数学高中必修五解三角形经典题目

1、解三角形1.1正弦定理和余弦定理正弦定理【典型题剖析】察看点1：利用正弦定理解三角形例1在VABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【点拨】本题察看利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。QA:B:C1:2:3,而ABC.解：A,B,C,632a:b:sinA:sinB:sinCsin:sin:sin1:3:11:3:2.63222【解题策略】要切记正弦定理极其变形形式，要做到灵巧应用。例2在ABC中，已知c=2+6，C=30，求a+b的取值范围。【点拨】本题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三

2、角函数，此后再求解。解：C=30，c=2+6，由正弦定理得：abc26,sinAsinBsinCsin30a=2(2+6)sinA,b=2(2+6)sinB=2(2+6)sin（150-A）.a+b=2(2+6)sinA+sin(150-A)=2(2+6)2sin75cos(75-A)=262cos(75-A)22=8+43；当75-A=0，即A=75时，a+b获得最大值6A=180-(C+B)=150-B,A150，0A150,-7575-A75，cos75cos(75-A)1，22622+6.26cos75=26=4综合可得a+b的取值范围为(2+6,8+43察看点2：利用正弦定理判断三角

3、形形状例3在ABC中，a2tanB=b2tanA，判断三角形ABC的形状。【点拨】经过正弦定理把边的关系转变为角的关系，利用角的关系判断解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：ABC的形状。2RsinA2sinB2sinA?cosB2RsinB?,cosAsinAcosAsinBcosB,即sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或AB.2VABC为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在ABC中，由sin2Asin2B得A=B”是常犯的错误，应仔细意会上述解答过程中“A=B或A+B=”的导出过程。2例4在ABC中，假如lgalgclgsinBlg2，而且B为锐角，试判断

4、此三角形的形状。【点拨】经过正弦定理把边的形式转变为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解：QlgsinBlg2.2,sinB2又B为锐角，B=45.由lgalgclg2,得c2.a2由正弦定理，得sinA2,sinC2A18045C,代入上式得：2sinC2sin135C2sin135cosCcos135sinC2cosC2sinC,cosC0,C90,A45.VABC为等腰直角三角形。察看点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5a2b2b2c2c2a2在ABC中，求证cosBcosBcosCcosC0.cosAcosA【点拨】察看等式的特色，有边有角要把边角一致，为此利用正弦定理

5、将a2，b2，c2转变为sin2A,sin2B,sin2C.证明：由正弦定理的变式a2RsinA,b2RsinB得：a2b2=4R2sin2A4R2sin2BcosAcosBcosAcosB4R2（1-cos2A）-(1-cos2B)cosAcosB(cos2Bcos2A)4R2(cosBcosA)cosAcosBb2c24R2(cosCcosB),同理cosBcosCc2a24R2(cosAcosC).cosCcosA左侧=4R2(cosBcosAcosCcosBcosAcosC)0右侧等式建立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，此后利用三角知识去解

6、决，要注意意会此中的转变与化归思想的应用。例6在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证c2b2ab.【点拨】本题察看正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：QABC180,BC180A.又QC2B,CBB.Qsin(BC)sin(180A)sinA,c2b24R2(sin2Csin2B)4R2(sinCsinB)(sinCsinB)4R2?2sinBC?cosCB?2cosBC?sinC2224R2sin(CB)sin(CB)4R2sinAsinBab等式建立.B2右侧.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形自己所拥有的性质。（1）ABC,ABC,AB2C,2A2

7、22B22C.(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC.(3)sinABcosC,cosABsinC,tanAB22222Ccot.2(4)sin(2A2B)sin2C,cos(2A2B)cos2C,tan(2A2B)tan2C.察看点4：求三角形的面积例7在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若a2,C,cosB25,求ABC425的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c，再求面积。解：由题意cosB25，得cosB2cos2B13,2525B为锐角，sinB4,sinAsin(BC)sin(3B)72,5410由正弦定

8、理得c10,7S1acsinB1?2?10?48.22757【解题策略】在ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时常常用到，要记准、记熟，并能灵巧应用，ABABC,sin(AB)sinC,cos(A)cos;sinBC2cosC,cosABsinC.222例8已知ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，ABC的外接圆半径为12，且C,3求ABC的面积S的最大值。【点拨】本题主要察看正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：SVABC1absinC1g2RsinAg2RsinBgsinC223R2sinAsinB3R2cos(AB)cos(AB)23R2cos(AB)1.22当cos(

9、AB)1,即AB时，(SVABC)max33R233g1441083.44【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相联合，经过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。察看点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b知足abacotAbcotB,求内角C【点拨】本题主要察看解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，察看运算能力、剖析能力和转变能力。解法1：QabacotAbcotB,且ab2R（R为ABC的外接圆半径），sinBsinAsinAcosAcosBsinB,1sin2A1cos2B.cos2Acos2B0又Qsin2Asin2B2cos(AB)sin(A

10、B).cos(AB)sin(AB)0,cos(A或sin(AB)0.B)0又A,B为三角形的内角，AB或AB,2当AB时，C2；2当AB时，由已知得cotA1,AB,C.42综上可知，内角C.2解法2：由abacotAbcotB及正弦定理得，sinAsinB=cosAcosB，sinAcosAcosBsinB，进而sincoscossincossinsincos,AA4B4B44即sin()sin().A44B又0A+B，A,44AB,C.22【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，娴熟运用三角恒等变换公式是解题的重点。例10在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=1

