章《全等三角形》知识要点归纳

1、 页 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第十一章全等角形 角相等 性对边等 边 全 全三 边边 SAS判 角边 ASA 角角边 、角HL 作角分性与定理二、基础知识梳 应用件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条 件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注 意以下几点。1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且 至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是 先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共 边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形

2、全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等 AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)2.证已知边的另邻角对应相等，再用 ASA 证全等。例 2 已知：如图 ，D 是ABC 的边 上一点，DF 交 AC 于 点 E ，DE=FE，AB.求证：AE=CE证明 FCAB（已知），CFE（两直线平行，内 错角相等）。在ADE 和CFE 中，（一）基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（）大小相 等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们 把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

3、。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析 图形，准确无误的确定对应边及对应

4、角；去分析已具有的条（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS) （三）疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应 的位置上。切记不要弄错。2、对全等三角形判定方法理解错误；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用 全等证明的思维定势的消极影响。三、证明全等三形的常见思路一、已知一边与其一邻角对应相等1.证已知角的一边对应相等，用 SAS 证全等例 已知：如图 1点 E 、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC， B=C .求证：证 BE=CF（已知），BE+ EF=CF+

5、EF，即 BF=CE. 在ABF 和DCE 中， DCESAS）。 AF=DE（全等三形对应边相等）。 ADECFE（ASA）。 AE=CE（全等三角形对应边相等） 3.证已知边的角对应相等，再 AAS 证全等。例 3 （同例 2。证明 FC（已知）， A=ECF（两直线平行，内错角相等）。 在ADE 和CFE 中， ADECFE（AAS）。 AE=CE（全等三角形对应边相等）。 二、已知两边对应相等1.证两已知边的角对应相等，再用 SAS 证等。例 4 已知：如图 ，AD=AE， D、E 在 BC 上，BD=CE， 1=求证： ABDACE证明 1=2（已知），ADB=180-，AEC=18

6、0-2（邻补角定义），ADB = AEC，在ABD 和ACE 中， ABDACE（SAS。例 6 已知：如图 5，点 B、C、E 在同一条直线上， FB=CE，B=E，ACB=DFE. 求证 AB=DE， 证 FB=CE（已知） FB+FC=CE+FC， 即 ， DEF（ASA）。 AB=DE，（全等三角形对应边相等）证明AD=AE（已知）1=（等边对等角）， ADB=180-，AEC=180-（邻补角定义）， ADB=AEC，在ABD 和ACE 中，ABDACEAAS）。四、常见全等三角形中添辅助线方法（1）有角分线时，通常在角的两边截相等的线段，构 造全等三角形例如：如图，已知 为ABC

7、的中线，且12,3 4,求证：BE CFEF。分析：要证 BE CFEF ，可利用三角形三边关系定理证 明，须把 BE ，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1 2，34，可在角的两边A截取相等的线段，利用三角形2.证第三边对应等，再用 SSS 证全等。2.证一已知角对边对应相等，再用 AAS 证全等。例 7 已知：如图 ，AB、CD 交于点 OEF 为 上两全等对应边相等，把 EN， EF 移到同一个三角形中。E F例 5 已知：如图 ，点 A、C、D 在同一直线上，AC=BD， ， BM=DN. 求证： AM ，BMDN证明 AC=BD（已） AC+BC=BD+BC， AB=CD.在A

8、BM 和CDN 中，点，OA=OB，OE=OF ，BACE=BDF. 求证：ACE BDF.证 OA=OB，OE=OFOA-OE=OB-OF， AE=BF， 在ACE 和BDF 中，证明：在 DA 上截取 DNDB， 连接 NE，NF，则 DNDC， 在DBE 和DNE 中：DN DB ( 辅助线作 1 (已知 )ED ED ( 公共 3B D) ABMCDNSSS） NCD，ABM= （全等三角应角相等）， AM，BMDN（同角相等，两直行）。三、已知两角对应相等1.证两已知角夹边对应相等，用 ASA 证全等。 ACEBDF（）。四、已知一边与对角对应相等，则可证另一对应相等， 再利用 AA

9、S 证全等例 8 已知：如图 7，在ABC 中，B、D、E 、C 在一条直线 上，AD=AE，B=C. 求证：ACE.DBEDNE （SAS）BE NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF在EFN 中 ENFN（三角形两边之和大于第三边）2 3 2 3 分析：要证 ABAC，由图想到： ABBDAD,AC注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等 的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对 应元素相等。（）有以线段中点端点的线段时，延长加倍此线段，CDAD，所以 ABAC BD CDAD ，左边 比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 想 到要构造 2AD，即加

