直线与双曲线位置关系典例精析

1、逸C.如田所含，迁PC*与军画蜷忸市一个公曲点的A%有卜益itli &逸C.如田所含，迁PC*与军画蜷忸市一个公曲点的A%有卜益itli &贤付一必站16治也加中时,2.直线y=kx与双曲线4x2-j2 =16不可能才程无制，此时成或占粗辰散句再f皆4一尸席肘闵时,方诲有简个不和等实植、此时S.其与点射&也吏用亦湾个屑共舟.A相交 B只有一个交点 C相离D有两个公共点直线和双曲线的位置关系一、要点精讲直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。.弦长公式:设直线y = kx + b交双曲线于月a , 乂,乌柘,力, 则 41 = |气x2 wi+2 = ji+好.顼31+x2y - 4气,

2、 或 pA= bi- % |j + = + p /3 + %了-4乂槌。.二、基础自测 1.经过点4；，2且与双曲线4f_y2=i仅有一个公共点的直线有2 A 4 条B3 条 C2 条 Dl 条过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线2%2 砂、帛曰a 减布一亏 =1的通径长是iiK以曲甄假设-等=1的焦点5丈口,5, TOC o 1-5 h z qq当3=5时,h=，此时通役长为普.,.、99八小42A-B -C 9D 10r假设一直线/平行于双曲线的一条渐近线，贝与双曲线的公共点个数为.解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不

3、是相切经过双曲线尸？ = 8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是.11-1=75- /日4坨尸一住皿=媛 耳里当也 nJJ帆据姻港扣直蝶会程为在入就为规F-y3 h虬 再狎一瞿工一*=“、设两版奇期为11-1=75- /日4坨尸一住皿=媛 耳里当也 nJJX2 V2、77直线/在双曲线-5 = 1上截得的弦长为4，且的斜率为2,求直线/的方程.就父=1=部一63 2 ,再 1思？4挂龄一 =部一6由服片条裁的美系，!?=一上J?i的=青萨，所以弦齿J1序 J%户-瓯牛迪 -，T?U,贵一号用=上卒，步*!U静方袱尚？=二号- 3J三、典例精析题型一:直线与双曲线的位置关系lo如果直

4、线y = kx_lo如果直线y = kx_ 1与双曲线/ 一 r = 4没有公共点,求k的取值范围.有两个公共点呢？ 丫=4_11【解折】由;_点呢？ 丫=4_11【解折】由;_寸将_畀3+办尤_5=4叫;xriy* 一条是Jc 护的眠貌图是一8.号 LK号L8.b 。b解，所以=一4 = 0,所以一二2aa诚折】直於片戏曲费者西个角共走，矛如1 一职炉+虹一 5=0有两个本栖等实罹， %出“戒削1-F口辞苻一亨。透旦*壬1-2010-安徽假设直线y=kx+2与双曲线必一/=6的右支交于不同的两点，则上的取值范围是A.A.J2O,A = 162-4 1 左2 xf100解：由错误!得1-约必-

5、g-10 = 0,.I ，解得-错误!气+&0W 0k - .ix2 y23、过点PV7,5与双曲线3-* = 1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们 的方程。解：假设直线的料率K夸在可贝Ia-擂，此咛仅有、交点E?。，满足关牛 假设直釜的斜忘与在斗 位直线的方程5 = kx - JF.MIj，= J?c + 5 -,* _* 妒 =1，725M 口 版十 S&亍尸=-乂二H FxZb。一八尸十5 亍F b = 0, 当务=Ml时，万程无解.不唐足条件；当.=一土 时，2 :10 = 75玄程有一解.病是条件 当 k2 王言时,令仁= 14t 或寸-125- *5-k72 -165=

6、0 .化简得：北无机所灯满足条帕所以成足条件K豆果萌条。十和厂一 曰 07题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.长2过双曲线八厂14.长2过双曲线八厂1的左焦作倾斜角为河弦g求|叫腴2的周(%为双曲线产戚曲姓域点FN-幻QLFq/L Jt我才枝为了亍号 心岫时 SHf13F1- B趴+均=f中上2 一 -y -才法一小曲曰/FFF /刃+工尸一4叫及*3,才法二H1握11雅地性的共同没质羯| BF | = a+ a2 -/Xi + ja 4jlx?=2 J*号7 屈二四内口 的周云为3-I 3 A= 2+2i+ = 3.5。已知双曲线方程为3/ y2=3,求以定点A(2, 1)为中点的弦所在的直