11、0,cosAb4，求a,b及ABC的内cosBa3切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角一致，先求角再求边。解：由cosAb,可得cosA=sinB,cosBacosBsinA变形为sinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B又Qa,2A2,AB,ABC是直角三角形。2a2b2102由b4解得a6,b8.a3,VABC的内切圆半径为r=abc6810222【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。高考真题评析例1（广东高考）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1,b3,AC2B,则sinC_【命题立意】本题主要察看正弦定理和三角形中大边对大角的

12、性质，解题的重点是确立角C的值。【点拨】在ABC中，ABC,又AC2B，故B3，由正弦定理知asinB1,又ab，所以AsinAB进而可知C，即sinC1。故填1.b262【名师讨论】解三角形有关问题时，应灵巧掌握边角关系，实现边角互化。例2（北京高考）如图1-9所示，在ABC中，若b1,c3,C2,3则a_.【命题立意】本题察看利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理获得的两解怎样弃取。【点拨】由正弦定理得，31,sinB1.sin2sinB23C为钝角，B必为锐角，BA.ab1.66故填1【名师讨论】在0,范围内，正弦值等于1的角有两个，由于角C为钝角，所以角B必为锐角，防备2忽

13、视角的范围而出现增解例（湖北高考）在ABC中，a15,b10,A60,则cosB等于（）322226D.6A.3B.3C.33【命题立意】本题察看正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的重点是确立角B的范围。3151010gsin60103【点拨】由正弦定理得2,sinB1515.ab，sin60sinB32A60，B为锐角。cosB1sin2B136，应选D33【名师讨论】依据三角形性质大边对大角正确判断角B的范围，进而确立角B的余弦值。例4（天津高考）在ABC中，ACcosB.（1）求证BC；ABcosC（2）若cosA1的值。，求sin4B33【命题立意】本题主要察看正弦定理、两角和与差

14、的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时察看基本运算能力。证明：（1）在ABC中，由正弦定理及已知，得sinBcosBsinC。cosC于是sinBcosCcosBsinC0,即sinBC0.由于B-C，进而B-C=0，所以B=C.解：（2）由ABC和（1）得A12B，故cos2Bcos2BcosA3又02B，于是sin2B1cos22B22.进而sin4B2sin2Bcos2B42，39cos4Bcos22Bsin22B7。所以sin4Bsin4Bcos4273.93318【名师讨论】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角A与角B的函数

15、关系，在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围。知能提高训练学致使用1、在ABC中，以下关系式中必定建立的是（）AabsinAB.a=bsinAC.absinAD.absinA2、（山东模拟）ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，A,a3,b1，则c等3于（）A.1B.2C.31D.33、（广东模拟）在ABC中，a15,b10,A60，则sinB等于（）A33B.33C.66D.334、在ABC中，若abc），则ABC是（cosAcosBcosCA直角三角形B.等边直角三角形C钝角三角形D.等腰直角三角形5、在锐角ABC中，若C=2B，则c的范围是（）bA0,2B.2,2C.2,3D.

16、1,36、在ABC中，a,b3,A45，则，知足此条件的三角形有（）A0个B.1个C.2个D.无数个7、在ABC中，若A：B：C=3：4：5，则a：b：c等于（）A3：4：5B.2:6:31C.1:3:2D.2:3:3228、（2011浙江模拟）在ABC中，B135,C15,a5,则此三角形的最大边长为（）A53B.43C.52D.429、在ABC中A75,B45,c32,则b_。10、（2011山东模拟）在ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c，若a2,b2,sinBcosB2，则角A的大小为_。11、在ABC中已知axcm，b2cm，B45，假如利用正弦定理解三角形有两解，那么x的取值

17、范围是_22sinAB13、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，求证ab。c2sinC14、在ABC中，c22,tanA3,tanB2,求a,b及三角形的面积。15、已知方程x2bcosAxacosB0的两根之积等于两根之和，且A,B为ABC的内角，a,b分别为A,B的对边，判断ABC的形状。1316、在ABC中，tanA,tanB.45（1）求角C的大小；（2）若ABC的最大边长为17，求最小边的长。余弦定理典型题剖析察看点1：利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，b3,c33,B30,求A，C和a。【点拨】解答本题可先由余弦定理列出对于边长a的方程，第一求出边长a，再由再由正

18、弦定理求角A，角C，也能够先由正弦定理求出角C，此后再求其余的边和角。解法1：由正弦定理b2a2c22accosB,得32a2322a33cos30，3a29a180,解得a3或6.当a3时，A30,C120asinB61当a6时，由正弦定理得sinA21,A90,C60.b3解法2：由bc，B30,bcsin303133，知本题有两解。322csinB3313由正弦定理得sinC2，b32C60或120，当C60时，A90，由勾股定理得：ab2c2323326当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3。【解题策略】比较两种解法，从中意会各自的长处，进而研究出合适自己思想的解题规律和方法。

19、三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出对于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免除判断弃取的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。例2：ABC中，已知a26,b623,c43，求A，B，C察看点2：利用余弦定理判断三角形的形状例3：在ABC中，已知abcabc3ab,且2cosAgsinBsinC，试判断ABC的形状。【点拨】本题主要察看利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，此后判断三角形的形状。例4：已知钝角三角形ABC的三边ak,bk2,ck4,求k的取值范围。【点拨】由题意知ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，联合a,b,c的大小关系，故必有C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。解：Qc2a2b22abcosC,当C为钝角时，2abcosC0，a2b2c2，k2k222k4，解得-2k6.而k+k+2k+4，k2.故2k6.故k的取值范围是2,6.【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。察看点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例6在VABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。22sinAB（1）求证ab;c2sinC（2）求证a