，由于圆的曲率所以曲线在点 A处的曲率半径就是它的半径的倒数 ,曲线 y = f (x) 在原点处的曲率半径为由于 y =f (x) 在原点与 x 轴相切 f (0) = 0设曲线 y

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