7、线方程.京法一;瓦太过乳佥.。蚪#不再在的直虬不杵咨老件.浅所求宜遂才强先yT=Mj：WL由:上咎理祥- pr -y = 3(*-aJ+24l-2*)x+( -2*)* 13=0 。设依畛树.端志为eg,mng 序 jm此一卷兰产 由通意了|+象=4, ,.二；y J 更时=4汽诚1井乙=秋3顷, 酯以斯求JL觐方程为y- l=(r一以，即艮一#一1：=虫法二设ilD的直住.与权拔3J 了一，柏圭千P(i,、.Qixt .片)两盅,叫心如七时或*房3盘I艮心一四一3十以。1一陌=0 .工|一工，一4,一*=成人陞荒，环虹仕一6倍蛔=曲 T| J1!则瓦蚯8的方程为fiz-jj-Li-o牌上 m

8、冉喝一()进 行验证即可.6。双曲线方程为3子y2 =3.问:以定点B (1,1)为中点的弦存在吗?假设存在，求出其所在直线的方程；假设不存在，请说明理 由.设迁W1, 的立终.与瓯曲酸.Sx3相交于AK巧邛如一制耳,乂.)购出，则J 1两式和就得3(长卜丑)(职力丽(h gyiHyj- V. 棉7=3假设1KLD为税阪的中点，则有原+wi=2.执二责2,犬入国*了 =3 ,冲上伦=3 M隹竭的方程为3jj2=0. lj|& P在职由现的时部,故奏畅绿MX是吝与攻击既祀更，将我入 3/-尸=牝将血一12Lr+F = tK ：= -24O.二直成与飘曲巍：t文点.机精以khn为山重时住术许在，.

9、一.，y/21八7、已知中心在原点，顶点4,人2在轴上，后心率为一一的双曲线经过点尸(6,6)求双曲线的方程；(II)动直线/经过MH42的重心G,与双曲线交于不同的两点M,N ,问是否存在直线/使 G平分线段试证实你的结论.r 3I T Ig J解(_)设寸求玄仙袤务程友%- J=1 一=.二且双曲场经寸大鼠G), ,.卧却方程为匚_匕=1 TOC o 1-5 h z l I U *9 12(4由条件尹、闿，4的坐标分别为(6,6)1 一毛 J112;-9v： -10S.-方寸柱为2 =很一2) 或 4茫天合_由+*-0八3.所丈直线工左正j?- - 2 = y( 2)题型三：求双曲线方程8

10、。已知焦点在x轴上的双曲线上一点尸，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线 y = X-2被双曲线截得的弦长为20%扬，求此双曲线的标准方程./ J南小n=.宥谩双白兼为楮难才摆为千祥溶-4JJ3 TM- M-淅= -一4君,部手技长二却袅侦-故二/2、寄W不房，牌站十垢=一我；心二-学皆代入上义膏待 W 哮二所求虬*幽方视为号一寻=1彖号=、尤29、设双曲线C： -y2 =l(a0)直线l-.x+y = l相交于不同的点A、Bo a、/求双曲线C的离心率。的取值范围；设直线/与y轴的交点为P ,且PA=-PB,求1的值.解：(1)将y=x+1代入双曲线错误!一y2=l中得(1a2)x2+2

11、a2x2a2=0由题设条件知，错误!，解得0av错误!且挫1,又双曲线的离心率e=错误!=错误!， VO 错误!且e手错误！。(2)设 A (xi,yi),B(X2,y2), P (0,1). V错误！=错误!错误!,. (xi, yi 1)=错误! (x2, y21). .乂1=错误！X2,xi、X2是方程的两根，且1疽病，.错误!X2=一错误!，错误!X错误！=一错误!, 消去X2得，一错误!=错误!，.40,.盘=错误!。一，、一，、-阿小10o已知双曲线的焦点为4(-c,o), F2(c,0),过尸2且斜率为&的直线父双曲线于尸、 1 J。两点，假设OPOQ(其中。为原点)，PQ =

12、4,求双曲线方程.5 m5 m谖致云IU无为业一 二 *上闵,i l.i，鼻中F 且cCL击甬以他的方程为J -九笆 E 我方岂好F吊断 f M +如K T品F + WF) =fl.珏制4 3M (k否剧应走与 5 g+i.nT M堂 林 心.咒).蜘功皿酒J. MP应莅愤广见广/也1 . W+网V 5心稿-折曾卑=S工L吾 L =(葡0 -f(jj； + jf；J +厂.盅因为雌用所以工皿+ V * =0. #加五一沮叫+疏)+妒时看时+心一制=(U瑚HV 一们5 加知7赢而，=4 代入默假设悠盘畀十* - /丘|十杰尸一4xim 有/=占T, A醉以所至双曲她才程为三一=1,3llo双曲线

