平面向量新编

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 平面向量与最值例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.图 1 1图 1 1分析：寻求刻画点变化的变量，建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解法一：平方法、不等式求最值。解法二：坐标化、函数法求最值。设，以点为原点，为轴建立直角坐标系，则，。即。因此，当时，取最大值2。例2、已知点Q为射线OP上的一个动点，当取最小值时，求分析：因为点Q在射线OP上，向量与同向，故可以得到关于坐标的

2、一个关系式，再根据取最小值求解：设，则当时，取最小值-8，此时例3:(05年江苏高考试题)在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是_.分析:(如图)本题的突破口关键在于为的中线,故易知,所以:从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.解:为的中线又例4:(04年湖北高考试题)在中,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.分析:本题的突破口关键在于三点共线,从而联想到把和作如下的分解:, 分解之后,真可谓是海阔天空.故:解:又当,即(与同向)时,取到最大值0.对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题

3、,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.例3:另解:以点为圆心,所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.设,则故的最小值为例4:另解:以点为原点,边所在直线为轴,建立如图所示的直角坐标系.设,与的夹角为,则当即(与同向)时,的最大值为点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.练习:如图,已知等边的边长为,又以为圆心,半径为作圆,是直径,试求的最大值,并指明此时四边形的形状. 答案:的最大值为,此时四边形为矩形

4、. 三角形四心与平面向量向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又

5、体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M M图图图 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直

6、线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题6】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。 平面向量基本定理【

7、例】 如图所示，在OAB中，eq f(1,4)，eq f(1,2)，AD与BC交于点M，设a，b，以a、b为基底表示.自主解答设manb(m，nR)，则(m1)anb， eq f(1,2)baaeq f(1,2)b.因为A、M、D三点共线，所以eq f(m1,1)eq f(n,f(1,2)，即m2n1，而(meq f(1,4)anb，beq f(1,4)aeq f(1,4)ab，因为C、M、B三点共线，所以eq f(mf(1,4),f(1,4)eq f(n,1)，即4mn1.由eq blcrc (avs4alco1(m2n1，,4mn1，)解得eq blcrc (avs4alco1(mf(1,

8、7)，,nf(3,7)，)所以eq f(1,7)aeq f(3,7)b.思考：保持例题条件不变，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设p ，q.求eq f(1,7p)eq f(3,7q)的值解：(eq f(1,7)p)aeq f(3,7)b，paqb，与共线，eq f(f(1,7)p,p)eq f(f(3,7),q)， eq f(1,7)qpqeq f(3,7)p， 即eq f(1,7p)eq f(3,7q)1.练习：GABCMPQ 题1：如图，已知点G是ABC的重心，若过ABC的重心，记= a,= b, = ma , = nb , 则=_.GABCMPQ解：=a +b

9、=,P、G、Q三点共线，= 3 . 题2：(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2) 已知，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1) = k + (k2 + 1)12cos1200 + 4k = k2 + 5k 1 ,依题意，得 k2 + 5k 10，.又当与同向时，仍有0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k =, 取k =1.且k1 . 平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1：已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.例题2：求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=. .2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题:例题3：已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