2022届江苏省常州市省常中数学高二下期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）ABCD2已知函数的部分图像如图所示，其，把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2

2、个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为( )ABCD3已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC，若，则的最大值为AB4CD34已知变量，之间具有线性相关关系，其回归方程为，若，则的值为( )ABCD15已知双曲线mx2-yAy=24xBy=26设，复数，则在复平面内的对应点一定不在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7设x0是函数f（x）lnx+x4的零点，则x0所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）8某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）

3、A甲的极差是29B甲的中位数是24C甲罚球命中率比乙高D乙的众数是219某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有() A96B36C24D1210设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(2x)f(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)11已知函数在处取得极值，则的图象在处的切线方程

4、为（ ）ABCD12已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知是虚数单位，若复数，则_14二项式的展开式中的系数为15，则等于_15若的展开式中的第项等于，则的值为_16有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有_种（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，为中点.求证：平面平面；若，求二面角的余弦

5、值.18（12分）的内角所对的边分别是，已知.(1)求；(2)若的面积为，求，.19（12分）已知.（1）求证：恒成立；（2）试求的单调区间；（3）若，且，其中，求证：恒成立.20（12分）如图，四棱锥中，底面是梯形，底面点是的中点()证明：；()若且与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值21（12分）设（）求的值；（）求的值22（10分）某超市举办酬宾活动，单次购物超过元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的个小球，其中个红球、个白球和个黑球，从中不放回地随机抽取个球，每个球被抽到的机会均等.每抽到个红球记分，每抽到个白球记分，每抽到个黑球记分.如果抽取个球总

6、得分分可获得元现金，总得分低于分没有现金，其余得分可获得元现金.（1）设抽取个球总得分为随机变量，求随机变量的分布列；（2）设每位顾客一次抽奖获得现金元，求的数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】，且与垂直，即，与的夹角为故选2、A【解析】根据条件先求出和，结合函数图象变换关系进行求解即可【详解】解：，即，则，即，则，则，即，得，即，把函的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即，故选：【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求

7、出 和的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题3、A【解析】由题意得出，设，利用三角函数辅助角公式可得出的最大值.【详解】由于、是直径为的球的三条两两相互垂直的弦，则，所以，设，其中为锐角且，所以，的最大值为，故选A.【点睛】本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为，高为，其外接球的直径为，则，充分利用这个模型去解题，可简化计算，另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解4、A【解析】根据题意，可知，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。【详解】依题意知，而直线一定经过点，所

8、以，解得故答案选A。【点睛】本题主要考查了根据线性回归方程的性质求回归直线，线性回归直线过点，这个点称为样本点的中心，回归直线一定过此点。5、A【解析】x21m-y2=1,c=1m+1=36、C【解析】在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, 在复平面内的对应点为.当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.故在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.7、C【解析】由函数的解析式可得，再根据函

9、数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案【详解】因为是函数的零点，由，所以函数的零点所在的区间为，故选C【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8、B【解析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对甲的命中个数集

10、中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况9、C【解析】先安排第一节的课表种，再安排第二节的课表有2种，第三节的课表也有2种，最后一节只有1种安排方案，所以可求.【详解】先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有种；周二的第二节不和第一节相同，也不和周一的第二节相同，共有2种安排方案，第三节和第四节的顺序是确定的；周三的第二节也有2种安排方案，剩余

11、位置的安排方案只有1种，根据计数原理可得种，故选C.【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，侧重考查逻辑推理的核心素养.10、A【解析】由函数y(2x)f(x)的图像可知，方程f(x)0有两个实根x1，x1，且在(，1)上f(x)0，在(1，2)上f(x)0，在(2，)上f(x)0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(1)11、A【解析】利用列方程，求得的值，由此求得，进而求得的图象在处的切线方程.【详解】，函数在处取得极值，解得，于是，可得的图象在处的切线方程为，即故选：A【点睛】本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数求切线方程，属于基础题.12、C【解析】根据零点存在性定理，

12、可得，然后比较大小，利用函数的单调性，可得结果.【详解】由题意可知函数在上单调递增，函数的零点，又函数的零点，故选：C【点睛】本题考查零点存在性定理以及利用函数的单调性比较式子大小，难点在于判断的范围，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据复数模的公式直接求解详解：，所以点睛：复数，模的计算公式14、1【解析】根据题意，展开式的通项为，令即可求解可得答案【详解】根据题意，展开式的通项为，令，则 故答案为1【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数15、【解析】先根据二项展开式的通项公式求得,然后根据等比数

13、列的求和公式求和,再求极限即可得到答案.【详解】由的展开式的通项公式,得,依题意可得,解得,所以.故答案为:1【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,等比数列的求和公式,求极限,属于中档题.16、431【解析】数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，1，1、 3，3，1，1所以共有种不同排法三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析；.【解析】推出，从而平面，进而得出，再得出，从而平面，由此能证明平面平面；以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】解：证明：平面平面，平面平面.平面，.在菱形中，可知为等边三角形，为中点，.

14、，平面.平面，平面平面. 由知，平面，两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.设，则，.设为平面的法向量，由可得，取，同理可求平面的法向量，即二面角的余弦值等于. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题.18、（1） （2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ；（2）由，再由余弦订立的得.试题解析：（1）由已知结合正弦定理得所以即，亦即因为，所以.（2）由，得，即，又，得所以，又，19、 (1) 证明见解析；(2) 单调递增区间为，无单调递减区间。 (3)证明见解析【解析】（1）

15、构造函数，利用导数求出函数的最小值，利用来证明所证不等式成立；（2）先解等式可得出函数的定义域，求出该函数的导数，利用（1）中的结论得出在定义域内恒成立，由此可得出函数的单调区间；（3）证法一：利用分析法得出要证，即证，利用数学归纳法和单调性证明出对任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得证；证法二：利用数学归纳法证明，先验证当时，不等式成立，即，再假设当时不等式成立，即，利用函数的单调性得出，由归纳原理证明所证不等式成立.【详解】（1）令，则，由得，由得.函数在上单调递减，在上单调递增，即恒成立；（2）由得或，函数的定义域为，因为，由（1）可知当时，恒成立，且，.函数单调递增区间为，无单调

16、递减区间；（3）证法一：，要证，即证，即证，即证.先证对任意，即，即.构造函数，其中，则，则函数在上单调递增，所以，对任意的，即，.下面证明对任意的，.，.假设当时，则当时，.由上可知，对任意的，.由（1）可知，当时，因此，对任意的，；证法二：数学归纳法当时，即成立；假设当时结论成立，即成立.由（2）知，函数在上单调递增，又，当时结论成立综合，恒成立.【点睛】本题考查利用导数证明不等式以及利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用数学归纳法证明不等式，证明时应充分利用导数分析函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于难题.20、（）见解析（）【解析】（I）根据已知条件得到，由此证得平面.从而证得,结

17、合，证得平面，进而证得.（II）作出与平面所成的角，通过线面角的大小计算出有关的边长，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【详解】（）证明：因为平面，平面，所以又由是梯形，知，而，平面，平面，所以平面因为平面，所以又，点是的中点，所以因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以（）解：如图所示，过作于，连接，因为平面，平面，所以，则平面，于是平面平面，它们的交线是过作于，则平面，即在平面上的射影是，所以与平面所成的角是由题意，在直角三角形中，于是在直角三角形中，所以过作于，连接，由三垂线定理，得，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，在直角三角形中，所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面角的求法，属于中档题.21、（）16；（）1049.【解析】（）赋值