13、的中心为原点,焦点在X轴上，两条渐近线分别为, 2,经过右焦点尸垂 直于的直线分别交,，2于A, B两点.已知伊、网|、|成等差数列，且应与两同 向.(I )求双曲线的离心率；(II)设A8被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解：(I )设。4 =们一刁，AB = m , OB = m + d 由勾股定理可得：(m-d)2 +m2 =(m + df 得：d=)m, tanZAOF-, tanZAOB = tan2ZAOF =- = - TOC o 1-5 h z aOA 3b,i 、,2 嘉 4 b 1V?由倍角公式二=,解得一=,则昌心率。=.3 a 221-亳c七2 、，2(II

14、)过尸直线方程为=-云(1-。),与双曲线方程-TT=1联立，将a = 2b,c = 代 ba b入，b15 2 8必b15 2 8必X 皈、201+024*2【(泪函b2, _将数值代入，有4 =15 二一 -4，解得b = 3故所求的双曲线方程为V I 15 J 5x2 3612、已知双曲线错误!一错误! = 1。，。为坐标原点，离心率。=2,点财错误!，错误! 在双曲线上.1求双曲线的方程;2假设直线/与双曲线交于P,Q两点，且矛如二0 .求错误! +错误!的值.解:(1 ) ve = 2/.c = 2a , b2 = c2-a2 = 3a2 ,双曲线方程为错误！-错误! W ,即 3x

15、2-y2 = 3a2.所求双曲线的方程为错误！-错误！=1.点M错误!，错误！在双曲线上，.15 - 3 = 3。2.罹2 = 4.所求双曲线的方程为错误！-错误！=1.2 设直线OP的方程为j二用U0,联立错误！-错误！ 二 1 ,得 TOC o 1-5 h z 012-23二.| OP2 = x2 + y2 =错误!。则OQ的方程为-错误!X, 012/ 3-炉1 12 1 +二同理有| OQ |2二k 1二错误！，同理有| OQ |3 yk213. 2012上海在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Ci： 2x2y2=l.1过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴

16、围成的 三角形的面积；2设斜率为1的直线，交G于尸、。两点.假设/与圆菸+归=1相切，求证；OPOQ；3设椭圆G： 4菸+2=1。假设M、N分别是G、G上的动点，且OMON,求证:0到直线的距离是定值.2解：2解：1双曲线G： y12=1,左顶点A -,0I 2 J，渐近线方程为：y=土错误!X。过点A过点A与渐近线y=错误!x平行的直线方程为y = 2,即尸错误!x+l.解方程组y = -41x y 解方程组y = -41x y - 41x +1得y = 一一4 .所求三角形的面积为$=错误！ I QW I =1J =-2错误!.2证实：设直线PQ的方程是y=x+b, .直线PQ与已知圆相切

17、,.错误! = 1,即b2=2.y = x + bf 八f气+ % = 2b由得对2笊一21=0。设尸01)1)、Q(x2,光),则 2X2 - y2 = 1气& = -1 - b2又 *V2= 31 + b) (x2 + b),；. OP .0Q = X1X2 + 无光=2g + b(x1 + X2)+ b2 = 2( 1 b2) + 渺 + b = / 2 = 0.故OPOQ0证实：当直线ON垂直于尤轴时，|0N|=1, | OM=错误!，则O到直线MN的距离 为错误!。x 2 _1商、，2=每当直线ON不垂直于x轴时，设直线ONx 2 _1商、，2=每f y = kx则直线om的方程为y

18、=-错误!尤。由J 9 得 |4 x2 + y 2=1：.ON2=错误!。同理|0M|2=错误!。设。到直线MN的距离为d.-COM2+ON 2)羽=| OM | 2 | ON | 2,.错误!=错误! + 错误!=错误=3,即 d =错误!。综上,。到直线MN的距离是定值.五、能力提升假设不管k为何值，直线y=k (x2)+b与双曲线12 y2 =1总有公共点，则b的取值范围是()(A)2,3(B)一启,3(C) (- 2,2)(D) - 2,2过双曲线X2 - ? = 1的右焦点F作直线I交双曲线于A、B两点，假设|AB|=4，则这样的直 线1有()(A)1 条(B) 2 条(C) 3 条(D)4 条( b,x2v2, 过点P 1, 的直线I与双曲线-y - b2 = 1侄 ，b 。)有且仅有一个公共点，且这V a)a b个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()(A) 2(B) 4(C) 1 或(A) 2(B) 4(C) 1 或2(D) 2 或 4x2 y2 z 7、已知双曲线萨