10、倍中线，把所要证的线段转移到同一个 三角形中去。AN AC ( 法 1 2 )AP AP ( ) APN （SAS） )D构造全等三角形证明：延长 AD 至 使 DE=AD，连接 BE ，则 AE2ADPCPNM例如：如图 为ABC 的中线，且12，34， 求证：BE CF证明：延长 至 M，使 DM=DE，连接ACM，MF在BDE 和CDMAD 为ABC 的中线 已知） BDCD （中线定义） 在ACD 和EBD 中A在BPN 中，有 PBBN （三角形两边之差小于第三边） BPPCABAC 证明：（补短法 ） 长 AC 至 M，使 AM，连接 ，在ABP 和AMP 中中， CD (中的定

11、) CDM ( 相等)E F 4B DCBD CD (已证 )ADC ( 对顶角相等 AD ED 辅助线的作法 )ACDEBD （SAS）) DCAB AM ( 辅助线作法 ) 2 已知 )AP AP ( 公共 )ABPAMP （SAS） PB PMED ( 辅线)MBE CA又在PCM 中有：CMPM 三角形两边之差小于第三BDECDM （SAS在ABE 中有：ABBEAE（三边)ABACPB又12，34 （已知）1234180（平角的定义）角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。EAF（5）延长知边构造三角形。例如：如图，已知 ACBD，AD AC 于 A ，BCBD 于 B32=90即

12、：EDF 90 FDM 90【思考练习】已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边求证：BC分析：欲证 AD先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，在EDF 和MDF 中为直角边各向形外作等腰直角三角BDC有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与BOC ，ABD 与 MD ( 辅助线的作法 EDF FDM (已证 )DF DF ( 公共边 )形，如图， 求证 EF2AD。（）截长补短法作助线。例如：已知如图在ABC 中，AB，12，P 为 ADBAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因 此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长 DA

13、，CB，它们EDFMDF （SAS）EFMF 全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFMF三角形两边之和大于第三 边） CF上任一点。求证：ABPBPC。分析：要证：ABPBPC，想到利用三角形三边关系定 理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三 边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等的延长交于 E 点， AC BCBD CAEDBE 90 在DBE 与CAE 中A注：上题也可加倍 FD，证法同上。于 AC，得 ABAC， 连接 PN，则 PN，又在注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长 加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 （）

14、有三角形中线，常延长加倍中，构造全等三角PNB 中，PBPNBN，即：ACPB。 证明：（截长法 ）在 AB 上截取 ANAC 连接 , 在APN 和APC 中形。例如：如图，AD 为 ABC 的中线，求证：AB2AD。 D ( 公角 ) 已证 BD AC 已知 )CE=FE=12CF （全等三角形对应边相等）证明：取 AD，BC 的中点 、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DNBM=CM ， 在ABN 和DCN 中B CDBECAE （AAS）BAC=90 CF 已知）AN ( 的)EDEC EB （全等三角形对应边相等） EDEAEC EB 即：AD。BACCAF90 1 BDA901

15、BFC 90 BDABFC (已知 ) AB DC )（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题 创造条件。）（）连接四边形的角线，把四边形问题转化成为三角在ABD 与ACF 中BAC ) ( )ABN （SAS） ABN NB 在NBM 与NCM 中形来解决。例如：如图 ABCD，AD 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把AB AC )ABDACF （ ）BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CENB NC ) CM ( NM NM ( 公 )它转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD ABCD ADBC （已知） 12，34 （两直线平

16、行，内错角相等）（）连接已知点，造全等三角形。例如：已知：如图，AC、BD 相交于 点，且 ABDC， BD，求证：AD。NMB，(SSS)NBCNCB （全等三角形对应角相等） NBCABN NCBDCN在ABC 与 中 2 已证 ) AC ( 共边 (已证 )BD分析：要证A，可证它们所在的三角形 ABO 和 DCO 全等，而只有 ABDC 和对顶角两个条件，差一个条 件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 DC，BD，若连接 则ABC 和DCB 全等，所以，即ABCDCB。五、常见辅助线作法有以下几种：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的 性质解题，思维模式是全等变

17、换中的“对折”ABCCDA （ASA） AB（）有和角平分线直的线段时，通把这条线段延长。证得AD。证明：连接 BC ，在ABC 和 中遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相 等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋例如：如图，在 ABC 中，ABAC，BAC90，1 2，CEBD 的延长于 E 。求证：BD2CE分析：要证 2CE想到要构造线段 同时 CE 与 ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。AB DC 已知 ) (已知 )BC CB ( 共边 ABCDCB (SSS)转”遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作 垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的

18、“对折”，所 考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。FAD (等三角形对应边相等)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用BE CF （已知）E（）取线段中点构全等三有形。的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”BEF 90 在BEF 与BEC 中， 2 )BE BE (已证 BEF （ASA）C例如：如图，ABDC，A 求证：ABCDCB。 分析：由 ABDC，A ，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，由 SAS 公理有DCN，故 CN， ABNDCN。面只需证 NCB，再取 BC 的中点 M，连接 ，则由 公理有NCM，所以NBC NCB。问题得证。A截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段 与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相 等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适 合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目证两条线段的和等于第三边，这类型的题我们通常采用截长 补短法，BM截长法即为在这三条最长的线段截取一段使